tag:blogger.com,1999:blog-88262238611597313322024-03-12T06:52:12.273+02:00ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΛΙΧΟΥΔΙΕΣΜπορεί άραγε κάτι που έχει να κάνει με τα Μαθηματικά να έχει ταυτόχρονα γλύκα;
Μπορούμε να κάνουμε Μαθηματικά και να χαιρόμαστε συγχρόνως;
Μπορεί το παίδεμα για να λύσουμε ένα δύσκολο πρόβλημα να είναι συναρπαστικό;
Η προσπάθεια που γίνεται εδώ, φιλοδοξεί να αποδείξει ότι οι απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα μπορούν να είναι ΝΑΙ!
Μπορείτε να στέλνετε τις λύσεις σας, τις ερωτήσεις, τις παρατηρήσεις σας και δικά σας προβλήματα στη διεύθυνση mathsweets@gmail.comΜαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.comBlogger1279125tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-80523230378277609652024-03-01T10:52:00.005+02:002024-03-01T10:52:47.425+02:0033648<p> </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLGYcSAdEL2Abm1XxC9qIXHeiE8dMv2vSU2Rw_HgmORTqbAKRI616N2hrZT_Qgeupf8jMQmX_murnowtp_R2H_-R4mPKFPzdKJjZ24WXrJEKnF_eU3W2DmmT3V_MXtjbQeMVuptsHehVuunLeI7ZbexmxVmRt4v0zGCgeQkAzInlBASo8W3Ixhf47UhoPM/s801/Untitled.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="552" data-original-width="801" height="442" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLGYcSAdEL2Abm1XxC9qIXHeiE8dMv2vSU2Rw_HgmORTqbAKRI616N2hrZT_Qgeupf8jMQmX_murnowtp_R2H_-R4mPKFPzdKJjZ24WXrJEKnF_eU3W2DmmT3V_MXtjbQeMVuptsHehVuunLeI7ZbexmxVmRt4v0zGCgeQkAzInlBASo8W3Ixhf47UhoPM/w640-h442/Untitled.png" width="640" /></a></div><br />Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-42169432680181965492024-02-29T15:40:00.006+02:002024-03-01T10:25:37.289+02:0031550<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div>Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^x-lnx$. Να αποδείξετε ότι:<br />α) H f είναι κυρτή.<br />β) H f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε κάποιο $x_ο\in(\dfrac{1}{2},1)$ το οποίο είναι μοναδικό. <br />γ) Tο ολικό ελάχιστο είναι το $x_ο+\dfrac{1}{x_ο}$. <br />δ) H εξίσωση $f(x)=2$ είναι αδύνατη. <br /><br /><br /> Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-63521949791196909732023-11-26T12:41:00.000+02:002023-11-26T12:41:34.401+02:00Σύστημα 3 ανισώσεων<p> <span style="font-size: medium;">Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $a,b,c$ που ικανοποιούν τις ανισώσεις</span></p><p><span style="font-size: medium;">$$\begin{cases}a^3b+3\leq4c\\b^3c+3\leq4a\\c^3a+3\leq4b\end{cases}$$</span></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-56379762982370077252023-11-26T12:11:00.003+02:002023-11-26T12:11:54.591+02:00Σύστημα από τη Βουλγαρία (1967)<p> Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα</p><p>$$\begin{cases}x^2+x-1=y\\y^2+y-1=z\\z^2+z-1=x\end{cases}$$</p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-88682756641390624992023-11-19T23:15:00.006+02:002023-11-19T23:17:12.046+02:00Ανισότητα με 4 θετικούς αριθμούς που έχουν γινόμενο τη μονάδα <p><span style="font-size: large;"> Αν $a,b,c,d$ είναι τέσσερις θετικοί αριθμοί με $abcd=1$ να αποδείξετε ότι;</span></p><p><span style="font-size: large;">$$a^4+b^4+c^4+d^4\geq4+(a-b)^2$$</span></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-75211017636174706212023-07-15T17:08:00.002+03:002023-07-15T17:19:15.249+03:00Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο<p><span style="font-size: medium;">Έστω $a,b,c$ τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα $a.$ Να αποδείξετε ότι $$3<\dfrac{a^3-b^3-c^3}{a(a-b)(a-c)}\leq 2+\sqrt 2$$</span></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-54553314452004908522023-07-14T17:58:00.001+03:002023-07-14T17:58:52.969+03:00Πολυώνυμο με τον μικρότερο δυνατό βαθμό με συγκεκριμένες ιδιότητες<p> <span style="font-size: medium;">Να βρείτε πολυώνυμο $P(x)$ με το μικρότερο δυνατό βαθμό το οποίο </span></p><p></p><ul style="text-align: left;"><li><span style="font-size: medium;">έχει ακέραιους συντελεστές</span></li><li><span style="font-size: medium;">παραγοντοποιείται πλήρως σε γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων</span></li><li><span style="font-size: medium;">όλες του οι ρίζες είναι ακέραιοι αριθμοί</span></li><li><span style="font-size: medium;">$P(0)=-1$ </span></li><li><span style="font-size: medium;">$P(3)=128$ </span></li></ul><p></p><p></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-85305404931188376562023-07-14T16:41:00.002+03:002023-07-14T16:41:43.385+03:00Εξίσωση με τρεις αγνώστους που ξεπερνούν τη μονάδα<p><span style="font-size: medium;">Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x>1,y>1,z>1$ που ικανοποιούν την εξίσωση $$x+y+z+\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{3}{y-1}+\dfrac{3}{z-1}=2(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+2}).$$</span></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-79541416092730441932023-07-14T16:08:00.001+03:002023-07-14T16:08:52.499+03:00Εύκολη ανισότητα <p><span style="font-size: medium;">Εστω $a,b,c$ τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ώστε $a\geq b\geq c.$ Να αποδείξετε ότι $$\dfrac{a^3-c^3}{3}\geq abc(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a})$$ </span></p><p><span style="font-size: medium;">Πότε ισχύει η ισότητα;</span></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-72723465650510688582023-07-13T22:15:00.003+03:002023-07-27T14:16:13.746+03:00Ανισότητα από Σκανδιναβικό διαγωνισμό<span style="font-size: medium;">Αν $a,b,c$ είναι τρεις θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι</span><div><span style="font-size: medium;">$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\leq \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}$$</span></div><div style="text-align: right;"><span style="font-size: medium;"><b>Nordic Math Contest</b></span></div>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-8254853040118558692023-07-12T12:33:00.004+03:002023-07-12T12:42:23.897+03:00Έξισώσεις για την Β΄ Γυμνασίου<p></p><div><span style="font-size: medium;">Να λυθούν οι εξισώσεις:</span></div><ul style="text-align: left;"><li><span style="font-size: medium;"> $\dfrac{\sqrt{k+4}}{2}=6$</span></li><li><span style="font-size: medium;"> $\displaystyle{\sqrt{33+\sqrt y}}=6$</span></li><li><span style="font-size: medium;"> $\sqrt{3b+10}=4$</span></li><li><span style="font-size: medium;"> $\dfrac{3m}{7}=\dfrac{21}{m}$</span></li></ul><p></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-41476674656484007402023-07-10T16:50:00.007+03:002023-07-13T13:21:13.230+03:00Ουγγρική άσκηση από διαγωνισμό του 1896!<p><span style="font-size: medium;">Για τους αριθμούς $x,y$ ισχύουν οι σχέσεις $x^2-3xy+2y^2+x-y=0$ και $x^2-2xy+y^2-5x+7y=0.$ </span></p><p><span style="font-size: medium;">Να αποδείξετε ότι $xy-12x+15y=0.$</span></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-88917085052687589672023-07-10T16:44:00.001+03:002023-07-10T16:56:30.973+03:00 Έξι πραγματικοί αριθμοί με δύο συνθήκες<p><span style="font-size: medium;"><span> Αν για τους μη μηδενικούς αριθμούς $a,b,c,x,y,z$ ισχύουν οι σχέσεις $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1,$ $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0,$ </span><span>να αποδείξετε ότι $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1.$</span></span></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-80513191008127975312023-07-10T16:33:00.002+03:002023-07-10T16:33:48.437+03:00Έξι πραγματικοί αριθμοί <p><span style="font-size: medium;">Οι $\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\beta _1,\beta _2,\beta _3$ είναι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις:</span></p><p><span style="font-size: medium;">$\alpha _1\beta _1+\alpha _2\beta _2+\alpha _3\beta _3=0$</span></p><p><span style="font-size: medium;">$\alpha _1\alpha _3-\alpha^2 _2>0$ και $\beta _1\beta _2\beta _3\neq 0.$</span></p><p><span style="font-size: medium;">Να αποδείξετε ότι $\beta _1\beta _3-\beta^2 _2<0.$</span></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-24319576650975401632023-07-10T16:21:00.006+03:002023-07-10T16:22:00.787+03:00Εξίσωση με ριζικά<p><span style="font-size: medium;">Να λυθεί η εξίσωση $\sqrt{x^2+x}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=\sqrt{x+3}.$</span></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-18072382748573929232023-07-10T16:13:00.010+03:002023-07-10T16:22:27.942+03:00Εξίσωση στους φυσικούς<p><span style="font-size: medium;"> Να λυθεί στο σύνολο των φυσικών αριθμών η εξίσωση $x^2+y^2+z^2=1980.$</span></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-66238222368757341202023-07-10T16:06:00.004+03:002023-07-10T16:07:01.237+03:00Ανισότητα με συνθήκη<p><span style="font-size: medium;"> Έστω $x,y$ είναι πραγματικοί αριθμοί με $x>y$ και $xy=1.$ </span></p><p><span style="font-size: medium;">Να αποδείξετε ότι $\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\geq 2\sqrt{2}.$ </span></p><p><span style="font-size: medium;">Πότε ισχύει η ισότητα;</span></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-29498829935227388332023-07-10T15:58:00.005+03:002023-07-10T16:00:00.927+03:00Ανισότητα από τη Σερβία<p><span style="font-size: medium;">Αν $x>y\geq 0$ να αποδείξετε ότι </span></p><p><span style="font-size: medium;">$$x+\dfrac{4}{\left(x-y \right)\left(y+1 \right)^2}\geq 3.$$</span></p><p><br /></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-72135510651827686662023-07-08T17:48:00.007+03:002023-07-08T17:48:58.518+03:00Πεντάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με τρεις πλευρές ίσες<p><span style="font-size: medium;"> Ένα πεντάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Δύο πλευρές του είναι 14 και 48 και σχηματίζουν ορθή γωνία. Οι άλλες τρεις είναι πλευρές του είναι ίσες. Βρείτε την περίμετρό του.</span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEijC8hnre2aMJJhs3BageYP75tGlsuVogDCjklFviyGmeQWIh2cmLKp2_k8ccR7ePOeOrExmVrFH_sCskmB_px7KIl6MjfNc6PyiCuNhTpNB-uHvfSRaHj-7d1WrCz2p8oXM8neigx1C5BznrXZ8orpYKGXGlTRGmXRxXLi8E2kDqlnXC1ol4fEauorj0t6" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="185" data-original-width="200" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEijC8hnre2aMJJhs3BageYP75tGlsuVogDCjklFviyGmeQWIh2cmLKp2_k8ccR7ePOeOrExmVrFH_sCskmB_px7KIl6MjfNc6PyiCuNhTpNB-uHvfSRaHj-7d1WrCz2p8oXM8neigx1C5BznrXZ8orpYKGXGlTRGmXRxXLi8E2kDqlnXC1ol4fEauorj0t6" width="259" /></a></div><br /><p></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-27006546442478202582023-07-07T18:22:00.002+03:002023-07-07T18:22:10.159+03:00Μερικές ερωτήσεις σωστού-λάθους<ul style="text-align: left;"><li>Για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει ότι $(x+|ημx|)(x-|ημx|)\geq 0.$</li><li>Υπάρχουν $x, y\in \mathbb R$ ώστε $(|x|-|ημx|)(|y|-|ημy|)<0.$</li><li>Για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει ότι $ημx\leq |π-x|.$</li><li>Υπάρχει $x\in \mathbb R$ ώστε $συνx> |\dfrac{π}{2}-x|.$</li><li>Για κάθε $x, y\in \mathbb R$ ισχύει ότι $(x^2+συν^2 x)(y^2+συν^2 y|)\geq 1.$</li><li>Για κάθε $x\in \mathbb R^*$ ισχύει $|xημ\dfrac{1}{x}|\leq 1.$</li></ul>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-87362667791866629102023-07-07T17:25:00.006+03:002023-07-07T17:32:32.427+03:00Με αφορμή την άσκηση 17349 της τράπεζας θεμάτων <p><span style="font-family: helvetica;"> Ένα πρόβλημα της τράπεζας θεμάτων είναι το 17349.</span></p><p class="MsoNormal" style="line-height: 150%; text-align: justify;"><span style="font-family: helvetica;"><span lang="EL" style="line-height: 150%; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς
3</span><span lang="EL" style="line-height: 150%; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;">
και σημείο Ε της πλευράς ΑΔ, ώστε $ΑΕ=4-\sqrt 3$</span><span lang="EL" style="line-height: 150%; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;">. Στο ημιεπίπεδο που ορίζουν η ευθεία ΒΕ και το σημείο Γ
κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο ΒΕΖ. Οι ΓΔ και ΕΖ τέμνονται στο σημείο Η και $ΔΗ=\sqrt 3$</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><span
lang=EL style='mso-bidi-font-size:12.0pt;line-height:150%;mso-ascii-font-family:
"Cambria Math"'><m:r><m:rPr><m:scr m:val="roman"/><m:sty m:val="p"/></m:rPr>ΔΗ</m:r></span><span
lang=EL style='mso-bidi-font-size:12.0pt;line-height:150%;font-family:"Cambria Math",serif;
mso-hansi-font-family:Calibri;mso-hansi-theme-font:minor-latin'><m:r><m:rPr><m:scr
m:val="roman"/><m:sty m:val="p"/></m:rPr>=</m:r></span><m:rad><m:radPr><m:degHide
m:val="on"/><span style='mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;
mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-hansi-font-family:"Cambria Math"'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:radPr><m:deg></m:deg><m:e><span
lang=EL style='mso-bidi-font-size:12.0pt;line-height:150%;font-family:"Cambria Math",serif'><m:r><m:rPr><m:scr
m:val="roman"/><m:sty m:val="p"/></m:rPr>3</m:r></span></m:e></m:rad></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EL" style="position: relative; top: 2.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 15.6pt; width: 44.4pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/Lenovo/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span lang="EL" style="line-height: 150%; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;">.</span><span lang="EL" style="line-height: 150%; mso-bidi-font-size: 12.0pt;"><o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="line-height: 150%; text-align: justify;"><span style="font-family: helvetica;"><span lang="EL" style="line-height: 150%; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">α) Να αποδείξετε ότι $BE=2\sqrt{7-2\sqrt 3}$</span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><span
lang=EL style='mso-bidi-font-size:12.0pt;line-height:150%;mso-ascii-font-family:
"Cambria Math"'><m:r><m:rPr><m:scr m:val="roman"/><m:sty m:val="p"/></m:rPr>ΒΕ</m:r></span><span
lang=EL style='mso-bidi-font-size:12.0pt;line-height:150%;font-family:"Cambria Math",serif;
mso-hansi-font-family:Calibri;mso-hansi-theme-font:minor-latin'><m:r><m:rPr><m:scr
m:val="roman"/><m:sty m:val="p"/></m:rPr>=2</m:r></span><m:rad><m:radPr><m:degHide
m:val="on"/><span style='mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;
mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-hansi-font-family:"Cambria Math"'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:radPr><m:deg></m:deg><m:e><span
lang=EL style='mso-bidi-font-size:12.0pt;line-height:150%;font-family:"Cambria Math",serif;
mso-hansi-font-family:Calibri;mso-hansi-theme-font:minor-latin'><m:r><m:rPr><m:scr
m:val="roman"/><m:sty m:val="p"/></m:rPr>7</m:r></span><span lang=EL
style='mso-bidi-font-size:12.0pt;line-height:150%;mso-ascii-font-family:
"Cambria Math"'><m:r><m:rPr><m:scr m:val="roman"/><m:sty m:val="p"/></m:rPr>-</m:r></span><span
lang=EL style='mso-bidi-font-size:12.0pt;line-height:150%;font-family:"Cambria Math",serif;
mso-hansi-font-family:Calibri;mso-hansi-theme-font:minor-latin'><m:r><m:rPr><m:scr
m:val="roman"/><m:sty m:val="p"/></m:rPr>2</m:r></span><m:rad><m:radPr><m:degHide
m:val="on"/><span style='mso-bidi-font-size:12.0pt;font-family:"Cambria Math",serif;
mso-ascii-font-family:"Cambria Math";mso-hansi-font-family:"Cambria Math"'><m:ctrlPr></m:ctrlPr></span></m:radPr><m:deg></m:deg><m:e><span
lang=EL style='mso-bidi-font-size:12.0pt;line-height:150%;font-family:
"Cambria Math",serif'><m:r><m:rPr><m:scr m:val="roman"/><m:sty m:val="p"/></m:rPr>3</m:r></span></m:e></m:rad></m:e></m:rad></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span lang="EL" style="position: relative; top: 2.5pt;"><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 18.6pt; width: 85.8pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:/Users/Lenovo/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image003.png"></v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span lang="EL" style="line-height: 150%; mso-bidi-font-size: 12.0pt; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;">. </span><span lang="EL" style="line-height: 150%; mso-bidi-font-size: 12.0pt;"> <o:p></o:p></span></span></p><p class="MsoNormal" style="line-height: 150%; tab-stops: 347.3pt; text-align: justify;"><span lang="EL" style="line-height: 150%; mso-bidi-font-size: 12.0pt;"><span style="font-family: helvetica;">β) Να αποδείξετε το
Η είναι το μέσο της ΕΖ. <o:p></o:p></span></span></p><p>
<span style="font-family: helvetica;"><span lang="EL">γ) </span><span lang="EL">Να
υπολογίσετε</span><span lang="EL"> το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται στο εσωτερικό του
ισόπλευρου τριγώνου ΒΕΖ και εξωτερικά του τετραγώνου ΑΒΓΔ. </span></span></p><p><span style="font-family: helvetica;"><span lang="EL" style="font-size: 12pt;"></span></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: helvetica;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiburdVFXOlBKeuXJ6MNFVorgk4b3TkFPja5-HsHsDcxcAB1G6S4Q0uc0j7OXEw1qqBbUd4BkeBG9Zl1ylXn9_MRms0xaGh35XaTtY4Mxr4LCIMiiXziBb__BjnPnSW4JFXxACMcSJJYk-mCNn4CSVoXSOobqC6zqrPSnjr051PQSSnmBGv9arM3M5mHmhV/s307/17349%20%CF%83%CF%87%CE%AE%CE%BC%CE%B1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="264" data-original-width="307" height="264" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiburdVFXOlBKeuXJ6MNFVorgk4b3TkFPja5-HsHsDcxcAB1G6S4Q0uc0j7OXEw1qqBbUd4BkeBG9Zl1ylXn9_MRms0xaGh35XaTtY4Mxr4LCIMiiXziBb__BjnPnSW4JFXxACMcSJJYk-mCNn4CSVoXSOobqC6zqrPSnjr051PQSSnmBGv9arM3M5mHmhV/s1600/17349%20%CF%83%CF%87%CE%AE%CE%BC%CE%B1.png" width="307" /></a></span></div><p></p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: red; font-family: courier; font-size: medium;"><b>Να αποδειχθεί ότι το δεδομένο <span style="text-align: justify;">$ΔΗ=\sqrt 3$ είναι περιττό! Με άλλα λόγια, να το αποδείξετε χρησιμοποιώντας τα υπόλοιπα δεδομένα.</span></b></span></div><span style="font-family: helvetica;"><br /></span><br /><p></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-68031164486691990072023-06-28T19:35:00.000+03:002023-06-28T19:35:30.404+03:00Ανισότητα από τις Φιλιππίνες<p><span style="font-size: medium;"> Αν $a, b, c$ είναι τρεις θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $ab+bc+ca=3$ τότε να αποδείξετε ότι</span></p><p></p><ul style="text-align: left;"><li><span style="font-size: medium;">$\dfrac{a}{1+a^2}\leq \dfrac{1}{2}$</span></li><li><span style="font-size: medium;">$\dfrac{a^2}{1+a^2}\leq \dfrac{a}{2}$</span></li><li><span style="font-size: medium;">$\dfrac{1}{1+a^2}\geq \dfrac{2-a}{2}$</span></li><li><span style="font-size: medium;">$\dfrac{1}{1+a^4}\geq \dfrac{2-a^2}{2}$</span></li><li><span style="font-size: medium;">$\dfrac{bc}{1+a^4}+\dfrac{ca}{1+b^4}+\dfrac{ab}{1+c^4}\geq 3-\dfrac{abc(a+b+c)}{2}$</span></li><li><span style="font-size: medium;">$\dfrac{bc}{1+a^4}+\dfrac{ca}{1+b^4}+\dfrac{ab}{1+c^4}\geq \dfrac{3}{2}$</span></li></ul><p></p><p><span style="font-size: medium;"><br /></span></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-42391399573952709092023-06-28T16:55:00.002+03:002023-06-28T16:55:38.368+03:00Αποσύνθεση συναρτήσεων<p><span style="font-size: medium;"> Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=e^x$, $g(x)=x^2$, $h(x)=ημx$.</span></p><p><span style="font-size: medium;">Να γράψετε καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ως σύνθεση των $f, g, h.$ Μπορείτε να τις χρησιμοποιήσετε όσες φορές θέλετε.</span></p><p></p><ul style="text-align: left;"><li><span style="font-size: medium;">$k(x)=e^{ημ^2 x}$</span></li><li><span style="font-size: medium;">$λ(x)=e^{2ημx}$</span></li><li><span style="font-size: medium;">$μ(x)=ημ^2 e^x$</span></li><li><span style="font-size: medium;">$ν(x)=ημ e^{2x}$</span></li><li><span style="font-size: medium;">$ρ(x)=e^{ημx^4}$</span></li><li><span style="font-size: medium;">$σ(x)=ημ^4 e^{2x}$</span></li><li><span style="font-size: medium;">$τ(x)=x^8$</span></li></ul><p></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-46680310813153138292023-06-27T12:36:00.010+03:002023-07-07T17:00:02.370+03:00Με αφορμή την άσκηση 22510 της τράπεζας θεμάτων<p class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;">Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα της τράπεζας θεμάτων είναι το παρακάτω:</p><p class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;"><span lang="EL" style="font-size: 12pt; line-height: 150%;">Θέμα 22510</span></p><p class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;"><span lang="EL" style="font-size: 12pt; line-height: 150%;">Δίνεται οξυγώνιο
τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο. Θεωρούμε τις διαμέτρους ΑΔ, ΒΕ και
ΓΖ. Να αποδείξετε ότι:<o:p></o:p></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<p class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;"><span lang="EL" style="font-size: 12pt; line-height: 150%;">α) (ΑΟΒ) = (ΒΟΔ) και
(ΑΟΓ) = (ΔΟΓ) <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;"><span lang="EL" style="font-size: 12pt; line-height: 150%;">β) (ΒΔΓ) = (ΑΟΒ)
+ (ΑΟΓ) – (ΒΟΓ) <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin-bottom: 0in; text-align: justify;"><span lang="EL" style="font-size: 12pt; line-height: 150%;">γ) (ΑΖΒΔΓΕ) = 2(ΑΒΓ)
<o:p></o:p></span></p></div><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjcZG3v0z4KW4ktqb67P_X3SOlZldfwGddm7nr2LzjX7ZnvU_AxVGUoKidIkB2U4PaX2XKAJ5y-Ihu7JOY2kxffPPBywXPBu_2pTwUctD4kbYRT2z3qSDmchAirTmvRsDO9BkmxsWHbjSSA3uCpCoqDtdyCykL1LaZgDUoEogA51bLfRFHVRI-nxi4D1NvI" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="458" data-original-width="506" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjcZG3v0z4KW4ktqb67P_X3SOlZldfwGddm7nr2LzjX7ZnvU_AxVGUoKidIkB2U4PaX2XKAJ5y-Ihu7JOY2kxffPPBywXPBu_2pTwUctD4kbYRT2z3qSDmchAirTmvRsDO9BkmxsWHbjSSA3uCpCoqDtdyCykL1LaZgDUoEogA51bLfRFHVRI-nxi4D1NvI" width="265" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Τρία επιπλέον ερωτήματα:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">1) Να αποδείξετε ότι $ασυν(Β-Γ)+βσυν(Γ-Α)+γσυν(Α-Β)=\dfrac{4(ΑΒΓ)}{R}$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">2) Ισχύει το παραπάνω συμπέρασμα για μη οξυγώνια τρίγωνα;</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">3) Να αποδείξετε ότι $R\geq 2ρ.$</div><p></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8826223861159731332.post-2022832184382791572023-06-26T11:44:00.003+03:002023-06-26T11:45:46.394+03:00Υπολογισμός παράστασης που περιέχει τις ρίζες δευτεροβάθμιας εξίσωσης<p> <span style="font-size: medium;">Αν $α, β$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $x^2+x-3=0,$ να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης</span></p><p><span style="font-size: medium;">$$α^3-4β^2+20.$$</span></p>Μαραγκουδάκης Παύλοςhttp://www.blogger.com/profile/05832288893961858859noreply@blogger.com0