ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΛΙΧΟΥΔΙΕΣ: Ιανουαρίου 2020

Παρασκευή 31 Ιανουαρίου 2020

Τριχοτόμηση διαγωνίου ορθογωνίου!

Στο ορθογώνιο $AB\Gamma \Delta$ του παραπάνω σχήματος

Α. να αποδείξετε ότι:

α) a^2=4x^2+y^2

β) $\beta ^2=x^2+y^2$

γ) $a^2+\beta ^2=9x^2$

δ) y^2=2x^2

ε) $a\cdot\beta =3x\cdot y$

Β. να υπολογίσετε τους λόγους $\dfrac{y}{x},\dfrac{a}{\beta },\dfrac{a}{x},\dfrac{\beta }{x}.$

Οι αριθμοί 1,2,...,100 σε μια γραμμή

Βάζουμε τους αριθμούς 1,2,...,100

σε μια ευθεία γραμμή με όποια σειρά θέλουμε. Υπάρχει τρόπος να τους βάλουμε έτσι ώστε η απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών αριθμών να είναι τουλάχιστον 50;

Εμβαδόν πενταγώνου!

Δίνονται τα σημεία $A(2,1),B(3,4),\Gamma (6,6),\Delta (14,6),E(6,1).$
Υπολογίστε το εμβαδόν του πενταγώνου $AB\Gamma \Delta E.$

Κρυμμένος αριθμός!

Στο παρακάτω σχήμα κάθε γράμμα παριστάνει ένα ψηφίο.

$\begin{tabular}{|*{9}{c|}} \hline 3 & B & C & D & E & 8 & G & H & I \\ \hline \end{tabular}$

Το άθροισμα τριών διαδοχικών ψηφίων είναι 18.

Βρείτε το ψηφίο

Ποιο είναι το πρόσημο;

Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού $\displaystyle{P=\left(\sqrt{200}-15 \right)\left(\sqrt{\frac{3}{5}}-0,8 \right)\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-0,35 \right)$

Τρεις ασκήσεις τριγωνομετρίας!

1. Ο αριθμός $\displaystyle{A=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\sigma \upsilon \nu 46^o \right)\left( \sqrt{3}-\varepsilon \varphi 59^o\right)\left( 1-\sigma \upsilon \nu 1^o\right)}$ είναι θετικός, αρνητικός ή μηδέν;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας χωρίς χρήση του πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών ή υπολογιστή.

2. Για το τρίγωνο ΑΒΓ γνωρίζουμε ότι οι γωνίες του Β και Γ είναι οξείες, εφΒ= $\displaystyle{\frac{5}{2}}$ και εφΓ= $\displaystyle{\frac{5}{4}}$ .
α. Η γωνία Α είναι οξεία, αμβλεία ή ορθή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας χωρίς να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών.
β. Αν η πλευρά ΒΓ είναι 6 cm να υπολογίσετε το μήκος του ύψους του ΑΔ.

3. Ο κ είναι ένας θετικός ακέραιος μικρότερος του 90 για τον οποίο γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{\epsilon \phi k^o<\frac{\sqrt{3}}{3}}$ και $\sigma \upsilon \nu k^o<\sigma \upsilon \nu 28^o.$
Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης
$\Pi =\eta \mu ^2(k^o+1^o)+\sigma \upsilon \nu ^2(k^o+16^o).$

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΛΙΧΟΥΔΙΕΣ

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί