Σύστημα 3 ανισώσεων

 Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $a,b,c$ που ικανοποιούν τις ανισώσεις

$$\begin{cases}a^3b+3\leq4c\\b^3c+3\leq4a\\c^3a+3\leq4b\end{cases}$$

Ανισότητα με 4 θετικούς αριθμούς που έχουν γινόμενο τη μονάδα

 Αν $a,b,c,d$ είναι τέσσερις θετικοί αριθμοί με $abcd=1$ να αποδείξετε ότι;

$$a^4+b^4+c^4+d^4\geq4+(a-b)^2$$

Τρεις θετικοί αριθμοί που ικανοποιούν τρεις ανισοτικές σχέσεις

 Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $α,β,γ$ για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις:

$α^3β+3\leq 4γ$,   $β^3γ+3\leq 4α$  και   $γ^3α+3\leq 4β.$

Ανισότητα (7)

 Αν $\displaystyle{\alpha>0}$ και $\displaystyle{\alpha^5-\alpha^3+\alpha=3}$, να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{\alpha^6\ge  5.}$

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός, Α' Λυκείου, 1988

Αν διακρίνεις περιπτώσεις, έχεις το συμπέρασμα!

 Αποδείξτε ότι $x^{12}-x^9+x^4-x+1>0$ για κάθε $x\in \mathbb R.$

Ανισότητα από τον Καναδά

 Έστω $x,y$ δύο θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $x+y=1$. Αποδείξτε ότι 

$$(1+\dfrac{1}{x})(1+\dfrac{1}{y})\geq 9.$$

Ανισότητα με μία θετική μεταβλητή

 Έστω $x$ ένας θετικός αριθμός. Αποδείξτε ότι $x^5+x+1\geq 3x^2.$

Ποιος από τους τέσσερις είναι ο μεγαλύτερος;

 Οι αριθμοί $a,b,c,d$ είναι μεγαλύτεροι του $2$. Σχηματίζουμε τους αριθμούς $A=\dfrac{a+b}{c+d}$,  $B=\dfrac{a\cdot b}{c+d}$,  $C=\dfrac{a+b}{c\cdot d}$ και $D=\dfrac{a\cdot b}{c\cdot d}$.

Ποιος από τους $A,B,C,D$ είναι ο μεγαλύτερος;

Ποιος από τους πέντε είναι ο μεγαλύτερος;

 Ο Μάνθος διάλεξε δύο θετικούς αριθμούς α και β. Ο αριθμός α είναι μικρότερος από το 1 ενώ ο αριθμός β είναι μεγαλύτερος από το 1. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι ο μεγαλύτερος; 

1) $α+β$   

2) $α\cdot β$  

3) $\dfrac{α}{β}$   

4) $α^{2022}$  

5) $β$

Ελάχιστη τιμή

Αν $-2\leq x\leq5$, $-3\leq y\leq 7$, $4\leq z\leq 8$, και $w=xy-z$, τότε ποια είναι η ελάχιστη τιμή του $w$;

Τέσσερις άνισοι θετικοί ακέραιοι

Υπάρχουν τέσσερις άνισοι, θετικοί ακέραιοι  $a, b, c$ και $N$  τέτοιοι ώστε $N= 5a+3b+5c$. Επίσης ισχύει ότι $N=4a+5b+4c$ και ότι ο $N$ βρίσκεται μεταξύ του $131$ και του $150$. Ποια είναι η τιμή του $a+b+c$;

Ανισότητα με τρεις θετικές μεταβλητές που έχουν άθροισμα το $1$

 Αν $α,β,γ>0$ με $α+β+γ=1$, να αποδείξετε ότι $(\dfrac{1}{α}-1)(\dfrac{1}{β}-1)(\dfrac{1}{γ}-1)\geq 8.$

Ανισότητα με συνθήκη $α+β=1$ όπου $α,β$ θετικοί

 Αν $α,β>0$ με $α+β=1$, να αποδείξετε ότι $(α+\dfrac{1}{α})^2+(β+\dfrac{1}{β})^2\geq \dfrac{25}{2}$.

Ανισότητα με μία μεταβλητή

Για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ να αποδείξετε ότι $x^4-x+\dfrac{1}{2}>0.$ 

Προπόνηση στις ανισότητες

Ανισότητα (2)

Ανισότητα (6)

Ανισότητα στο [0,1]

Ανισότητα (11)

Ανισότητα (12)

Ανισότητα (13)

Ανισότητα με ριζικά

Σύγκριση αριθμών (ΙΙ)

Ανισότητα (14)

 Ανισότητα (15)

Ανισότητα (16)

Τριπλή ισότητα

Ελάχιστο παράστασης

Μετασχηματισμοί της βασικής ανισότητας $α^2+β^2\geq2αβ$

 Aν $α,β$ είναι δύο τυχαίοι θετικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι:

① $2(α^2+β^2)\geq(α+β)^2$

② $(a+\beta)^2\geq 4a\beta$

③ $\dfrac{a}{\beta}+\dfrac{\beta}{a}\geq 2$

④ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\beta}\geq \dfrac{4}{a+\beta}$

⑤ $α+β \geq 2 \sqrt {αβ}$

⑥ $\dfrac{a^2+\beta^2}{a+\beta}\geq \dfrac{a+\beta}{2}$

Απόδειξη ανισοτήτων με την αναλυτική μέθοδο

 

Διάταξη πραγματικών αριθμών για το Α1

 

Ανισότητα από τη Μολδαβία

 Αν $x,y\in [1,\dfrac{3}{2}]$ να αποδείξετε ότι 

$$y\sqrt{3-2x}+x\sqrt{3-2y}\leq x^2+y^2.$$ 

Πότε ισχύει η ισότητα;

Ανισότητα από το Βιετνάμ!

 Αποδείξτε ότι αν $a,b,c,d$ είναι θετικοί αριθμοί τότε

$$\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}}\leq\dfrac{1}{\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+d}}. $$