Σκακιστικό πρόβλημα

 Στο σκάκι, ένας πύργος μπορεί να μετακινηθεί κατά οποιονδήποτε αριθμό τετραγώνων μόνο είτε οριζόντια είτε κατακόρυφα. Με πόσους τρόπους μπορεί ένας πύργος, ξεκινώντας από την κάτω αριστερά γωνία μιας σκακιέρας \(8 \times 8\), να φτάσει στην πάνω δεξιά γωνία σε ακριβώς 4 κινήσεις; (Ο πύργος δεν πρέπει να βρεθεί στην πάνω δεξιά γωνία πριν από την 4η κίνηση.)

(Φιλιππίνες, 2023)

Χρωματισμοί

Η Νίνα θέλει να χρωματίσει δέκα από τα τετράγωνα σε έναν πίνακα $4 \times 4$, έτσι ώστε μια γραμμή να έχει ένα χρωματισμένο τετράγωνο, μια γραμμή να έχει δύο χρωματισμένα τετράγωνα, μια γραμμή να έχει τρία και μια να έχει τέσσερα χρωματισμένα τετράγωνα. Η αντίστοιχη απαίτηση πρέπει να ισχύει και για τις στήλες. Με πόσους τρόπους μπορεί να το κάνει αυτό;

Δεν θεωρούμε δύο χρωματισμούς ίδιους εάν ο ένας προκύπτει από τον άλλο με περιστροφή. Μετράμε τα δύο παραδείγματα στο σχήμα ως διαφορετικούς χρωματισμούς, παρόλο που το ένα ισούται με το άλλο αν περιστραφεί κατά 90°.

(Νορβηγία, 2026)

Κάθε υποπίνακας διάστασης $2 \times 2$ να έχει άθροισμα στοιχείων το $0$

Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να γεμίσουμε τα μοναδιαία τετράγωνα μιας σκακιέρας $8 \times 8$ με τους αριθμούς $-1$ και $1$, έτσι ώστε το άθροισμα των στοιχείων σε κάθε υποπίνακα διάστασης $2 \times 2$ να είναι $0$; 

(Columbia Math Olympiad)

Σκακιέρα $7 \times 7$

(α) Είναι δυνατόν να γεμίσουμε τα μοναδιαία τετράγωνα μιας σκακιέρας $7 \times 7$ με τους αριθμούς $1$ ή $-1$, έτσι ώστε το γινόμενο των στοιχείων σε κάθε γραμμή να είναι $1$ και το γινόμενο των στοιχείων σε κάθε στήλη να είναι $-1$;

(β) Τι συμβαίνει αν θεωρήσουμε σκακιέρα $8 \times 8$; Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Τρεις σε 10 καθίσματα αραιά τοποθετημένοι

Με πόσους τρόπους μπορείτε να τοποθετήσετε τον Αναστάση, τον Βασίλη και τον Γιώργο σε μια σειρά από 10 καθίσματα, έτσι ώστε να μην κάθονται δύο άτομα σε διπλανές θέσεις;

Πλακόστρωση

Εννέα τετράγωνα διαστάσεων $3 \times 3$ είναι τοποθετημένα έτσι ώστε να σχηματίζουν μια διαδρομή σε σχήμα ζικ-ζακ. Η διαδρομή στη συνέχεια πλακοστρώνεται με ορθογώνια πλακίδια διαστάσεων $3 \times 1$. Ένα πιθανό μοτίβο πλακόστρωσης φαίνεται στο σχήμα.

Πόσα διαφορετικά μοτίβα πλακόστρωσης υπάρχουν;

Συνδυαστική ταυτότητα

Να αποδείξετε ότι για όλους τους ακέραιους αριθμούς $n \geq r \geq 0$ ισχύει:

$$\binom{r}{r} + \binom{r+1}{r} + \binom{r+2}{r} + \dots + \binom{n}{r} = \binom{n+1}{r+1}$$

Δέκα σημεία κύκλου

Δέκα σημεία $P_1, P_2, \dots, P_{10}$ είναι διαδοχικές κορυφές κανονικού δεκαγώνου. Συνδέονται ανά δύο μέσω 5 ευθύγραμμων τμημάτων. Με πόσους τρόπους μπορούν να σχεδιαστούν αυτά τα ευθύγραμμα τμήματα, έτσι ώστε να τέμνεται ακριβώς ένα ζεύγος ευθύγραμμων τμημάτων;

(Αυστραλία, 2018)