Ακολουθία Fibonacci

Τα παρακάτω προβλήματα σχετίζονται με την ακολουθία Fibonacci, η οποία ορίζεται από τις σχέσεις $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ και $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ για κάθε $n \geq 0$.

---

Πρόβλημα 1

Αποδείξτε ότι για κάθε $n \geq 1$:
$$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$$

---

Πρόβλημα 2

Αποδείξτε ότι για κάθε $n \geq 1$:
$$F_1 F_2 + F_2 F_3 + \dots + F_{2n-1} F_{2n} = F_{2n}^2$$

---

Πρόβλημα 3

Αποδείξτε ότι για κάθε $n \geq 2$:
$$F_n F_{n+1} - F_{n-2} F_{n-1} = F_{2n-1}$$

---

Τριόμινο

Έστω $n$ ένας θετικός ακέραιος. Αποδείξτε ότι αν αφαιρεθεί ένα τετράγωνο από μια σκακιέρα μεγέθους $2^n \times 2^n$, η υπόλοιπη σκακιέρα μπορεί να καλυφθεί πλήρως με πλακίδια 3 τετραγώνων του παρακάτω σχήματος

Περιοχές που σχηματίζονται από $n$ ευθείες στο επίπεδο

Έστω $f(n)$ το πλήθος των περιοχών που σχηματίζονται από $n$ ευθείες στο επίπεδο, όπου ανά δύο οι ευθείες δεν είναι παράλληλες και ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Για παράδειγμα, $f(4) = 11$.) Να βρείτε έναν τύπο για το $f(n)$.