Tο κλάσμα $\dfrac{20n + 25}{2n + 25}$ να είναι ακέραιος

Πόσοι ακέραιοι $n \geq 1$ είναι τέτοιοι ώστε το κλάσμα $\dfrac{20n + 25}{2n + 25}$ να είναι επίσης ακέραιος αριθμός;

(Νορβηγία, 2025)

Ανισότητα για το 1995!

 Να αποδείξετε ότι το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων από το 1 μέχρι το 1995 είναι μικρότερο από $998^{1995}$, δηλαδή ότι ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:

$$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1994 \cdot 1995 < 998^{1995}$$

Τιμή παράστασης

Βρείτε την τιμή της παράστασης

$$\frac{a^{32} - b^{32}}{(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)(a^{16} + b^{16})} + 12b$$

αν το μόνο πράγμα που είναι γνωστό για τα $a$ και $b$ είναι ότι $a + b = 6$.

Δείξτε ότι η απάντηση δεν εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο έχουν επιλεγεί τα $a$ και $b$ που ικανοποιούν τη σχέση $a + b = 6$.

Ευθείες σε πλέγμα $5 \times 5$

Πόσες διαφορετικές ευθείες γραμμές μπορείτε να σχεδιάσετε οι οποίες να διέρχονται από τρεις ή περισσότερες κουκκίδες σε αυτό το πλέγμα μεγέθους $5 \times 5$;

Πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές που λαμβάνει περιττές τιμές στο 0 και το 1

Έστω $P(x)$ πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές ώστε οι αριθμοί $P(0)$ και $P(1)$ να είναι και οι δυο περιττοί.
Δείξτε ότι το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα.

Εξίσωση α΄ βαθμού

 Να λύσετε την εξίσωση:

$\displaystyle{\frac{x-25}{1975}+ \frac{x-23}{1977}+ \frac{x-21}{1979}+ \frac{x-19}{1981}+ \frac{x-17}{1983}+ \frac{x-15}{1985} =}$

$\dfrac{x-1975}{25}+ \dfrac{x-1977}{23}+ \dfrac{x-1979}{21}+ \dfrac{x-1981}{19}+ \dfrac{x-1983}{17}+ \dfrac{x-1985}{15}$.

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός, Α' Λυκείου, 1985

Αριθμητική τιμή παράστασης (2)

Πόσο κάνει $20192014\cdot 20192015-20192012\cdot 20192017$;

Υπολογισμός παράστασης με συνθήκη

 Αν $(x^2+y^2)^3=(x^3+y^3)^2$ και $xy\neq 0$ τότε $\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2=?$

Εξίσωση!

 Να λυθεί η εξίσωση $(1+x^2)(1+x^4)=4x^3.$

Τέσσερις εξισώσεις με τέσσερις αγνώστους

 

Για τους αριθμούς $x,y,z,w$ ισχύουν οι παρακάτω ισότητες:

$\begin{cases}x+y+z+w=10\\x^2+y^2+z^2+w^2=30\\x^3+y^3+z^3+w^3=100\\xyzw=24\end{cases}$

A. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων:

1) $xy+xz+xw+yz+yw+zw$

2) $x^2y+x^2z+x^2w+y^2x+y^2z+y^2w+z^2x+z^2y+z^2w+w^2x+w^2y+w^2z$

3) $xyz+xyw+xzw+yzw$

4) $(x-1)(y-1)(z-1)(w-1)$

5) $(x-2)(y-2)(z-2)(w-2)$

6) $(x-3)(y-3)(z-3)(w-3)$

7) $(x-4)(y-4)(z-4)(w-4)$

B. Να βρείτε τους αριθμούς $x,y,z,w.$

Πρόβλημα από την Σιγκαπούρη!

 Αν $m,n$ είναι δύο διαφορετικοί αριθμοί ώστε

                              $m^2=n+2$ και $n^2=m+2$ 

τότε να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης 

                                     $4mn-m^3-n^3.$

Βρείτε το εμβαδόν του πράσινου ορθογωνίου

 Το $ABCD$ είναι τετράγωνο. Βρείτε το εμβαδόν του πράσινου ορθογωνίου. 

Κοινές ακέραιες λύσεις

 α) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων 

$\boxed{4\left(x-250 \right)\leq 5\left(x+201 \right)+8}$ και $\boxed{\dfrac{12x-40}{3}<4x+20-\dfrac{x-15}{60}}$

β) Πόσες είναι οι κοινές ακέραιες λύσεις τους; Να υπολογίσετε επίσης το άθροισμα και το γινόμενο όλων αυτών των κοινών ακέραιων λύσεων.

Βρείτε το άγνωστο εμβαδόν!

 Στο παρακάτω oρθογώνιο βρείτε το εμβαδόν που λείπει.

Να βρεθούν οι ακέραιοι (1)

 Να βρεθούν οι ακέραιοι $\displaystyle{\alpha ,\beta}$  για τους οποίους ισχύει η ισότητα $\displaystyle{\alpha\beta^2 + 2\alpha\beta + \alpha = 2\beta^2 + 4\beta + 3}$.

Κλάσμα με τεράστιους όρους

Να αποδείξετε ότι $\dfrac{0,12345678...4748495051}{0,5150494847...87654321}=0,239...$  (Μόσχα, 1951)

Δύο πενταψήφιοι με πηλίκο 9

Να προσδιοριστούν όλα τα ζεύγη πενταψήφιων  φυσικών αριθμών m, n για τους οποίους γνωρίζουμε ότι για να τους γράψουμε θα χρησιμοποιήσουμε όλα τα ψηφία 0, 1, 2,..., 9 και επιπλέον m=9n.

Σωτήρης Λουρίδας, Αθήνα

Διπλή ανισότητα

Μάγκος Θάνος, Θεσσαλονίκη

Ένας τουλάχιστον είναι ίσος με 1

Για τους πραγματικούς αριθμούς a, b, c ισχύουν: 

abc=1 και ab+bc+ca=a+b+c. 

Να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς αυτούς είναι ίσος με το 1.

Ελάχιστο παράστασης

Να υπολογιστεί το ελάχιστο της παράστασης

$$x^2-8xy+19y^2-6y+3$$
προσδιορίζοντας ταυτόχρονα και τις τιμές των $x,y$ για τις οποίες το έχουμε.