Ελληνικό πολυώνυμο!

 Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα \(P(x)\) για τα οποία ισχύει \(P(f(x)) = f(P(x))\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) όπου \(P(0) = 0\) και \(f(x)\) μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση \(f(x) > x\) για κάθε \(x \ge 0\).                                                                 

(Ελλάδα, 1977)  

Αυστριακό πολυώνυμο!

 Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα \(P(x)\) με πραγματικούς συντελεστές που ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες:

• α) \(P(2017) = 2016\)
• β) \((P(x) + 1)^2 = P(x^2 + 1)\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\)                                          (Αυστρία, 2017)

Πόσες φορές εμφανίζεται το ψηφίο 6

 Ένα βιβλίο έχει 160 σελίδες. Πόσες φορές εμφανίζεται το ψηφίο 6 στην αρίθμηση των   σελίδων;

Υπάρχει κανονικό πεντάγωνο του οποίου οι κορυφές να έχουν ακέραιες συντεταγμένες;

Υπάρχει κανονικό πεντάγωνο του οποίου οι κορυφές να έχουν ακέραιες συντεταγμένες;

Δεν υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο του οποίου όλες οι κορυφές να έχουν ακέραιες συντεταγμένες

Να αποδειχθεί ότι στο καρτεσιανό επίπεδο δεν υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο του οποίου όλες οι κορυφές να έχουν ακέραιες συντεταγμένες.

Εξίσωση με εσωτερικό γινόμενο

Δίνονται τα μη συγγραμμικά διανύσματα  \(\vec{a}\) και \(\vec{\beta }\). Να λυθεί η εξίσωση:

\(\dfrac{\vec{a}^{2}+x\vec{a}\cdot \vec{\beta }}{|{}\vec{a}|{}\cdot |{}\vec{a}+x\vec{\beta }|{}}=\dfrac{\vec{\beta }^{2}+\vec{a}\cdot \vec{\beta }}{|{}\vec{\beta }|{}\cdot |{}\vec{a}+\vec{\beta }|{}}\)

(Ελλάδα, 1983)

Λήμμα Καραθεοδωρή

 Έστω τρίγωνο ABΓ και O ένα εσωτερικό του σημείο. Αν με (OBC), (OAC) και (OAB) συμβολίσουμε τα εμβαδά των τριγώνων OBC, OAC και OAB αντίστοιχα, τότε ισχύει η διανυσματική σχέση:

\((OBC)\cdot \overrightarrow{OA}+(OAC)\cdot \overrightarrow{OB}+(OAB)\cdot \overrightarrow{O\Gamma }=\overrightarrow{0}\)

Αν Μ ένα οποιοδήποτε σημείο M του επιπέδου, τότε:

\(\overrightarrow{MO}=\dfrac{(OBC)\cdot \overrightarrow{MA}+(OAC)\cdot \overrightarrow{MB}+(OAB)\cdot \overrightarrow{M\Gamma }}{(ABC)}\)

💡 Ενδιαφέρουσες Ειδικές Περιπτώσεις

Αυτή η γενική διανυσματική σχέση «παράγει» μερικά γνωστά θεωρήματα ανάλογα με τη θέση του \(O\):

• Αν το \(O\) είναι το Βαρύκεντρο (Κέντρο Βάρους): Τα τρία υποτρίγωνα έχουν ακριβώς ίσα εμβαδά (\(E_{OBC}=E_{OAC}=E_{OAB}\)). Διαιρώντας τη σχέση με το εμβαδόν, προκύπτει η γνωστή ιδιότητα: \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{O\Gamma} = \vec{0}\).
• Αν το \(O\) είναι το Έκκεντρο (Κέντρο εγγεγραμμένου κύκλου): Τα εμβαδά είναι ανάλογα των πλευρών \(a, \beta, \gamma\) (αφού όλα έχουν κοινό ύψος την ακτίνα \(r\) του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου). Τότε προκύπτει: \(a\vec{OA} + \beta\vec{OB} + \gamma\vec{O\Gamma} = \vec{0}\).

Εκθετική εξίσωση (10)

 Δίνεται ότι:

\(a^{x}b^{2x}c^{3x}=2\)
όπου \(a\), \(b\) και \(c\) είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί.

Ποια από τις ακόλουθες είναι μια σωστή έκφραση για το \(x\);

• \(\log\left(\dfrac{2}{a + 2b + 3c}\right)\)
• \(\dfrac{\log 2}{\log (a+2b+3c)}\)
• \(\dfrac{2}{\log (a+2b+3c)}\)
• \(\dfrac{2}{a+2b+3c}\)
• \(\log\left(\dfrac{2}{ab^2c^3}\right)\)
• \(\dfrac{\log 2}{\log (ab^{2}c^{3})}\)
• \(\dfrac{2}{\log (ab^{2}c^{3})}\)
• \(\dfrac{2}{ab^{2}c^{3}}\)

Το μέτρο του αθροίσματος ίσο με το μέτρο της διαφοράς

Έστω δύο διανύσματα \(\vec{\alpha }\) και \(\vec{\beta }\) για τα οποία ισχύει:

\(|{}\vec{\alpha }+\vec{\beta }|{}=|{}\vec{\alpha }-\vec{\beta }|{}\)

Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα \(\vec{\alpha }\) και \(\vec{\beta }\) είναι κάθετα.

Δημήτρης Φωλιάς, Βθετ4, ΓΕΛ Ιωνιδείου

Συμμετρία ως προς την ευθεία y=-x των \(C_{f}\) και \(C_{f^{-1}}\) όπου f περιττή και 1-1

①Αν M(α, β) είναι ένα τυχαίο σημείο του καρτεσιανού επιπέδου, να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του σημείο M' ως προς την ευθεία y = -x έχει συντεταγμένες (-β, -α).

②Έστω μια συνάρτηση \(f: A \to \mathbb{R}\) η οποία είναι περιττή και «1-1», και f⁻¹ η αντίστροφη συνάρτησή της. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση \(C_{f^{-1}}\) της αντίστροφης συνάρτησης και η γραφική παράσταση \(C_{f}\) της αρχικής συνάρτησης είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = -x.

                                  Δημήτρης Δημητρακάκος, ΓΘετ1, ΓΕΛ Ιωνιδείου

Κοινές λύσεις τριγωνομετρικών ανισώσεων

 Η γωνία \(x\) μετριέται σε ακτίνια (radians) και είναι τέτοια ώστε \(0 \le x \le \pi\).

Ποιο είναι το συνολικό μήκος του διαστήματος για το οποίο ισχύουν ταυτόχρονα οι ανισότητες \(-1 \le \tan x \le 1\) και \(\sin 2x \ge 0.5\);

• \(\dfrac{\pi }{12}\)
• \(\dfrac{\pi }{6}\)
• \(\dfrac{\pi }{4}\)
• \(\dfrac{\pi }{3}\)
• \(\dfrac{5\pi }{12}\)
• \(\dfrac{\pi }{2}\)
• \(\dfrac{5\pi }{6}\)

Probability that the first ball was red and the second blue

 A bag contains only \(x\) red balls, \(y\) blue balls and \(z\) yellow balls.

One ball is taken out at random; this ball is then placed back in the bag. Then once again, a ball is taken out at random from the bag.

If the balls are identical in all respects except colour and are well mixed, what is the probability that the first ball was red and the second blue?

• \(\dfrac{(x+y)}{(x+y+z)}\)
• \(\dfrac{(x+y)}{(x+y+z)^{2}}\)
• \(\dfrac{xy}{(y+z)(x+z)}\)
• \(\dfrac{xy}{(x+y+z)(x+z)}\)
• \(\dfrac{xy}{(x+y+z)^{2}}\)

Greatest lower bound

 The triangle PQR has a right angle at R.

The length of PQ is 4 cm, correct to the nearest centimetre.

The length of PR is 2 cm, correct to the nearest centimetre.

What is the greatest lower bound, in centimetres, of the length of QR?

• \(\sqrt{6} - \dfrac{1}{2}\)
• \(2\sqrt{3} - \dfrac{1}{2}\)
• \(2\sqrt{5} - \dfrac{1}{2}\)
• \(2\sqrt{5}\)
• \(2\sqrt{3}\)
• \(\sqrt{6}\)

Κλασματική ανίσωση

 Βρείτε το σύνολο τιμών του \(x\) για το οποίο ισχύει:

\(\dfrac{x^{3}-6x^{2}+9x-4}{x}>0\)

• \(x < 0,\ \ x > 4\)
• \(0 < x < 4\)
• \(0 < x < 1,\ \ x < 4\)
• \(x < 0,\ \ 1 < x < 4\)
• \(x < 1,\ \ x > 4\)
• \(1 < x < 4\)

Πόσα τρίγωνα με πλευρές με ακέραια μήκη

 Ένα τρίγωνο πρόκειται να σχεδιαστεί με πλευρές που έχουν ακέραια μήκη σε εκατοστά και συνολική περίμετρο \(12\text{ cm}\).

Πόσα διαφορετικά (μη ίσα) τρίγωνα μπορούν να σχεδιαστούν;

• \(1\)
• \(2\)
• \(3\)
• \(10\)
• \(12\)