Λήμμα Καραθεοδωρή

 Έστω τρίγωνο ABΓ και O ένα εσωτερικό του σημείο. Αν με (OBC), (OAC) και (OAB) συμβολίσουμε τα εμβαδά των τριγώνων OBC, OAC και OAB αντίστοιχα, τότε ισχύει η διανυσματική σχέση:

\((OBC)\cdot \overrightarrow{OA}+(OAC)\cdot \overrightarrow{OB}+(OAB)\cdot \overrightarrow{O\Gamma }=\overrightarrow{0}\)

Αν Μ ένα οποιοδήποτε σημείο M του επιπέδου, τότε:

\(\overrightarrow{MO}=\dfrac{(OBC)\cdot \overrightarrow{MA}+(OAC)\cdot \overrightarrow{MB}+(OAB)\cdot \overrightarrow{M\Gamma }}{(ABC)}\)

💡 Ενδιαφέρουσες Ειδικές Περιπτώσεις

Αυτή η γενική διανυσματική σχέση «παράγει» μερικά από τα πιο γνωστά θεωρήματα του σχολείου ανάλογα με τη θέση του \(O\):

• Αν το \(O\) είναι το Βαρύκεντρο (Κέντρο Βάρους): Τα τρία υποτρίγωνα έχουν ακριβώς ίσα εμβαδά (\(E_{OBC}=E_{OAC}=E_{OAB}\)). Διαιρώντας τη σχέση με το εμβαδόν, προκύπτει η γνωστή ιδιότητα: \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{O\Gamma} = \vec{0}\).
• Αν το \(O\) είναι το Έκκεντρο (Κέντρο εγγεγραμμένου κύκλου): Τα εμβαδά είναι ανάλογα των πλευρών \(a, \beta, \gamma\) (αφού όλα έχουν κοινό ύψος την ακτίνα \(r\) του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου). Τότε προκύπτει: \(a\vec{OA} + \beta\vec{OB} + \gamma\vec{O\Gamma} = \vec{0}\).