Στην παρακάτω αριθμητική παράσταση, τα σύμβολα $\circ$, $\Delta$ και $\square$ αντιπροσωπεύουν την πρόσθεση, την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό, αλλά όχι απαραίτητα με αυτή τη σειρά.
Ποιο από τα παρακάτω ευθύγραμμα τμήματα χωρίζει το σχήμα σε δύο μέρη με το ίδιο εμβαδόν;
Στην αριθμομηχανή της Σόνια (Sonya), μπορείτε να εισάγετε έναν αριθμό από την αριστερή πλευρά και να πάρετε έναν αριθμό από τη δεξιά πλευρά. Όταν ο αριθμός φτάνει σε ένα κυκλικό κελί, πρέπει να βγει από αυτό ακολουθώντας ένα από τα βέλη. Όταν φτάνει σε ένα τετράγωνο κελί, εφαρμόζεται στον αριθμό η πράξη που αναγράφεται μέσα στο κελί και το αποτέλεσμα στέλνεται παρακάτω μέσω του βέλους.
Τετράγωνα και κανονικά πεντάγωνα τοποθετούνται εναλλάξ σε σειρά, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν συνεχίσουμε έτσι, θα προκύψει κλειστό σχήμα;
Ο Ματθίας οδηγεί βόρεια προς το Ακουρέιρι με μέση ταχύτητα 80 km/h, αλλά μετά, πριν προλάβει να επιστρέψει, ο κακός καιρός και η κίνηση μπλοκάρουν τους δρόμους. Οδηγεί στον δρόμο της επιστροφής με μέση ταχύτητα 20 km/h. Ποια ήταν η συνολική μέση ταχύτητά του;
(Ισλανδία, 2025)
Ποια είναι η τιμή του $\sqrt{42 + \sqrt{42 + \sqrt{42 + \sqrt{42 + \dots}}}}$;
(Ισλανδία, 2025)
Στην εικόνα φαίνεται ένα μοτίβο από κουκκίδες για $n = 1, 2, 3$. Πόσες κουκκίδες θα υπάρχουν στο μοτίβο για $n = 50$;
Δίνεται τετράπλευρο ABCD με εμβαδόν 23 cm². Οι πλευρές του προεκτείνονται ώστε να διπλασιαστεί το μήκος τους, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αυτό μας δίνει τέσσερα νέα σημεία X, Y, Z, W. Ποιο είναι το εμβαδόν του τετραπλεύρου XYZW;
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
Ένα πολυώνυμο $Q(x)$ έχει ακέραιους συντελεστές και βαθμό μικρότερο ή ίσο του 2025. Κάθε όρος του πολυωνύμου $xQ(x) + Q(x)$ έχει συντελεστή μικρότερο ή ίσο του 2026. Επιπλέον, η τιμή $Q(1)$ είναι η μέγιστη δυνατή υπό αυτές τις συνθήκες. Ποιο θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $Q(1)$ με το 1000;
(Νορβηγία, 2026)
Ονομάζουμε έναν θετικό ακέραιο $n$ «ενδιαφέροντα» αν τόσο το άθροισμα των ψηφίων του $n$ όσο και το άθροισμα των ψηφίων του $n + 1$ είναι τέλεια τετράγωνα, ενώ οι $n$ και $n + 1$ έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων. Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $k$ για τους οποίους υπάρχει ένας ενδιαφέρων $k$-ψήφιος αριθμός.
(Εσθονία, 2025)
Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα των εξισώσεων:
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση:
Σε ένα κανονικό εξάγωνο $ABCDEF$, σχεδιάζονται ίσα ορθογώνια $ABZY$, $CDXZ$ και $EFYX$. Τι μέρος του εμβαδού του εξαγώνου $ABCDEF$ καλύπτουν αυτά τα ορθογώνια;
Τα παρακάτω προβλήματα σχετίζονται με την ακολουθία Fibonacci, η οποία ορίζεται από τις σχέσεις $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ και $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ για κάθε $n \geq 0$.
Έστω $n$ ένας θετικός ακέραιος. Αποδείξτε ότι αν αφαιρεθεί ένα τετράγωνο από μια σκακιέρα μεγέθους $2^n \times 2^n$, η υπόλοιπη σκακιέρα μπορεί να καλυφθεί πλήρως με πλακίδια 3 τετραγώνων του παρακάτω σχήματος
$n$ άνθρωποι κάθονται σε μια σειρά από $n$ καθίσματα. Επιτρέπεται να αλλάξουν θέσεις μεταξύ τους με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε άτομο να μετακινηθεί το πολύ κατά μία θέση. Βρείτε το πλήθος των τρόπων $a_n$ με τους οποίους μπορούν να αναδιαταχθούν.
Έστω $A$ ένα υποσύνολο του $\{0, 1, 2, 3, \dots, 1997\}$ το οποίο περιέχει περισσότερα από 1000 στοιχεία. Αποδείξτε ότι είτε το $A$ περιέχει μια δύναμη του 2 (δηλαδή, έναν αριθμό της μορφής $2^k$, όπου ο $k$ είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος) είτε υπάρχουν δύο διαφορετικά στοιχεία $a, b \in A$ τέτοια ώστε το άθροισμά τους $a + b$ να είναι δύναμη του 2.
(Ιρλανδία, 1997)
Έστω $f(n)$ το πλήθος των περιοχών που σχηματίζονται από $n$ ευθείες στο επίπεδο, όπου ανά δύο οι ευθείες δεν είναι παράλληλες και ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Για παράδειγμα, $f(4) = 11$.) Να βρείτε έναν τύπο για το $f(n)$.
Κάθε κελί ενός πίνακα διάστασης $200 \times 200$ είναι χρωματισμένο μαύρο ή λευκό. Είναι γνωστό ότι η διαφορά μεταξύ του πλήθους των μαύρων και των λευκών κελιών στον πίνακα είναι $404$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας υποπίνακας διάστασης $2 \times 2$ ο οποίος περιέχει περιττό πλήθος μαύρων μοναδιαίων τετραγώνων.
(Ρωσία, 2000)
Οι αριθμοί $1, 2, \dots, 100$ γράφονται με τυχαία σειρά σε έναν πίνακα διάστασης $10 \times 10$. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο γειτονικά μοναδιαία τετράγωνα (που μοιράζονται μια κοινή πλευρά) τέτοια ώστε οι αριθμοί $x, y$ που είναι γραμμένοι σε αυτά να ικανοποιούν τη σχέση $\vert{}x - y\vert{} \geq 6$.
Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να γεμίσουμε τα μοναδιαία τετράγωνα μιας σκακιέρας $8 \times 8$ με τους αριθμούς $-1$ και $1$, έτσι ώστε το άθροισμα των στοιχείων σε κάθε υποπίνακα διάστασης $2 \times 2$ να είναι $0$;
(Columbia Math Olympiad)
Οι αριθμοί $1, 2, \dots, 81$ γράφονται με τυχαία σειρά μέσα στα τετράγωνα μιας σκακιέρας $9 \times 9$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας υποπίνακας διάστασης $2 \times 2$ του οποίου το άθροισμα των αριθμών είναι μεγαλύτερο από $137$.
Επτά τετράγωνα μιας σκακιέρας $8 \times 8$ είναι μολυσμένα. Σε κάθε μονάδα χρόνου, τα τετράγωνα που έχουν τουλάχιστον δύο μολυσμένα γειτονικά τετράγωνα (που μοιράζονται μια κοινή πλευρά) μολύνονται και αυτά. Είναι δυνατόν η μόλυνση να εξαπλωθεί σε ολόκληρη τη σκακιέρα;
Σε κάθε τετράγωνο σκακιέρας $25 \times 25$ γράφουμε ή τον αριθμό $1$ ή τον $-1$. Συμβολίζουμε με $a_1, a_2, \dots, a_{25}$ τα γινόμενα των στοιχείων ανά γραμμή και με $b_1, b_2, \dots, b_{25}$ τα γινόμενα των στοιχείων ανά στήλη. Να αποδείξετε ότι:
(α) Είναι δυνατόν να γεμίσουμε τα μοναδιαία τετράγωνα μιας σκακιέρας $7 \times 7$ με τους αριθμούς $1$ ή $-1$, έτσι ώστε το γινόμενο των στοιχείων σε κάθε γραμμή να είναι $1$ και το γινόμενο των στοιχείων σε κάθε στήλη να είναι $-1$;
Σε κάθε τετράγωνο μιας σκακιέρας $8 \times 8$ γράφουμε έναν από τους αριθμούς $-1$, $0$ ή $1$. Είναι δυνατόν όλα τα αθροίσματα των γραμμών, των στηλών και των δύο κύριων διαγωνίων να είναι διαφορετικά μεταξύ τους;
Δίνεται η εξίσωση $$5a^2 + 5b^2 + 10c^2 + d^2 - 4ab - 4bc - 6cd = 4$$
Έστω ένα τυχόν τρίγωνο $ABC$. Αν κατασκευάσουμε εξωτερικά (ή εσωτερικά) των πλευρών του $BC$, $AC$ και $AB$ τα τετράγωνα $BCDE$, $ACZN$ και $ABKL$ με κέντρα $O_1$, $O_2$ και $O_3$ αντίστοιχα, τότε ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
Έστω $ABC$ ένα τρίγωνο με $\angle CAB > 45^\circ$ και $\angle CBA > 45^\circ$. Κατασκευάζουμε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο $RAB$ με υποτείνουσα την $AB$, έτσι ώστε η κορυφή $R$ να βρίσκεται στο εσωτερικό του $ABC$. Επίσης, κατασκευάζουμε τα ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα $ACQ$ και $BCP$ που έχουν υποτείνουσες τις $AC$ και $BC$ αντίστοιχα, και βρίσκονται εξ ολοκλήρου στο εξωτερικό του $ABC$. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $CQRP$ είναι παραλληλόγραμμο.
Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων $n$ και $m$, τέτοια ώστε
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους $n$ τέτοιους ώστε το $n! + 3$ να είναι τέλειο τετράγωνο.
Να βρείτε πόσοι περιττοί θετικοί ακέραιοι είναι μικρότεροι από 7000 και δεν είναι πολλαπλάσια ούτε του 5 ούτε του 7.
Δείξτε ότι ανάμεσα σε οποιαδήποτε 10 σημεία μέσα σε ένα τετράγωνο διαστάσεων $3 \times 3$, υπάρχει ένα ζευγάρι σημείων των οποίων η μεταξύ τους απόσταση είναι το πολύ $\sqrt{2}$.
Με πόσους τρόπους μπορείτε να τοποθετήσετε τον Αναστάση, τον Βασίλη και τον Γιώργο σε μια σειρά από 10 καθίσματα, έτσι ώστε να μην κάθονται δύο άτομα σε διπλανές θέσεις;
Θεωρήστε μια περιοχή που σχηματίζεται αν αφαιρέσουμε δύο απέναντι γωνιακά τετράγωνα από μια σκακιέρα διαστάσεων $8 \times 8$. Δείξτε ότι αυτή η περιοχή δεν μπορεί να καλυφθεί (πλακιδωθεί) χρησιμοποιώντας ορθογώνια μεγέθους $2 \times 1$ (ντόμινο).
Έστω $P(x)$ ένα πολυώνυμο βαθμού $n$, τέτοιο ώστε για $k = 0, 1, 2, 3, \dots, n$ έχουμε
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
Έστω $a_1, a_2, a_3, \dots$ μια ακολουθία τέτοια ώστε
Το σχήμα δείχνει μερικές από τις γωνίες στο πεντάγωνο $ABCDE$. Βρείτε, συναρτήσει του $\theta$, τη γωνία μεταξύ των ευθειών $AD$ και $BE$.
Οι πλευρές $AB, BC, CD$ και $DA$ ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου $ABCD$ εφάπτονται σε έναν κύκλο στα σημεία $F, G, H$ και $E$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών του τετραπλεύρου $EFGH$ σχηματίζουν ένα ορθογώνιο.
Ένας από τους όρους μιας ακολουθίας $a_1, a_2, a_3, \dots$, της οποίας οι όροι ικανοποιούν την σχέση $a_{n+1} = 3a_n - 4$, δεν υπερβαίνει το 2. Να αποδείξετε ότι κανένας από τους όρους της ακολουθίας $a_1, a_2, a_3, \dots$ δεν υπερβαίνει το 2.
Να αποδείξετε ότι το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων από το 1 μέχρι το 1995 είναι μικρότερο από $998^{1995}$, δηλαδή ότι ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:
Βρείτε την τιμή της παράστασης
Ένα googol είναι το 1 ακολουθούμενο από 100 μηδενικά.
Αυτό το σχήμα έχει δημιουργηθεί προσθέτοντας ή αφαιρώντας πανομοιότυπα ημικύκλια στο μέσο κάθε πλευράς ενός ισόπλευρου τριγώνου.
Ο ευφυής μαθηματικός Leonhard Euler είχε ισχυριστεί κάποτε ότι η εξίσωση $a^4 + b^4 + c^4 = d^4$ δεν έχει λύσεις στους θετικούς ακέραιους. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν άπειρες.
Δίνεται ένα τετράπλευρο $ABCD$. Έστω $E, F, G$ και $H$ τα μέσα των πλευρών $AB, BC, CD$ και $DA$, αντίστοιχα. Επίσης, έστω $P$ το μέσο της διαγωνίου $AC$ και $Q$ το μέσο της διαγωνίου $BD$.
Τρία ευθύγραμμα τμήματα σχεδιάζονται μέσα σε ένα τρίγωνο, χωρίζοντάς το σε πέντε μικρότερα τρίγωνα.
Εννέα τετράγωνα διαστάσεων $3 \times 3$ είναι τοποθετημένα έτσι ώστε να σχηματίζουν μια διαδρομή σε σχήμα ζικ-ζακ. Η διαδρομή στη συνέχεια πλακοστρώνεται με ορθογώνια πλακίδια διαστάσεων $3 \times 1$. Ένα πιθανό μοτίβο πλακόστρωσης φαίνεται στο σχήμα.
Να αποδείξετε ότι για όλους τους ακέραιους αριθμούς $n \geq r \geq 0$ ισχύει:
Δέκα σημεία $P_1, P_2, \dots, P_{10}$ είναι διαδοχικές κορυφές κανονικού δεκαγώνου. Συνδέονται ανά δύο μέσω 5 ευθύγραμμων τμημάτων. Με πόσους τρόπους μπορούν να σχεδιαστούν αυτά τα ευθύγραμμα τμήματα, έτσι ώστε να τέμνεται ακριβώς ένα ζεύγος ευθύγραμμων τμημάτων;
(Αυστραλία, 2018)
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ακέραιων αριθμών $(m, n)$ τέτοια ώστε:
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f : \mathbb{R}\setminus\{0, 1\} \longrightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε, για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x \neq 0, 1$, να ισχύει:
Έστω $ABC$ ένα τρίγωνο. Έστω $P$ το σημείο πάνω στην πλευρά $BC$ τέτοιο ώστε η $AP$ να διχοτομεί τη γωνία $\angle BAC$. Θεωρήστε τον κύκλο που εφάπτεται στην ευθεία $BC$ στο σημείο $P$ και διέρχεται από το σημείο $A$. Αποδείξτε ότι αυτός ο κύκλος εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $ABC$.
Ένα τετράγωνο ενός πλέγματος μεγέθους $5 \times 5$ είναι σβησμένο με έναν χιαστί («Χ»), όπως φαίνεται στο σχήμα. Είναι δυνατόν να καλύψετε το υπόλοιπο πλέγμα με ορθογώνια μεγέθους $2 \times 1$ χωρίς αυτά να επικαλύπτονται μεταξύ τους;
Πόσες διαφορετικές ευθείες γραμμές μπορείτε να σχεδιάσετε οι οποίες να διέρχονται από τρεις ή περισσότερες κουκκίδες σε αυτό το πλέγμα μεγέθους $5 \times 5$;
Να βρεθεί το ψηφίο που λείπει (σημειώνεται με ?) στον παρακάτω πολλαπλασιασμό, χωρίς τη χρήση αριθμομηχανής:
