Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς $a, b$ οι παραστάσεις $a^2 + b$ και $a + b^2$ έχουν την ίδια τιμή. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει αυτή η παράσταση; (Patrik Bak)
ΚΑΘΟΔΗΓΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ:
Κ1. Για τους διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς $a, b$, οι παραστάσεις $a^2 - b^2$ και $a - b$ έχουν την ίδια τιμή. Αποδείξτε ότι η τιμή του $a + b$ είναι 1.
Κ2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση $a^2 + 3a$ για έναν πραγματικό αριθμό $a$;
Κ3. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, λύστε το σύστημα των εξισώσεων $a^2 + b = c$, $b^2 + c = a$, $c^2 + a = b$.
Σ1. Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς $a_1, \dots, a_n$, οι παραστάσεις $a_1^2 + a_2, a_2^2 + a_3, \dots, a_{n-1}^2 + a_n$ και $a_n^2 + a_1$ έχουν την ίδια τιμή. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή;
Σ2. Για μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς $a, b, c$ ισχύει $a^2(b+c) = b^2(c+a) = c^2(a+b)$. Προσδιορίστε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης $\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$.
Σ3. Για τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$ ισχύει $x^3 + y^3 \leq 2$. Αποδείξτε ότι τότε ισχύει επίσης $x + y \leq 2$.
Σ4. Έστω $a, b, c$ θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Δείξτε ότι οι τρεις αριθμοί $a^2 + b + c$, $b^2 + c + a$, $c^2 + a + b$ δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα τέλεια τετράγωνα ακεραίων αριθμών.
Κ1. Για τους διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς $a, b$, οι παραστάσεις $a^2 - b^2$ και $a - b$ έχουν την ίδια τιμή. Αποδείξτε ότι η τιμή του $a + b$ είναι 1.
Κ2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση $a^2 + 3a$ για έναν πραγματικό αριθμό $a$;
Κ3. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, λύστε το σύστημα των εξισώσεων $a^2 + b = c$, $b^2 + c = a$, $c^2 + a = b$.
Σ1. Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς $a_1, \dots, a_n$, οι παραστάσεις $a_1^2 + a_2, a_2^2 + a_3, \dots, a_{n-1}^2 + a_n$ και $a_n^2 + a_1$ έχουν την ίδια τιμή. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή;
Σ2. Για μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς $a, b, c$ ισχύει $a^2(b+c) = b^2(c+a) = c^2(a+b)$. Προσδιορίστε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης $\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$.
Σ3. Για τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$ ισχύει $x^3 + y^3 \leq 2$. Αποδείξτε ότι τότε ισχύει επίσης $x + y \leq 2$.
Σ4. Έστω $a, b, c$ θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Δείξτε ότι οι τρεις αριθμοί $a^2 + b + c$, $b^2 + c + a$, $c^2 + a + b$ δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα τέλεια τετράγωνα ακεραίων αριθμών.
Είναι ξεχωριστοί οι διαγωνισμοί που γίνονται στην Tσεχία και τη Σλοβακία;
Ναι, οι εθνικές φάσεις των διαγωνισμών διοργανώνονται ξεχωριστά, αλλά υπάρχει μια πολύ στενή και ιστορική συνεργασία μεταξύ των δύο χωρών.
Πώς λειτουργεί ο συγκεκριμένος διαγωνισμός
Το αρχικό πρόβλημα προέρχεται από την Τσεχοσλοβακική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Czech and Slovak Mathematical Olympiad), η οποία διατηρεί κοινή παράδοση από την εποχή της ενιαίας Τσεχοσλοβακίας.
- Προκαταρκτικές Φάσεις: Οι πρώτοι γύροι (σχολικοί, περιφερειακοί) διεξάγονται εντελώς ανεξάρτητα και ξεχωριστά σε κάθε χώρα από τις αντίστοιχες εθνικές επιτροπές, όπως την Επιτροπή Μαθηματικής Ολυμπιάδας της Σλοβακίας (SKMO).
- Τελική Φάση (Εθνικός Γύρος): Αν και κάθε χώρα επιλέγει τους δικούς της νικητές για τις διεθνείς διοργανώσεις, ο τελικός εθνικός γύρος της Κατηγορίας Α διοργανώνεται ως κοινός διαγωνισμός (Τσεχο-Σλοβακικός), όπου οι μαθητές και των δύο χωρών διαγωνίζονται στα ίδια θέματα.
- Διμερείς Αγώνες: Επιπλέον, διοργανώνεται ετήσια ο παραδοσιακός μαθηματικός αγώνας Czech-Polish-Slovak Match, στον οποίο συμμετέχουν από κοινού οι εθνικές ομάδες της Τσεχίας, της Σλοβακίας και της Πολωνίας.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου