Το σημείο ελαχίστου να είναι πάνω από τον άξονα χ΄χ

 Θεωρήστε τις γραφικές παραστάσεις της μορφής:

$$y = x^2 + 2ax + a$$

Ποιο είναι το πλήρες εύρος τιμών του $a$ για το οποίο το σημείο ελαχίστου της γραφικής παράστασης βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x$;

• Δεν υπάρχουν τιμές του $a$
• $a < 0$
• $0 < a < 1$
• $-1 < a < 1$
• $a < -1$ ή $a > 1$
• $a < 0$ ή $a > 1$
• Το $a$ μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή

΄Εχουν το ίδιο ελάχιστο

 Δίνεται ότι $f(x) = x^2 - 6x$.

Οι καμπύλες $y = f(kx)$ και $y = f(x - c)$ έχουν το ίδιο σημείο ελαχίστου, όπου $k > 0$ και $c > 0$.

Ποια από τις ακόλουθες είναι μια σωστή έκφραση για το $k$ συναρτήσει του $c$;

• A $k = \frac{3 - c}{3}$
• B $k = \frac{3}{c + 3}$
• C $k = \frac{c - 6}{6}$
• D $k = \frac{6}{6 - c}$
• E $k = \frac{c + 9}{9}$
• F $k = \frac{9}{c - 9}$

Ολοκλήρωμα με παράμετρο

 Ποια είναι η μικρότερη δυνατή τιμή του $\int_0^1 (x-a)^2 \, dx$ καθώς το $a$ μεταβάλλεται;

Εκφράστε συναρτήσει του $x$ το εμβαδόν τριγώνου

 Το διάγραμμα δείχνει ένα ημικύκλιο ακτίνας 5 μονάδων και ένα τρίγωνο.      

Το τρίγωνο έχει κορυφές στα σημεία $(0, 0)$, $(10, 0)$ και $(x, y)$.

Το $(x, y)$ είναι ένα σημείο πάνω στο τόξο του ημικυκλίου.

Ποια από τις ακόλουθες είναι μια έκφραση συναρτήσει του $x$ για το εμβαδόν αυτού του τριγώνου;

• $5\sqrt{10x - x^2}$
• $5x\sqrt{10 - x}$
• $5x\sqrt{10x - x^2} - 20$
• $15x$
• $25x$
• $5x(10 - x)$

---

Διαφορά μέγιστης - ελάχιστης τιμής

 Το διάγραμμα δείχνει τη γραφική παράσταση της $y = f(x)$.

Η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της, ίση με 2, στο $x = 1$ και την ελάχιστη τιμή της, ίση με $-2$, στο $x = -1$.

Βρείτε τη διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής της παράστασης $(f(x))^2 - f(x)$.

• A $2$
• B $\frac{9}{4}$
• C $4$
• D $\frac{17}{4}$
• E $6$
• F $\frac{25}{4}$
• G $8$
• H $\frac{33}{4}$

Συναρτησιακή εξίσωση από τις Φιλιππίνες

 Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(2xy) + f(f(x+y)) = xf(y) + yf(x) + f(x+y)$ για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$.

(Φιλιππίνες, 2019)

Πότε η εξίσωση $a \cdot 3^x + 3^{-x} = 3$ έχει πραγματικές λύσεις

Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $a$ για τους οποίους η εξίσωση

$$a \cdot 3^x + 3^{-x} = 3$$

έχει πραγματικές λύσεις.

(Φινλανδία, 1997)

Συναρτησιακή σχέση

 Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$$f(3x + f(0)) = 3x^2$$

για κάθε πραγματικό αριθμό $x$.

Συναρτησιακή εξίσωση

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f : \mathbb{R}\setminus\{0, 1\} \longrightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε, για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x \neq 0, 1$, να ισχύει:

$$f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{2(1-2x)}{x(1-x)}$$

Γραφική παράσταση συνάρτησης με απόλυτες τιμές και εξίσωση

 Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$$f(x) = \vert{}x\vert{} + \vert{}x-1\vert{} + \vert{}x-2\vert{}$$
α) Να γράψετε τον τύπο της $f$ χωρίς τις απόλυτες τιμές.

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$. 

γ) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης (ή αλγεβρικά), να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης $f(x) = a$ καθώς και τις ίδιες τις λύσεις, για τις διάφορες τιμές του αριθμού $a$.

33648

 

31550

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^x-lnx$. Να αποδείξετε ότι:
α) H f είναι κυρτή.
β) H f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε κάποιο $x_ο\in(\dfrac{1}{2},1)$ το οποίο είναι μοναδικό.                
γ) Tο ολικό ελάχιστο είναι το $x_ο+\dfrac{1}{x_ο}$.                                                 
δ) H εξίσωση $f(x)=2$ είναι αδύνατη.                                                                         

Μερικές ερωτήσεις σωστού-λάθους

• Για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει ότι $(x+|ημx|)(x-|ημx|)\geq 0.$
• Υπάρχουν $x, y\in \mathbb R$ ώστε $(|x|-|ημx|)(|y|-|ημy|)<0.$
• Για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει ότι $ημx\leq |π-x|.$
• Υπάρχει $x\in \mathbb R$ ώστε $συνx> |\dfrac{π}{2}-x|.$
• Για κάθε $x, y\in \mathbb R$ ισχύει ότι $(x^2+συν^2 x)(y^2+συν^2 y|)\geq 1.$
• Για κάθε $x\in \mathbb R^*$ ισχύει $|xημ\dfrac{1}{x}|\leq 1.$

Αποσύνθεση συναρτήσεων

 Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=e^x$, $g(x)=x^2$, $h(x)=ημx$.

Να γράψετε καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ως σύνθεση των $f, g, h.$ Μπορείτε να τις χρησιμοποιήσετε όσες φορές θέλετε.

• $k(x)=e^{ημ^2 x}$
• $λ(x)=e^{2ημx}$
• $μ(x)=ημ^2 e^x$
• $ν(x)=ημ e^{2x}$
• $ρ(x)=e^{ημx^4}$
• $σ(x)=ημ^4 e^{2x}$
• $τ(x)=x^8$

Μέγιστη τιμή ελαχίστου!

Για κάθε πραγματικό αριθμό $x$, ορίζουμε $f(x)$ να είναι ο μικρότερος από τους αριθμούς $2x+2, \dfrac{1}{2}x+1, -\dfrac{3}{4}x+7.$ Ποια είναι η μέγιστη τιμή του $f(x)$;

Μέγιστη τιμή παράστασης με δύο μεταβλητές υπό συνθήκη

 Έστω $x,y\in (-2,2)$ με $xy=-1.$ Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $$u=\dfrac{4}{4-x^2}+\dfrac{9}{9-y^2}.$$

Μέγιστη τιμή συνάρτησης με απόλυτα

 Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης 

$$f(x)=\dfrac{1}{1+|x|}+\dfrac{1}{1+|x-1|}.$$

Εκθετική εξίσωση (2)

 Να λυθεί στο $\mathbb R$ η εξίσωση

$$3^{4x^3-3x}=\dfrac{2x}{4x^2+2x+1}.$$

Εκθετική Εξίσωση (Ι)

 Να λυθεί η εξίσωση

$$\displaystyle{\rm 5^x\sqrt{\frac{1}{2}+x}+7^x\sqrt{\frac{1}{2}-x}=\sqrt{25^x+49^x}}.$$

Προτάσεις που δεν περιέχονται στο σχολικό βιβλίο αλλά μπορούν να χρησιμοποιούνται για την επίλυση ασκήσεων αναπόδεικτα