Σύστημα

Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα των εξισώσεων:

$$\begin{cases} x + y = z, \\ x^2 + y^2 = 4z \\ x^3 + y^3 = 18z \end{cases}$$

(Εσθονία, 2025)

Συναρτησιακή εξίσωση

 Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση:

$$f \left( y^2 f(x) - f(xy) \right) = f(y^2) + 2 \left( x^2 - f(x) \right) (f(y) - 1) + 1$$

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$.

(Εσθονία, 2025)

Τρία ίσα ορθογώνια μέσα σε κανονικό εξάγωνο

Σε ένα κανονικό εξάγωνο $ABCDEF$, σχεδιάζονται ίσα ορθογώνια $ABZY$, $CDXZ$ και $EFYX$. Τι μέρος του εμβαδού του εξαγώνου $ABCDEF$ καλύπτουν αυτά τα ορθογώνια;

(Εσθονία, 2025)

Ακολουθία Fibonacci

Τα παρακάτω προβλήματα σχετίζονται με την ακολουθία Fibonacci, η οποία ορίζεται από τις σχέσεις $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ και $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ για κάθε $n \geq 0$.

---

Πρόβλημα 1

Αποδείξτε ότι για κάθε $n \geq 1$:
$$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$$

---

Πρόβλημα 2

Αποδείξτε ότι για κάθε $n \geq 1$:
$$F_1 F_2 + F_2 F_3 + \dots + F_{2n-1} F_{2n} = F_{2n}^2$$

---

Πρόβλημα 3

Αποδείξτε ότι για κάθε $n \geq 2$:
$$F_n F_{n+1} - F_{n-2} F_{n-1} = F_{2n-1}$$

---

Τριόμινο

Έστω $n$ ένας θετικός ακέραιος. Αποδείξτε ότι αν αφαιρεθεί ένα τετράγωνο από μια σκακιέρα μεγέθους $2^n \times 2^n$, η υπόλοιπη σκακιέρα μπορεί να καλυφθεί πλήρως με πλακίδια 3 τετραγώνων του παρακάτω σχήματος

Αναδιατάξεις

$n$ άνθρωποι κάθονται σε μια σειρά από $n$ καθίσματα. Επιτρέπεται να αλλάξουν θέσεις μεταξύ τους με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε άτομο να μετακινηθεί το πολύ κατά μία θέση. Βρείτε το πλήθος των τρόπων $a_n$ με τους οποίους μπορούν να αναδιαταχθούν.

Δύναμη του 2

Έστω $A$ ένα υποσύνολο του $\{0, 1, 2, 3, \dots, 1997\}$ το οποίο περιέχει περισσότερα από 1000 στοιχεία. Αποδείξτε ότι είτε το $A$ περιέχει μια δύναμη του 2 (δηλαδή, έναν αριθμό της μορφής $2^k$, όπου ο $k$ είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος) είτε υπάρχουν δύο διαφορετικά στοιχεία $a, b \in A$ τέτοια ώστε το άθροισμά τους $a + b$ να είναι δύναμη του 2.

(Ιρλανδία, 1997)

$n$ βάρη

Έχουμε $n$ βάρη, καθένα από τα οποία ζυγίζει έναν ακέραιο αριθμό κιλών, αλλά λιγότερο από $n$ κιλά. Υποθέστε επίσης ότι το συνολικό βάρος των $n$ βαρών είναι μικρότερο από $2n$ κιλά. Αποδείξτε ότι τα βάρη μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες, μία από τις οποίες ζυγίζει ακριβώς $n$ κιλά.

(Ιρλανδία, 1988)

Περιοχές που σχηματίζονται από $n$ ευθείες στο επίπεδο

Έστω $f(n)$ το πλήθος των περιοχών που σχηματίζονται από $n$ ευθείες στο επίπεδο, όπου ανά δύο οι ευθείες δεν είναι παράλληλες και ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Για παράδειγμα, $f(4) = 11$.) Να βρείτε έναν τύπο για το $f(n)$.

Σκακιέρα $200 \times 200$

Κάθε κελί ενός πίνακα διάστασης $200 \times 200$ είναι χρωματισμένο μαύρο ή λευκό. Είναι γνωστό ότι η διαφορά μεταξύ του πλήθους των μαύρων και των λευκών κελιών στον πίνακα είναι $404$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας υποπίνακας διάστασης $2 \times 2$ ο οποίος περιέχει περιττό πλήθος μαύρων μοναδιαίων τετραγώνων.

(Ρωσία, 2000)

Σκακιέρα $10 \times 10$

Οι αριθμοί $1, 2, \dots, 100$ γράφονται με τυχαία σειρά σε έναν πίνακα διάστασης $10 \times 10$. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο γειτονικά μοναδιαία τετράγωνα (που μοιράζονται μια κοινή πλευρά) τέτοια ώστε οι αριθμοί $x, y$ που είναι γραμμένοι σε αυτά να ικανοποιούν τη σχέση $\vert{}x - y\vert{} \geq 6$.

Κάθε υποπίνακας διάστασης $2 \times 2$ να έχει άθροισμα στοιχείων το $0$

Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να γεμίσουμε τα μοναδιαία τετράγωνα μιας σκακιέρας $8 \times 8$ με τους αριθμούς $-1$ και $1$, έτσι ώστε το άθροισμα των στοιχείων σε κάθε υποπίνακα διάστασης $2 \times 2$ να είναι $0$; 

(Columbia Math Olympiad)

Σκακιέρα $9 \times 9$

Οι αριθμοί $1, 2, \dots, 81$ γράφονται με τυχαία σειρά μέσα στα τετράγωνα μιας σκακιέρας $9 \times 9$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας υποπίνακας διάστασης $2 \times 2$ του οποίου το άθροισμα των αριθμών είναι μεγαλύτερο από $137$.

Μόλυνση σε σκακιέρα!

Επτά τετράγωνα μιας σκακιέρας $8 \times 8$ είναι μολυσμένα. Σε κάθε μονάδα χρόνου, τα τετράγωνα που έχουν τουλάχιστον δύο μολυσμένα γειτονικά τετράγωνα (που μοιράζονται μια κοινή πλευρά) μολύνονται και αυτά. Είναι δυνατόν η μόλυνση να εξαπλωθεί σε ολόκληρη τη σκακιέρα;

Σκακιέρα $25 \times 25$

Σε κάθε τετράγωνο σκακιέρας $25 \times 25$ γράφουμε ή τον αριθμό $1$ ή τον $-1$. Συμβολίζουμε με $a_1, a_2, \dots, a_{25}$ τα γινόμενα των στοιχείων ανά γραμμή και με $b_1, b_2, \dots, b_{25}$ τα γινόμενα των στοιχείων ανά στήλη. Να αποδείξετε ότι:

$$a_1 + a_2 + \dots + a_{25} + b_1 + b_2 + \dots + b_{25} \neq 0$$

Σκακιέρα $7 \times 7$

(α) Είναι δυνατόν να γεμίσουμε τα μοναδιαία τετράγωνα μιας σκακιέρας $7 \times 7$ με τους αριθμούς $1$ ή $-1$, έτσι ώστε το γινόμενο των στοιχείων σε κάθε γραμμή να είναι $1$ και το γινόμενο των στοιχείων σε κάθε στήλη να είναι $-1$;

(β) Τι συμβαίνει αν θεωρήσουμε σκακιέρα $8 \times 8$; Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Είναι δυνατόν όλα τα αθροίσματα των γραμμών, των στηλών και των δύο κύριων διαγωνίων να είναι διαφορετικά μεταξύ τους;

Σε κάθε τετράγωνο μιας σκακιέρας $8 \times 8$ γράφουμε έναν από τους αριθμούς $-1$, $0$ ή $1$. Είναι δυνατόν όλα τα αθροίσματα των γραμμών, των στηλών και των δύο κύριων διαγωνίων να είναι διαφορετικά μεταξύ τους;

Ιστοσελίδα από τη Νέα Ζηλανδία

Προβλήματα από τη Νέα Ζηλανδία

Διοφαντική εξίσωση ( S. N. Maitra)

Δίνεται η εξίσωση $$5a^2 + 5b^2 + 10c^2 + d^2 - 4ab - 4bc - 6cd = 4$$

Να προσδιορίσετε τις λύσεις της όπου οι $a, b, c, d$ είναι όλοι διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι.

Θεώρημα Vecten

 Έστω ένα τυχόν τρίγωνο $ABC$. Αν κατασκευάσουμε εξωτερικά (ή εσωτερικά) των πλευρών του $BC$, $AC$ και $AB$ τα τετράγωνα $BCDE$, $ACZN$ και $ABKL$ με κέντρα $O_1$, $O_2$ και $O_3$ αντίστοιχα, τότε ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

1. Οι ευθείες $AO_1$, $BO_2$ και $CO_3$ συντρέχουν σε ένα κοινό σημείο (σημείο Vecten).
   
2. Αν $M$ είναι το μέσο της πλευράς $BC$, το τρίγωνο $\triangle O_3MO_2$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές με την ορθή γωνία στην κορυφή $M$.
   
   
   
3. Η διάμεσος $AM$ του τριγώνου $ABC$ είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα $LN$ και ίση με το μισό του μήκους του ($LN = 2AM$).
   
   
   
4. Το ύψος $AA'$ του τριγώνου $ABC$ διέρχεται από το μέσο του τμήματος $LN$.
   
   
   
5. Τα ευθύγραμμα τμήματα $BN$ και $CL$ είναι ίσα και κάθετα μεταξύ τους ($BN = CL$ και $BN \perp CL$).
   
   

Παραλλαγή γνωστού θεωρήματος

Έστω $ABC$ ένα τρίγωνο με $\angle CAB > 45^\circ$ και $\angle CBA > 45^\circ$. Κατασκευάζουμε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο $RAB$ με υποτείνουσα την $AB$, έτσι ώστε η κορυφή $R$ να βρίσκεται στο εσωτερικό του $ABC$. Επίσης, κατασκευάζουμε τα ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα $ACQ$ και $BCP$ που έχουν υποτείνουσες τις $AC$ και $BC$ αντίστοιχα, και βρίσκονται εξ ολοκλήρου στο εξωτερικό του $ABC$. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $CQRP$ είναι παραλληλόγραμμο.

Βασική διοφαντική εξίσωση

 Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων $n$ και $m$, τέτοια ώστε

$$\frac{1}{n} + \frac{1}{m} = \frac{1}{5}$$