2η Δοκιμασία Αξιολόγησης: Η έννοια του διανύσματος

 2η Δοκιμασία Αξιολόγησης

Η έννοια του διανύσματος

(χρόνος: 10')

---

Δίνεται ο ρόμβος ΑΒΓΔ με κέντρο Ο.

Από τους παρακάτω ισχυρισμούς, άλλοι είναι σωστοί και άλλοι λάθος. Χαρακτηρίστε κατάλληλα τις παρακάτω προτάσεις.

1. Τα $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\Gamma\Delta}$ έχουν ίσα μέτρα
2. Τα $\overrightarrow{\text{A}\Delta}$, $\overrightarrow{\text{AB}}$ είναι ίσα διανύσματα
3. Τα $\overrightarrow{\text{AO}}$, $\overrightarrow{\text{A}\Gamma}$ είναι παράλληλα διανύσματα
4. Τα $\overrightarrow{\text{A}\Delta}$, $\overrightarrow{\Gamma\text{B}}$ είναι συγγραμμικά διανύσματα
5. Τα $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\Gamma\Delta}$ έχουν ίδια διεύθυνση
6. Τα $\overrightarrow{\text{A}\Delta}$, $\overrightarrow{\Gamma\text{B}}$ έχουν ίδια κατεύθυνση
7. Τα $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\Gamma\Delta}$ είναι ομόρροπα
8. Τα $\overrightarrow{\text{A}\Delta}$, $\overrightarrow{\Gamma\text{B}}$ είναι ίσα διανύσματα
9. Τα $\overrightarrow{\text{AO}}$, $\overrightarrow{\Gamma\text{O}}$ έχουν αντίθετη κατεύθυνση
10. Τα $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\Delta\Gamma}$ είναι αντίθετα διανύσματα
11. Είναι $\overrightarrow{\text{A}\Delta} = -\overrightarrow{\Gamma\text{B}}$
12. Είναι $\overrightarrow{\text{O}\Delta} = \overrightarrow{\text{OB}}$
13. Είναι $\overrightarrow{\text{A}\Gamma} \uparrow\downarrow \overrightarrow{\text{OA}}$
14. Είναι $\overset{\scriptscriptstyle\widehat{\quad}}{(\overrightarrow{\Delta\text{A}}, \overrightarrow{\Delta\Gamma})} = 120^\circ$
15. Είναι $\overset{\scriptscriptstyle\widehat{\quad}}{(\overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{B}\Gamma})} = 60^\circ$
16. Τα διανύσματα $\overrightarrow{\text{A}\Gamma}$ και $\overrightarrow{\text{OB}}$ είναι ορθογώνια

---

---

1. Από την ισότητα $\overrightarrow{\text{HE}} = \overrightarrow{\text{Z}\Theta}$ συμπεραίνουμε ότι $\overrightarrow{\Theta\text{E}} = \overrightarrow{\text{ZH}}$
2. Από την ισότητα $\overrightarrow{\text{K}\Delta} = \overrightarrow{\text{PM}}$ συμπεραίνουμε ότι $\overrightarrow{\text{KM}} = \overrightarrow{\text{P}\Delta}$

---

Άσκηση Να αποδειχθεί ότι: Αν είναι $\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{A}'\text{B}'}$ και $\overrightarrow{\text{B}\Gamma} = \overrightarrow{\text{B}'\Gamma'}$, τότε ισχύει: $\overrightarrow{\text{A}\Gamma} = \overrightarrow{\text{A}'\Gamma'}$.

1η Δοκιμασία Αξιολόγησης: Η έννοια του διανύσματος

1η Δοκιμασία Αξιολόγησης

Η έννοια του διανύσματος
(χρόνος: 10')

---

 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο.
Από τους παρακάτω ισχυρισμούς, άλλοι είναι σωστοί και άλλοι λάθος. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις:

1. Τα $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\Gamma\Delta}$ έχουν ίσα μέτρα
2. Τα $\overrightarrow{\text{A}\Delta}$, $\overrightarrow{\text{B}\Gamma}$ είναι συγγραμμικά
3. Τα $\overrightarrow{\text{AO}}$, $\overrightarrow{\text{A}\Gamma}$ δεν είναι παράλληλα
4. Τα $\overrightarrow{\Delta\text{O}}$, $\overrightarrow{\text{OB}}$ είναι παράλληλα
5. Τα $\overrightarrow{\text{A}\Delta}$, $\overrightarrow{\text{B}\Gamma}$ έχουν ίδια διεύθυνση
6. Τα $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\Delta\Gamma}$ έχουν ίδια κατεύθυνση
7. Τα $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\Gamma\Delta}$ είναι ομόρροπα
8. Τα $\overrightarrow{\text{A}\Delta}$, $\overrightarrow{\Gamma\text{B}}$ είναι ίσα διανύσματα
9. Τα $\overrightarrow{\text{AO}}$, $\overrightarrow{\Gamma\text{O}}$ έχουν αντίθετη κατεύθυνση
10. Τα $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\Gamma\Delta}$ είναι ίσα διανύσματα
11. Τα $\overrightarrow{\Delta\text{A}}$, $\overrightarrow{\Gamma\text{B}}$ είναι αντίθετα διανύσματα
12. Είναι $\overrightarrow{\text{AB}} = -\overrightarrow{\Gamma\Delta}$
13. Είναι $\overrightarrow{\text{O}\Delta} = \overrightarrow{\text{OB}}$
14. Είναι $\overset{\scriptscriptstyle\widehat{\quad}}{(\overrightarrow{\text{A}\Delta}, \overrightarrow{\text{A}\Gamma})} = 60^\circ$
15. Είναι $\overset{\scriptscriptstyle\widehat{\quad}}{(\overrightarrow{\text{BA}}, \overrightarrow{\text{B}\Gamma})} = 120^\circ$

---

---

1. Από την ισότητα $\overrightarrow{\text{K}\Lambda} = \overrightarrow{\text{MP}}$ συμπεραίνουμε ότι $\overrightarrow{\text{KM}} = \overrightarrow{\Lambda\text{P}}$
2. Από την ισότητα $\overrightarrow{\Delta\text{E}} = \overrightarrow{\Theta\text{Z}}$ συμπεραίνουμε ότι $\overrightarrow{\text{Z}\text{E}} = \overrightarrow{\Theta\Delta}$
3. Από την ισότητα $\overrightarrow{\text{HB}} = \overrightarrow{\text{P}\Gamma}$ συμπεραίνουμε ότι $\overrightarrow{\text{BP}} = \overrightarrow{\text{H}\Gamma}$

---

Άσκηση Να αποδειχθεί ότι: Αν είναι $\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{\text{O}'\text{A}'}$ και $\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{A}'\text{B}'}$, τότε ισχύει $\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{\text{O}'\text{B}'}$.

Μαθηματικοί διαγωνισμοί στο Βέλγιο

 Για τον γαλλόφωνο διαγωνισμό:

https://omb.sbpm.be/modules/news/index.php?storytopic=6

Το φλαμανδικό αρχείο:

 https://www.vwo.be/vwo/wedstrijdvragen-per-jaargang-en-ronde/

Μαθηματικοί διαγωνισμοί Ολλανδίας

 Αρχείο Θεμάτων https://wiskundeolympiade.nl/old/en/index.html

Μαθηματικοί διαγωνισμοί στη Γαλλία

Υπάρχουν εξαιρετικά οργανωμένα και ελεύθερα προσβάσιμα αρχεία στο διαδίκτυο με παλαιά θέματα (annales) και τις αναλυτικές λύσεις τους (corrigés) για όλους τους γαλλικούς διαγωνισμούς. [1]

Μπορείτε να βρείτε το υλικό αυτό στις παρακάτω επίσημες και εκπαιδευτικές πλατφόρμες:

1. Για το Concours Général των Λυκείων

Επειδή πρόκειται για τον πιο ιστορικό θεσμό, το αρχείο των θεμάτων είναι τεράστιο και περιλαμβάνει προβλήματα ακόμα και από τον 19ο αιώνα!

• Επίσημη πηγή (Eduscol): Το Γαλλικό Υπουργείο Παιδείας δημοσιεύει τα θέματα των τελευταίων ετών μαζί με τις εκθέσεις της κριτικής επιτροπής (rapports de jury) στην ειδική σελίδα του Eduscol - Concours Général. [2]
• Αναλυτικές λύσεις (Mathsapiens & Freemaths): Για χειρόγραφες, αναλυτικές και βήμα-προς-βήμα λύσεις των πρόσφατων θεμάτων, η ιστοσελίδα Mathsapiens και η πύλη Freemaths διαθέτουν δωρεάν αρχεία σε μορφή PDF. [3, 4]

2. Για τις Olympiades Nationales (Β' Λυκείου)

• Περιφερειακά Αρχεία (Académies): Καθώς ο διαγωνισμός περιλαμβάνει τόσο εθνικά όσο και τοπικά θέματα, οι κατά τόπους εκπαιδευτικές περιφέρειες της Γαλλίας (όπως η Académie de Nice ή η Académie de Montpellier) διατηρούν πλούσια αποθετήρια με τα θέματα και τις λύσεις τους ανά έτος.
• Συγκεντρωτική λίστα: Μπορείτε επίσης να βρείτε συγκεντρωμένα τα θέματα και τις διορθώσεις τους στο Mathsapiens - Olympiades Nationales. [5, 6, 7]

3. Για την Προετοιμασία των Διεθνών Ολυμπιάδων (Animath)

• Coupes & Envois: Η γαλλική ολυμπιακή ομάδα διατηρεί το δικό της αρχείο στην ιστοσελίδα της Προετοιμασίας των Γαλλικών Ολυμπιακών Ομάδων (POFM). Εκεί θα βρείτε τα θέματα από τα «Camps» και τους διαγωνισμούς αλληλογραφίας (Envois) της Animath, τα οποία είναι ιδανικά για μαθητές που στοχεύουν σε επίπεδο Διεθνούς Ολυμπιάδας (IMO). [8, 9]

4. Για τον διαγωνισμό Kangourou (Καγκουρό)

• Τα θέματα και οι απαντήσεις πολλαπλής επιλογής για όλα τα επίπεδα (από το Δημοτικό έως το Λύκειο) είναι αρχειοθετημένα στην επίσημη γαλλική ιστοσελίδα του διαγωνισμού, καθώς και σε συνεργαζόμενα πανεπιστημιακά δίκτυα όπως το Maths Team (Uni.lu). [10]

[1] https://www.reddit.com

[2] https://eduscol.education.gouv.fr

[3] https://mathsapiens.fr

[4] https://www.freemaths.fr

[5] https://www.pedagogie.ac-nice.fr

[6] https://pedagogie.ac-montpellier.fr

[7] https://mathsapiens.fr

[8] https://sites.google.com

[9] https://maths-olympiques.fr

[10] https://math.uni.lu

Μαθηματικοί διαγωνισμοί Ισπανίας

 Για μαθητές Λυκείου α΄ φάση και β΄ φάση  https://rsme.es/olimpiada-matematica-espanola/problemas-propuestos-y-resultados/

Ένα βιβλίο με θέματα από το 1963 έως το 2019 Επιλογή θεμάτων από ισπανικούς μαθηματικούς διαγωνισμούς

Ένα βιβλίο με θέματα γυμνασίου Ισπανικοί διαγωνισμοί νέων

Πληροφορίες για τους διαγωνισμούς νέων:

 https://fespm.es/category/olimpiada-matematica/olimpiada-segundo-ciclo/

Μαθηματικοί διαγωνισμοί Ιταλίας

Τα θέματα είναι στα ιταλικά. 

Α΄ γύρος https://olimpiadi.dm.unibo.it/le-gare/giochi-di-archimede/

Β΄ γύρος https://olimpiadi.dm.unibo.it/le-gare/gare-distrettuali/

Για μαθητές Α΄ Λυκείου https://olimpiadi.dm.unibo.it/le-gare/gara-classi-prime/

Τελικός γύρος https://olimpiadi.dm.unibo.it/le-gare/gara-nazionale/

Υπάρχει ένα φόρουμ μαθηματικών https://www.oliforum.it/index.php

Για παιδιά Γυμνασίου https://accademiamatematica.it/esercitiamoci

Μόνο πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις

 Ο Άντιλ θέλει να τοποθετήσει είτε το σύμβολο του πολλαπλασιασμού ($\times$) είτε το σύμβολο της διαίρεσης ($\div$) σε καθένα από τα παρακάτω κουτάκια και να υπολογίσει την έκφραση που προκύπτει:

$$1 \; \square \; 2 \; \square \; 3 \; \square \; 4 \; \square \; 5 \; \square \; 6 \; \square \; 7 \; \square \; 8 \; \square \; 9 \; \square \; 10$$

Ποιος είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός που μπορεί να πάρει;

Α. 1
Β. 7
Γ. 10
Δ. 14
Ε. 28                                                                                (Ελβετία, 2026)

Τετράγωνο και ημικύκλιο

Ποιο είναι το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής; Το συνολικό σχήμα αποτελείται από ένα ημικύκλιο πάνω από ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς 6.

(Ελβετία, 2026)

Τουλάχιστον ένας είναι μικρότερος ή ίσος του 1

 Έστω $a, b, c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $a + b \neq c$, $b + c \neq a$ και $c + a \neq b$.

Να αποδείξετε ότι τουλάχιστον ένας από τους τρεις αριθμούς:

$$\frac{c}{a+b-c}, \quad \frac{a}{b+c-a}, \quad \frac{b}{c+a-b}$$

είναι μικρότερος ή ίσος με 1.

(Karl Czakler, Αυστρία, 2026)

Ακτίνα κύκλων

Στο παρακάτω σχήμα, πέντε κύκλοι εφάπτονται στην ευθεία $\ell$. Κάθε κύκλος εφάπτεται εξωτερικά σε δύο άλλους κύκλους. Υποθέστε ότι οι κύκλοι $A$ και $B$ έχουν ακτίνες $4$ και $225$, αντίστοιχα, και ότι οι $C_1, C_2, C_3$ είναι ίσοι κύκλοι. Βρείτε την κοινή τους ακτίνα.

Εμβαδόν τριγώνου

Σε ένα τρίγωνο $ABC$, το μήκος της πλευράς $AB$ είναι $12$ και ο εγγεγραμμένος κύκλος του $O$ έχει ακτίνα $4$. Έστω $D$ το σημείο επαφής του κύκλου $O$ με την πλευρά $AB$. Αν $AD : AB = 1 : 3$, βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$.

Τετράγωνο, ορθογώνιο και κύκλοι

 Ένα τετράγωνο είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο, και ένα ορθογώνιο είναι εγγεγραμμένο στο τετράγωνο. Ένας άλλος κύκλος είναι περιγεγραμμένος γύρω από το ορθογώνιο, και ένας μικρότερος κύκλος εφάπτεται σε τρεις πλευρές του ορθογωνίου, όπως φαίνεται παρακάτω. Το σκιασμένο εμβαδόν μεταξύ των δύο μεγαλύτερων κύκλων είναι οκταπλάσιο από το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου, ο οποίος είναι επίσης σκιασμένος. Τι κλάσμα του μεγαλύτερου κύκλου είναι σκιασμένο;

Πλήθος πρώτων διαιρετών

Πόσους διαφορετικούς πρώτους παράγοντες έχει ο αριθμός $5^{14} - 30 + 5^{13}$;

Ισότητα με λογάριθμους

 Δεδομένου ότι οι $a$ και $b$ είναι πραγματικοί αριθμοί που ικανοποιούν την εξίσωση

$$\log_{16} 3 + 2\log_{16}(a-b) = \frac{1}{2} + \log_{16} a + \log_{16} b,$$
βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του $\dfrac{a}{b}$.

Ελάχιστη τιμή παράστασης

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης 

$\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2} + \sqrt{(x+3)^2 + (y-2)^2}$.

Πρόβλημα αριθμητικής προόδου

 Έστω ότι η $\{a_n\}_{n \geq 1}$ είναι μια αριθμητική πρόοδος πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \cdots + a_{10} = 20,$

$a_1 + a_4 + a_9 + a_{16} + \cdots + a_{100} = 18.$

Υπολογίστε το άθροισμα $a_1 + a_8 + a_{27} + a_{64} + \cdots + a_{1000}$.

Συναρτησιακή εξίσωση από τις Φιλιππίνες

 Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(2xy) + f(f(x+y)) = xf(y) + yf(x) + f(x+y)$ για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$.

(Φιλιππίνες, 2019)

Σκακιστικό πρόβλημα

 Στο σκάκι, ένας πύργος μπορεί να μετακινηθεί κατά οποιονδήποτε αριθμό τετραγώνων μόνο είτε οριζόντια είτε κατακόρυφα. Με πόσους τρόπους μπορεί ένας πύργος, ξεκινώντας από την κάτω αριστερά γωνία μιας σκακιέρας \(8 \times 8\), να φτάσει στην πάνω δεξιά γωνία σε ακριβώς 4 κινήσεις; (Ο πύργος δεν πρέπει να βρεθεί στην πάνω δεξιά γωνία πριν από την 4η κίνηση.)

(Φιλιππίνες, 2023)

Συνάρτηση με ακέραιο μέρος

 Μια συνάρτηση $f : \mathbb{N} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{N} \cup \{0\}$ ορίζεται από τις σχέσεις $f(0) = 0$ και $f(n) = 1 + f(n - 3^{\lfloor \log_3 n \rfloor})$ για όλους τους ακέραιους $n \geq 1$. Βρείτε την τιμή του $f(10^4)$.

(Φιλιππίνες, 2023)

Χρωματισμοί

Η Νίνα θέλει να χρωματίσει δέκα από τα τετράγωνα σε έναν πίνακα $4 \times 4$, έτσι ώστε μια γραμμή να έχει ένα χρωματισμένο τετράγωνο, μια γραμμή να έχει δύο χρωματισμένα τετράγωνα, μια γραμμή να έχει τρία και μια να έχει τέσσερα χρωματισμένα τετράγωνα. Η αντίστοιχη απαίτηση πρέπει να ισχύει και για τις στήλες. Με πόσους τρόπους μπορεί να το κάνει αυτό;

Δεν θεωρούμε δύο χρωματισμούς ίδιους εάν ο ένας προκύπτει από τον άλλο με περιστροφή. Μετράμε τα δύο παραδείγματα στο σχήμα ως διαφορετικούς χρωματισμούς, παρόλο που το ένα ισούται με το άλλο αν περιστραφεί κατά 90°.

(Νορβηγία, 2026)

Τρεις κύκλοι με ακτίνες 20, 30 και 100, εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο

Τρεις κύκλοι με ακτίνες 20, 30 και 100, εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο. Προσδιορίστε την ακτίνα του κύκλου που διέρχεται από τα κέντρα των τριών κύκλων.

(Νορβηγία, 2026)