Ακτίνα κύκλων

Στο παρακάτω σχήμα, πέντε κύκλοι εφάπτονται στην ευθεία $\ell$. Κάθε κύκλος εφάπτεται εξωτερικά σε δύο άλλους κύκλους. Υποθέστε ότι οι κύκλοι $A$ και $B$ έχουν ακτίνες $4$ και $225$, αντίστοιχα, και ότι οι $C_1, C_2, C_3$ είναι ίσοι κύκλοι. Βρείτε την κοινή τους ακτίνα.

Εμβαδόν τριγώνου

Σε ένα τρίγωνο $ABC$, το μήκος της πλευράς $AB$ είναι $12$ και ο εγγεγραμμένος κύκλος του $O$ έχει ακτίνα $4$. Έστω $D$ το σημείο επαφής του κύκλου $O$ με την πλευρά $AB$. Αν $AD : AB = 1 : 3$, βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$.

Τετράγωνο, ορθογώνιο και κύκλοι

 Ένα τετράγωνο είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο, και ένα ορθογώνιο είναι εγγεγραμμένο στο τετράγωνο. Ένας άλλος κύκλος είναι περιγεγραμμένος γύρω από το ορθογώνιο, και ένας μικρότερος κύκλος εφάπτεται σε τρεις πλευρές του ορθογωνίου, όπως φαίνεται παρακάτω. Το σκιασμένο εμβαδόν μεταξύ των δύο μεγαλύτερων κύκλων είναι οκταπλάσιο από το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου, ο οποίος είναι επίσης σκιασμένος. Τι κλάσμα του μεγαλύτερου κύκλου είναι σκιασμένο;

Πλήθος πρώτων διαιρετών

Πόσους διαφορετικούς πρώτους παράγοντες έχει ο αριθμός $5^{14} - 30 + 5^{13}$;

Ισότητα με λογάριθμους

 Δεδομένου ότι οι $a$ και $b$ είναι πραγματικοί αριθμοί που ικανοποιούν την εξίσωση

$$\log_{16} 3 + 2\log_{16}(a-b) = \frac{1}{2} + \log_{16} a + \log_{16} b,$$
βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του $\dfrac{a}{b}$.

Ελάχιστη τιμή παράστασης

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης 

$\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2} + \sqrt{(x+3)^2 + (y-2)^2}$.

Πρόβλημα αριθμητικής προόδου

 Έστω ότι η $\{a_n\}_{n \geq 1}$ είναι μια αριθμητική πρόοδος πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \cdots + a_{10} = 20,$

$a_1 + a_4 + a_9 + a_{16} + \cdots + a_{100} = 18.$

Υπολογίστε το άθροισμα $a_1 + a_8 + a_{27} + a_{64} + \cdots + a_{1000}$.

Συναρτησιακή εξίσωση από τις Φιλιππίνες

 Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(2xy) + f(f(x+y)) = xf(y) + yf(x) + f(x+y)$ για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$.

(Φιλιππίνες, 2019)

Σκακιστικό πρόβλημα

 Στο σκάκι, ένας πύργος μπορεί να μετακινηθεί κατά οποιονδήποτε αριθμό τετραγώνων μόνο είτε οριζόντια είτε κατακόρυφα. Με πόσους τρόπους μπορεί ένας πύργος, ξεκινώντας από την κάτω αριστερά γωνία μιας σκακιέρας \(8 \times 8\), να φτάσει στην πάνω δεξιά γωνία σε ακριβώς 4 κινήσεις; (Ο πύργος δεν πρέπει να βρεθεί στην πάνω δεξιά γωνία πριν από την 4η κίνηση.)

(Φιλιππίνες, 2023)

Συνάρτηση με ακέραιο μέρος

 Μια συνάρτηση $f : \mathbb{N} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{N} \cup \{0\}$ ορίζεται από τις σχέσεις $f(0) = 0$ και $f(n) = 1 + f(n - 3^{\lfloor \log_3 n \rfloor})$ για όλους τους ακέραιους $n \geq 1$. Βρείτε την τιμή του $f(10^4)$.

(Φιλιππίνες, 2023)

Χρωματισμοί

Η Νίνα θέλει να χρωματίσει δέκα από τα τετράγωνα σε έναν πίνακα $4 \times 4$, έτσι ώστε μια γραμμή να έχει ένα χρωματισμένο τετράγωνο, μια γραμμή να έχει δύο χρωματισμένα τετράγωνα, μια γραμμή να έχει τρία και μια να έχει τέσσερα χρωματισμένα τετράγωνα. Η αντίστοιχη απαίτηση πρέπει να ισχύει και για τις στήλες. Με πόσους τρόπους μπορεί να το κάνει αυτό;

Δεν θεωρούμε δύο χρωματισμούς ίδιους εάν ο ένας προκύπτει από τον άλλο με περιστροφή. Μετράμε τα δύο παραδείγματα στο σχήμα ως διαφορετικούς χρωματισμούς, παρόλο που το ένα ισούται με το άλλο αν περιστραφεί κατά 90°.

(Νορβηγία, 2026)

Τρεις κύκλοι με ακτίνες 20, 30 και 100, εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο

Τρεις κύκλοι με ακτίνες 20, 30 και 100, εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο. Προσδιορίστε την ακτίνα του κύκλου που διέρχεται από τα κέντρα των τριών κύκλων.

(Νορβηγία, 2026)

Τρίγωνο και τετράπλευρο έχουν ίση περίμετρο

Ένα τρίγωνο και ένα τετράπλευρο έχουν ίση περίμετρο. Αν \(R\) είναι ο λόγος του εμβαδού του τριγώνου προς το εμβαδόν του τετραπλεύρου, ποιο από τα παρακάτω είναι απαραίτητα αληθές;

A: $R < \dfrac{3}{4}$    B: $R = \dfrac{3}{4}$    C: $\dfrac{3}{4} < R < 1$    D: $1 < R$    E: Καμία από τις άλλες

(Νορβηγία, 2025)

Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του $p + q$;

 Είναι δεδομένο ότι $3^{20} + 4^9 + 6^{10} = pq$, όπου $p$ και $q$ είναι πρώτοι αριθμοί. Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του $p + q$;

(Νορβηγία, 2025)

Πόσα τετραγωνάκια σε ένα πλέγμα $4862 \times 3276$ βρίσκονται πάνω σε μια διαγώνιο;

Λέμε ότι ένα τετραγωνάκι σε ένα πλέγμα βρίσκεται πάνω σε μια διαγώνιο εάν ένα εσωτερικό του σημείο –δηλαδή όχι απλά μια κορυφή του– βρίσκεται πάνω σε μια διαγώνιο. Το σχήμα δείχνει ένα πλέγμα $6 \times 5$. Τα 18 σκιασμένα τετραγωνάκια βρίσκονται πάνω σε μια διαγώνιο. Πόσα από τα τετραγωνάκια σε ένα πλέγμα $4862 \times 3276$ βρίσκονται πάνω σε μια διαγώνιο;

(Νορβηγία, 2025)

Πόσες διαδρομές

Πόσες διαδρομές υπάρχουν από την κάτω αριστερή γωνία μέχρι την πάνω δεξιά γωνία στο σχήμα, όταν μπορείτε να κινηθείτε μόνο προς τα πάνω, προς τα δεξιά ή διαγώνια πάνω και δεξιά;

(Νορβηγία, 2025)

Tο κλάσμα $\dfrac{20n + 25}{2n + 25}$ να είναι ακέραιος

Πόσοι ακέραιοι $n \geq 1$ είναι τέτοιοι ώστε το κλάσμα $\dfrac{20n + 25}{2n + 25}$ να είναι επίσης ακέραιος αριθμός;

(Νορβηγία, 2025)

Εμβαδόν καμπυλόγραμμου χωρίου

Κάθε ζεύγος των σημείων $A$, $B$ και $C$ στο σχήμα συνδέεται με ένα ημικύκλιο με διάμετρο $2$. Πόσο είναι το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής;

(Νορβηγία, 2025)

Ακολουθία με αναδρομή (2)

Η ακολουθία $a_0, a_1, a_2, \dots$ είναι τέτοια ώστε $a_0 = 0$ και $a_n = n - a_{n-1}$ για όλα τα $n \geq 1$.

Ποια είναι η τιμή του $a_{2025}$;

(Νορβηγία, 2025)

Ασκήσεις Ε Τάξης από Μαραγκουδάκη Παναγιώτη.

   1. Είναι τα  παρακάτω ποσά αντιστρόφως ανάλογα;                                                                           

Αριθμός εργατών - ο χρόνος που απαιτείται για την εκτέλεση ενός έργου.                   ΝΑΙ             ΟΧΙ

 Κιλά πορτοκάλια - αξία τους σε ευρώ                                                                           ΝΑΙ             ΟΧΙ

 Ημέρες εργασίας - αμοιβή που θα πάρει ο υπάλληλος                                                  ΝΑΙ             ΟΧΙ

 Αριθμός καλεσμένων -  μέγεθως  κομμάτιου βασιλόπιτας                                            ΝΑΙ             ΟΧΙ

 Χιλιόμετρα - λίτρα βενζίνης που καταναλώνονται                                                        ΝΑΙ             ΟΧΙ

2. Να κάνετε τους παρακάτω πολαπλασιασμούς κάθετα.

456 x  64

278 x 72

256 x 89

563 x 41

918 x 23

Σκακιέρα 100 × 100

Σε μια σκακιέρα 100 × 100 σχεδιάζουμε μέσα στα μικρά τετραγωνάκια διαγώνιες γραμμές. Σε κάθε μικρό τετραγωνάκι επιτρέπεται να σχεδιάσουμε 0, 1 ή 2 διαγώνιους (αν σχεδιάσουμε δύο, αυτές θα τέμνονται στο κέντρο του τετραγώνου).

Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός διαγωνίων που μπορούμε να σχεδιάσουμε συνολικά στον πίνακα, έτσι ώστε καμία διαγώνιος να μην μοιράζεται το ίδιο ακραίο σημείο (κορυφή του πλέγματος) με κάποια άλλη;

(Τσεχία-Σλοβακία-Πολωνία, Juniors, 2026)

Ποιο από τα σύμβολα αντιπροσωπεύει την αφαίρεση

Στην παρακάτω αριθμητική παράσταση, τα σύμβολα $\circ$, $\Delta$ και $\square$ αντιπροσωπεύουν την πρόσθεση, την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό, αλλά όχι απαραίτητα με αυτή τη σειρά.

$$15 \circ 2\ \Delta\ 7\ \square\ 8 = 9$$

Ποιο από τα σύμβολα αντιπροσωπεύει την αφαίρεση (μείον);

(Δανία, 2026)