Πρόβλημα αριθμητικής προόδου

 Έστω ότι η $\{a_n\}_{n \geq 1}$ είναι μια αριθμητική πρόοδος πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \cdots + a_{10} = 20,$

$a_1 + a_4 + a_9 + a_{16} + \cdots + a_{100} = 18.$

Υπολογίστε το άθροισμα $a_1 + a_8 + a_{27} + a_{64} + \cdots + a_{1000}$.

Συναρτησιακή εξίσωση από τις Φιλιππίνες

 Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(2xy) + f(f(x+y)) = xf(y) + yf(x) + f(x+y)$ για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$.

(Φιλιππίνες, 2019)

Σκακιστικό πρόβλημα

 Στο σκάκι, ένας πύργος μπορεί να μετακινηθεί κατά οποιονδήποτε αριθμό τετραγώνων μόνο είτε οριζόντια είτε κατακόρυφα. Με πόσους τρόπους μπορεί ένας πύργος, ξεκινώντας από την κάτω αριστερά γωνία μιας σκακιέρας \(8 \times 8\), να φτάσει στην πάνω δεξιά γωνία σε ακριβώς 4 κινήσεις; (Ο πύργος δεν πρέπει να βρεθεί στην πάνω δεξιά γωνία πριν από την 4η κίνηση.)

(Φιλιππίνες, 2023)

Συνάρτηση με ακέραιο μέρος

 Μια συνάρτηση $f : \mathbb{N} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{N} \cup \{0\}$ ορίζεται από τις σχέσεις $f(0) = 0$ και $f(n) = 1 + f(n - 3^{\lfloor \log_3 n \rfloor})$ για όλους τους ακέραιους $n \geq 1$. Βρείτε την τιμή του $f(10^4)$.

(Φιλιππίνες, 2023)

Χρωματισμοί

Η Νίνα θέλει να χρωματίσει δέκα από τα τετράγωνα σε έναν πίνακα $4 \times 4$, έτσι ώστε μια γραμμή να έχει ένα χρωματισμένο τετράγωνο, μια γραμμή να έχει δύο χρωματισμένα τετράγωνα, μια γραμμή να έχει τρία και μια να έχει τέσσερα χρωματισμένα τετράγωνα. Η αντίστοιχη απαίτηση πρέπει να ισχύει και για τις στήλες. Με πόσους τρόπους μπορεί να το κάνει αυτό;

Δεν θεωρούμε δύο χρωματισμούς ίδιους εάν ο ένας προκύπτει από τον άλλο με περιστροφή. Μετράμε τα δύο παραδείγματα στο σχήμα ως διαφορετικούς χρωματισμούς, παρόλο που το ένα ισούται με το άλλο αν περιστραφεί κατά 90°.

(Νορβηγία, 2026)

Τρεις κύκλοι με ακτίνες 20, 30 και 100, εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο

Τρεις κύκλοι με ακτίνες 20, 30 και 100, εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο. Προσδιορίστε την ακτίνα του κύκλου που διέρχεται από τα κέντρα των τριών κύκλων.

(Νορβηγία, 2026)

Τρίγωνο και τετράπλευρο έχουν ίση περίμετρο

Ένα τρίγωνο και ένα τετράπλευρο έχουν ίση περίμετρο. Αν \(R\) είναι ο λόγος του εμβαδού του τριγώνου προς το εμβαδόν του τετραπλεύρου, ποιο από τα παρακάτω είναι απαραίτητα αληθές;

A: $R < \dfrac{3}{4}$    B: $R = \dfrac{3}{4}$    C: $\dfrac{3}{4} < R < 1$    D: $1 < R$    E: Καμία από τις άλλες

(Νορβηγία, 2025)

Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του $p + q$;

 Είναι δεδομένο ότι $3^{20} + 4^9 + 6^{10} = pq$, όπου $p$ και $q$ είναι πρώτοι αριθμοί. Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του $p + q$;

(Νορβηγία, 2025)

Πόσα τετραγωνάκια σε ένα πλέγμα $4862 \times 3276$ βρίσκονται πάνω σε μια διαγώνιο;

Λέμε ότι ένα τετραγωνάκι σε ένα πλέγμα βρίσκεται πάνω σε μια διαγώνιο εάν ένα εσωτερικό του σημείο –δηλαδή όχι απλά μια κορυφή του– βρίσκεται πάνω σε μια διαγώνιο. Το σχήμα δείχνει ένα πλέγμα $6 \times 5$. Τα 18 σκιασμένα τετραγωνάκια βρίσκονται πάνω σε μια διαγώνιο. Πόσα από τα τετραγωνάκια σε ένα πλέγμα $4862 \times 3276$ βρίσκονται πάνω σε μια διαγώνιο;

(Νορβηγία, 2025)

Πόσες διαδρομές

Πόσες διαδρομές υπάρχουν από την κάτω αριστερή γωνία μέχρι την πάνω δεξιά γωνία στο σχήμα, όταν μπορείτε να κινηθείτε μόνο προς τα πάνω, προς τα δεξιά ή διαγώνια πάνω και δεξιά;

(Νορβηγία, 2025)

Tο κλάσμα $\dfrac{20n + 25}{2n + 25}$ να είναι ακέραιος

Πόσοι ακέραιοι $n \geq 1$ είναι τέτοιοι ώστε το κλάσμα $\dfrac{20n + 25}{2n + 25}$ να είναι επίσης ακέραιος αριθμός;

(Νορβηγία, 2025)

Εμβαδόν καμπυλόγραμμου χωρίου

Κάθε ζεύγος των σημείων $A$, $B$ και $C$ στο σχήμα συνδέεται με ένα ημικύκλιο με διάμετρο $2$. Πόσο είναι το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής;

(Νορβηγία, 2025)

Ακολουθία με αναδρομή (2)

Η ακολουθία $a_0, a_1, a_2, \dots$ είναι τέτοια ώστε $a_0 = 0$ και $a_n = n - a_{n-1}$ για όλα τα $n \geq 1$.

Ποια είναι η τιμή του $a_{2025}$;

(Νορβηγία, 2025)

Ασκήσεις Ε Τάξης από Μαραγκουδάκη Παναγιώτη.

   1. Είναι τα  παρακάτω ποσά αντιστρόφως ανάλογα;                                                                           

Αριθμός εργατών - ο χρόνος που απαιτείται για την εκτέλεση ενός έργου.                   ΝΑΙ             ΟΧΙ

 Κιλά πορτοκάλια - αξία τους σε ευρώ                                                                           ΝΑΙ             ΟΧΙ

 Ημέρες εργασίας - αμοιβή που θα πάρει ο υπάλληλος                                                  ΝΑΙ             ΟΧΙ

 Αριθμός καλεσμένων -  μέγεθως  κομμάτιου βασιλόπιτας                                            ΝΑΙ             ΟΧΙ

 Χιλιόμετρα - λίτρα βενζίνης που καταναλώνονται                                                        ΝΑΙ             ΟΧΙ

2. Να κάνετε τους παρακάτω πολαπλασιασμούς κάθετα.

456 x  64

278 x 72

256 x 89

563 x 41

918 x 23

Σκακιέρα 100 × 100

Σε μια σκακιέρα 100 × 100 σχεδιάζουμε μέσα στα μικρά τετραγωνάκια διαγώνιες γραμμές. Σε κάθε μικρό τετραγωνάκι επιτρέπεται να σχεδιάσουμε 0, 1 ή 2 διαγώνιους (αν σχεδιάσουμε δύο, αυτές θα τέμνονται στο κέντρο του τετραγώνου).

Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός διαγωνίων που μπορούμε να σχεδιάσουμε συνολικά στον πίνακα, έτσι ώστε καμία διαγώνιος να μην μοιράζεται το ίδιο ακραίο σημείο (κορυφή του πλέγματος) με κάποια άλλη;

(Τσεχία-Σλοβακία-Πολωνία, Juniors, 2026)

Ποιο από τα σύμβολα αντιπροσωπεύει την αφαίρεση

Στην παρακάτω αριθμητική παράσταση, τα σύμβολα $\circ$, $\Delta$ και $\square$ αντιπροσωπεύουν την πρόσθεση, την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό, αλλά όχι απαραίτητα με αυτή τη σειρά.

$$15 \circ 2\ \Delta\ 7\ \square\ 8 = 9$$

Ποιο από τα σύμβολα αντιπροσωπεύει την αφαίρεση (μείον);

(Δανία, 2026)

Ποιο από τα παρακάτω τμήματα χωρίζει το σχήμα σε δύο ισεμβαδικά μέρη;

Ποιο από τα παρακάτω ευθύγραμμα τμήματα χωρίζει το σχήμα σε δύο μέρη με το ίδιο εμβαδόν;        

Α) QV      Β) PU      C) QT      D) XS      Ε) RW

(Δανία, 2026)

Η αριθμομηχανή της Σόνιας

Στην αριθμομηχανή της Σόνια (Sonya), μπορείτε να εισάγετε έναν αριθμό από την αριστερή πλευρά και να πάρετε έναν αριθμό από τη δεξιά πλευρά. Όταν ο αριθμός φτάνει σε ένα κυκλικό κελί, πρέπει να βγει από αυτό ακολουθώντας ένα από τα βέλη. Όταν φτάνει σε ένα τετράγωνο κελί, εφαρμόζεται στον αριθμό η πράξη που αναγράφεται μέσα στο κελί και το αποτέλεσμα στέλνεται παρακάτω μέσω του βέλους.

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να εξαχθεί αν εισάγουμε τον αριθμό 6 στη μηχανή;

(Δανία, 2026)

Τετράγωνα και κανονικά πεντάγωνα στη σειρά

 Τετράγωνα και κανονικά πεντάγωνα τοποθετούνται εναλλάξ σε σειρά, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν συνεχίσουμε έτσι, θα προκύψει κλειστό σχήμα;

Μέση ταχύτητα

Ο Ματθίας οδηγεί βόρεια προς το Ακουρέιρι με μέση ταχύτητα 80 km/h, αλλά μετά, πριν προλάβει να επιστρέψει, ο κακός καιρός και η κίνηση μπλοκάρουν τους δρόμους. Οδηγεί στον δρόμο της επιστροφής με μέση ταχύτητα 20 km/h. Ποια ήταν η συνολική μέση ταχύτητά του;

(Ισλανδία, 2025)

Χρώματα

Η Ingfríður χρωματίζει τους κύκλους στο παρακάτω σχήμα. Δύο κύκλοι που συνδέονται με ένα ευθύγραμμο τμήμα δεν επιτρέπεται να έχουν το ίδιο χρώμα. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων που πρέπει να χρησιμοποιήσει η Ingfríður ;

(Ισλανδία, 2025)

Αναδρομή

🧮Έχουμε μια ακολουθία αριθμών $a_1, a_2, a_3, \dots$.

Δίνεται ότι:

$$a_{2n} = a_n, \quad a_{4n-3} = 2a_{2n-1} - 1, \quad \text{και} \quad a_{4n-1} = 2a_{2n-1} + 1$$

για όλα τα $n = 1, 2, \dots$. Υπολογίστε την τιμή του αθροίσματος $a_1 + a_2 + \dots + a_{2025}$.

(Ισλανδία, 2025)