Συνέπεια του θεωρήματος του Ναπολέντα

Δίνεται ένα τυχαίο τρίγωνο $\triangle ABC$.

Στις πλευρές του κατασκευάζονται εξωτερικά τα ισόπλευρα τρίγωνα $\triangle ABC_1$, $\triangle BCA_1$ και $\triangle ACB_1$.
Τα σημεία $C_2$, $A_2$ και $B_2$ είναι τα βαρύκεντρα (κέντρα) αυτών των τριών ισόπλευρων τριγώνων αντίστοιχα.
Το σημείο $A_3$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $AA_2$.
Το σημείο $B_3$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $BB_2$.
Το σημείο $C_3$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $CC_2$.
Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\triangle A_3B_3C_3$ είναι ισόπλευρο τρίγωνο.

Τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές δύο τετραγώνων

Δίνονται δύο τετράγωνα, A₁B₁C₁D₁ και A₂B₂C₂D₂, στο ίδιο επίπεδο, τα οποία έχουν τον ίδιο προσανατολισμό.

Το σημείο A είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος A₁A₂.

Το σημείο B είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος B₁B₂.

Το σημείο C είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος C₁C₂.

Το σημείο D είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος D₁D₂.

Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ABCD που σχηματίζεται από τα μέσα αυτών των τμημάτων είναι επίσης τετράγωνο.

Τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές δύο ισόπλευρων τριγώνων

Δίνονται δύο ισόπλευρα τρίγωνα $\triangle A_1B_1C_1$ και $\triangle A_2B_2C_2$ με τον ίδιο προσανατολισμό.

Το σημείο $A$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $A_1A_2$.

Το σημείο $B$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $B_1B_2$.

Το σημείο $C$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $C_1C_2$.

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\triangle ABC$ που σχηματίζεται από τα μέσα αυτών των τμημάτων είναι επίσης ισόπλευρο τρίγωνο.

Σημείο Fermat-Torricelli (ή και σημείο Steiner) και το Θεώρημα του Ναπολέοντα

 Θεωρούμε τρίγωνο $AB\Gamma$ και προς το μέρος των πλευρών $B\Gamma$, $\Gamma A$, $AB$ προς το οποίο δεν κείνται τα $A$, $B$, $\Gamma$ αντιστοίχως, τα ισόπλευρα τρίγωνα $B\Gamma A'$, $\Gamma AB'$, $AB\Gamma'$. Να αποδείξετε ότι:

• (α) Τα ευθύγραμμα τμήματα $AA'$, $BB'$, $\Gamma\Gamma'$ είναι ίσα.
• (β) Οι ευθείες $AA'$, $BB'$, $\Gamma\Gamma'$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $S$.
• (γ) Τα κέντρα $K_1$, $K_2$, $K_3$ των ισόπλευρων τριγώνων $B\Gamma A'$, $\Gamma AB'$, $AB\Gamma'$ αντιστοίχως, είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου.
• (δ) Αν η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου $AB\Gamma$ είναι μικρότερη των $120^\circ$, τότε το $S$ είναι εσωτερικό του $AB\Gamma$ και οι γωνίες $B\hat{S}\Gamma$, $\Gamma\hat{S}A$, $A\hat{S}B$ είναι ίσες προς $120^\circ$ η καθεμία.

Τα συμμετρικά σημεία του ορθόκεντρου ως προς τις τρεις πλευρές του τριγώνου ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου

 Σε κάθε τρίγωνο $ΑΒΓ$, αν πάρουμε τα συμμετρικά σημεία του ορθόκεντρου $Η$ ως προς τις τρεις πλευρές του τριγώνου, τα σημεία αυτά ανήκουν πάντοτε στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.

Πόρισμα (α) Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ΑΒΓ$, $\Gamma ΗΑ$ και $\Delta ΗΒ$ είναι ίσοι.

(β) Αν μας δοθεί ένας κύκλος $(Ο)$ και ένα σημείο $Η$ στο επίπεδό του, υπάρχουν άπειρα τρίγωνα εγγεγραμμένα στον $(Ο)$ που έχουν το $Η$ ως ορθόκεντρο. Όλα αυτά τα τρίγωνα έχουν το ίδιο κέντρο βάρους και την ίδια ευθεία Euler.

Το ορθόκεντρο τριγώνου, το μέσο μιας πλευράς και το αντιδιαμετρικό της απέναντι κορυφής

Σε κάθε τρίγωνο $ΑΒΓ$ αν:

• $A_1$ είναι το αντιδιαμετρικό σημείο της κορυφής $A$ στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου,
• $O_1$ είναι το μέσο της πλευράς $ΒΓ$,
• $Η$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου,

τότε, τα σημεία $H$, $O_1$ και $A_1$ είναι συνευθειακά και το $O_1$ είναι το μέσο του τμήματος $HA_1$, δηλαδή ισχύει:
$$\mathbf{O_1A_1 = O_1H}$$

---

Θεώρημα της ευθείας Euler

Σε κάθε μη ισόπλευρο τρίγωνο $ΑΒΓ$:

1. Το ορθόκεντρο $Η$ (σημείο τομής των υψών), το κέντρο βάρους $G$ (σημείο τομής των διαμέσων) και το περίκεντρο $Ο$ (κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου) είναι συνευθειακά.
2. Η ευθεία που διέρχεται από αυτά τα τρία σημεία ονομάζεται ευθεία Euler.
3. Το κέντρο βάρους $G$ βρίσκεται ανάμεσα στο $Η$ και το $Ο$, και ισχύει πάντοτε η σχέση:
   $$\mathbf{HG = 2 \cdot GO}$$
   
   
   

Υπάρχουν άπειρες ακέραιες λύσεις

 Να δείξετε ότι η εξίσωση $a^2+b^2= c^2+5$ έχει άπειρες θετικές ακέραιες λύσεις.

Να βρεθεί το πλήθος

 Οι θετικοί πραγματικοί $\displaystyle{a_1,a_2,...,a_n}$ ικανοποιούν τις σχέσεις

$\displaystyle{a_1+a_2+...+a_n=96}$

$\displaystyle{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=144}$ και

$\displaystyle{a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=216}$

Να βρεθεί ο φυσικός αριθμός $n$.

Ανισότητα τριών μεταβλητών με γινόμενο τη μονάδα

 Έστω οι αριθμοί $a,b,c>0$ με $abc=1$. Να αποδείξετε ότι

$\dfrac{a^{2}+b^{2}}{(a+b)^{3}}+\dfrac{b^{2}+c^{2}}{(b+c)^{3}}+\dfrac{c^{2}+a^{2}}{(c+a)^{3}}\leq{\dfrac{ab+bc+ca}{4}}$

Ανισότητα με λογάριθμους από τη Ρουμανία

Αν $a,b \in \left( {0,1} \right)$ ν.δ.ο. ${\log _a}\left( {\dfrac{{2ab}}{{a + b}}} \right) + {\log _b}\left( {\dfrac{{2ab}}{{a + b}}} \right) \ge 2$ .

Ανισότητα με συνθήκη

Έστω $a,b,c>0$ με $\color{blue}\displaystyle{abc=\dfrac{9}{4}}$. Να αποδείξετε ότι 

                $\color{blue}\displaystyle{ a^3+b^3+c^3>a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}}$

Είναι αναγκαστικά ισοσκελές

Αν σε κάποιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 

                                          $\displaystyle\eta \mu^2 \frac{A}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{B}{3}=\eta \mu^2 \frac{B}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{A}{3}$,

 να αποδειχθεί ότι είναι ισοσκελές.

Μέγιστη τιμή παράστασης σε ορθογώνια τρίγωνα

 Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα, να βρεθούν εκείνα για τα οποία μεγιστοποιείται η τιμή της παράστασης 

$\displaystyle{K=\frac{c+h}{a+b}}$,

όπου $\displaystyle{a,b}$ οι κάθετες πλευρές, $\displaystyle{c}$ η υποτείνουσα και $\displaystyle{h}$ το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.

Σύστημα από την Κύπρο

Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα:

$\begin{cases} x^3+ x(y - z)^2 = 2 \\ y^3 + y(z - x)^2 = 30 \\ z^3 + z(x - y)^2 = 16 \end{cases}$

Στρατηγική σε πολυώνυμο

 Δύο παίκτες Α και Β παίζουν ένα παιγνίδι ως εξής:

Αρχίζει ο παίκτης Α δίνοντας σε μία από τις μεταβλητές $a,b,c$ μία πραγματική τιμή. 

Συνεχίζει ο παίκτης Β δίνοντας σε μία από τις δύο εναπομείνασες τιμές μία πραγματική τιμή. Τέλος ο παίκτης Α δίνει μία πραγματική τιμή για την τελευταία μεταβλητή.

Ο παίκτης Α κερδίζει αν το προκύπτον τριτοβάθμιο πολυώνυμο $x^3+ax^2+bx+c$ έχει τρεις πραγματικές ρίζες. Υπάρχει τρόπος ο παίκτης Α να κερδίσει ανεξάρτητα από την επιλογή του Β;

Δύο καθετότητες που οδηγούν σε μία τρίτη

Θεωρούμε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ, του οποίου οι γωνίες Α και Δ είναι ορθές. Ονομάζουμε Ο το μέσον της πλευράς ΑΔ. Η κάθετος από το Α στην ευθεία ΟΒ τέμνει την κάθετο από το Δ στην ευθεία ΟΓ σε ένα σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΟΕ είναι κάθετος στην ευθεία ΒΓ.

Ακέραιες λύσεις συστήματος

 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις του συστήματος

$\begin{cases}(x+1)(y+1)(z+1)^{2}=4(z+19)^{2}-99\\ (y+1)(z+1)(x+1)^{2}=4(x+19)^{2}-99\\ (z+1)(x+1)(y+1)^{2}=4(y+19)^{2}-99\end{cases}$

Ανισότητα με απόλυτα

 👉Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4, a_5$, με άθροισμα μηδέν, και τέτοιους ώστε $\displaystyle |a_i-a_j|\leq 1$ για κάθε $\displaystyle i,j \in \{ 1,2,3,4,5 \}$.

Να δείξετε ότι $\displaystyle a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2\leq \dfrac{6}{5}$. Είναι δυνατή η ισότητα;

Μέγιστη και ελάχιστη τιμή παράστασης με συνθήκη

Αν $x, y, z$ είναι αριθμοί στο διάστημα $[-2,4]$ ώστε $xy + yz + zx = 0$, να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης $Π = x + y + z$.

Αριθμός με 1973 ψηφία, άθροισμα ψηφίων 1973 που να είναι πολλαπλάσιο του 1973

Υπάρχει αριθμός με 1973 ψηφία ο οποίος να έχει άθροισμα ψηφίων 1973 και να είναι πολλαπλάσιο του 1973;

Κυκλικό σύστημα

 Να λυθεί το σύστημα:

$$\begin{cases} (x + y)^3 = z - 2x - y \\ (y + z)^3 = x - 2y - z \\ (z + x)^3 = y - 2z - x \end{cases}$$

στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

(Θαλής 2009)