Διανύσματα (5)

 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το τρίγωνο $OAB$.

Δίνονται τα διανύσματα θέσης των κορυφών $A$ και $B$:

• $\overrightarrow{OA} = 8\vec{a}$
• $\overrightarrow{OB} = 6\vec{b}$

καθώς και οι ακόλουθες πληροφορίες για τα σημεία του σχήματος:

• Το σημείο $M$ ανήκει στην πλευρά $OB$ έτσι ώστε να ισχύει $OM : MB = 1 : 2$.
• Το σημείο $N$ είναι το μέσο της πλευράς $AB$.
• Το σημείο $P$ είναι το σημείο τομής των ευθειών $ON$ και $AM$.

Να εκφράσετε το διάνυσμα $\overrightarrow{OP}$ ως συνάρτηση των διανυσμάτων $\vec{a}$ και $\vec{b}$.

Διανύσματα (4)

Το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο. Το σημείο $M$ είναι το μέσο της πλευράς $CD$. Το σημείο $N$ βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο $AC$, έτσι ώστε να ισχύει ο λόγος $AN : NC = 2 : 1$.

Δίνονται τα διανύσματα:

• $\overrightarrow{AB} = 4\vec{a}$
• $\overrightarrow{AD} = 4\vec{b}$

α) Να εκφράσετε το διάνυσμα της διαγωνίου $\overrightarrow{AC}$ ως συνάρτηση των διανυσμάτων $\vec{a}$ και $\vec{b}$.

β) Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα $\overrightarrow{AN}$ ισούται με $\dfrac{8}{3}\vec{a} + \dfrac{8}{3}\vec{b}$.

γ) Να εκφράσετε τα διανύσματα $\overrightarrow{BN}$ και $\overrightarrow{BM}$ ως γραμμικό συνδυασμό των $\vec{a}$ και $\vec{b}$.

δ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία $B$, $N$ και $M$ βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Εκθετική εξίσωση (6)

 Δίνεται η εκθετική εξίσωση:

$$2^m + 4^m + 8^m = 39$$

Α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική πραγματική λύση.

Β. Να βρείτε τους δύο διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς ανάμεσα στους οποίους βρίσκεται η τιμή του $m$.

---

Διανύσματα (3)

 

Στο παρακάτω σχήμα, οι ευθείες $OC$ και $AD$ τέμνονται στο $P$..

Δίνονται τα διανύσματα:

• $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$
• $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$

καθώς και οι λόγοι των τμημάτων:

• $OD : DB = 1 : 2$
• $AC : CB = 3 : 1$

Να υπολογίσετε τον λόγο $OP : PC$.

---

Διανύσματα (2)

 

Το $OABC$ είναι παραλληλόγραμμο.

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ και $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$

Το $X$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $AC$.
Το $D$ είναι στην προέκταση του $OC$ από τη μεριά του $C$ έτσι ώστε $\overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{CD}$

Δίνεται ότι $\overrightarrow{XD} = 3\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a}$

βρείτε την τιμή του $k$.

---

Εισαγωγή στα διανύσματα (1)

Το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο.
Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου τέμνονται στο $O$.
$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ και $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$

• (a) Βρείτε, συναρτήσει του $\vec{b}$, το διάνυσμα $\overrightarrow{DB}$.
• (b) Βρείτε, συναρτήσει των $\vec{a}$ και $\vec{b}$, το διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$.
• (c) Βρείτε, συναρτήσει των $\vec{a}$ και $\vec{b}$, το διάνυσμα $\overrightarrow{AD}$.

Απόδειξη του πυθαγορείου θεωρήματος

 Χρησιμοποιώντας το παρακάτω σχήμα να αποδείξετε το πυθαγόρειο θεώρημα.

Επιστροφή στο αρχικό σημείο μετά από διαδοχικές συμμετρίες

 Δίνεται τρίγωνο $ΑΒΓ$ και σημείο $Μ$ του επιπέδου. Ας είναι $Μ_1$ το συμμετρικό του $Μ$ ως προς το μέσο του $ΑΒ$, $Μ_2$ το συμμετρικό του $Μ_1$ ως προς το μέσο του $ΒΓ$ και $Μ_3$ το συμμετρικό του $Μ_2$ ως προς το μέσο του $ΑΓ.$ Δείξτε δικαιολογώντας το σκεπτικό σας πως το συμμετρικό του $Μ_3$ ως προς το $Α$ είναι το αρχικό σημείο $Μ$.

Το πρόβλημα προτάθηκε από τον Γιώργο Χαραλαμπίδη

Βρείτε τη γωνία (10)

  Στο παρακάτω τρίγωνο $ΑΒΓ$ είναι $\widehat{Α}=75^o$ και $ΑΓ=2ΒΔ.$ Να υπολογίσετε σε μοίρες τη γωνία $\widehat{Γ}.$

Βρείτε τη γωνία (9)

 Στο παρακάτω τρίγωνο $ΑΒΓ$ είναι $\widehat{B}=45^o,$ $ΔΓ=2ΒΔ$ και $\widehat{ΑΔΓ}=60^o.$ Να υπολογίσετε σε μοίρες τη γωνία $\widehat{Γ}.$

33648

 

31550

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^x-lnx$. Να αποδείξετε ότι:
α) H f είναι κυρτή.
β) H f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε κάποιο $x_ο\in(\dfrac{1}{2},1)$ το οποίο είναι μοναδικό.                
γ) Tο ολικό ελάχιστο είναι το $x_ο+\dfrac{1}{x_ο}$.                                                 
δ) H εξίσωση $f(x)=2$ είναι αδύνατη.                                                                         

Σύστημα 3 ανισώσεων

 Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $a,b,c$ που ικανοποιούν τις ανισώσεις

$$\begin{cases}a^3b+3\leq4c\\b^3c+3\leq4a\\c^3a+3\leq4b\end{cases}$$

Σύστημα από τη Βουλγαρία (1967)

 Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

$$\begin{cases}x^2+x-1=y\\y^2+y-1=z\\z^2+z-1=x\end{cases}$$

Ανισότητα με 4 θετικούς αριθμούς που έχουν γινόμενο τη μονάδα

 Αν $a,b,c,d$ είναι τέσσερις θετικοί αριθμοί με $abcd=1$ να αποδείξετε ότι;

$$a^4+b^4+c^4+d^4\geq4+(a-b)^2$$

Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Έστω $a,b,c$ τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα $a.$ Να αποδείξετε ότι $$3<\dfrac{a^3-b^3-c^3}{a(a-b)(a-c)}\leq 2+\sqrt 2$$

Πολυώνυμο με τον μικρότερο δυνατό βαθμό με συγκεκριμένες ιδιότητες

 Να βρείτε πολυώνυμο $P(x)$ με το μικρότερο δυνατό βαθμό το οποίο 

• έχει ακέραιους συντελεστές
• παραγοντοποιείται πλήρως σε γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων
• όλες του οι ρίζες είναι ακέραιοι αριθμοί
• $P(0)=-1$ 
• $P(3)=128$ 

Εξίσωση με τρεις αγνώστους που ξεπερνούν τη μονάδα

Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x>1,y>1,z>1$ που ικανοποιούν την εξίσωση $$x+y+z+\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{3}{y-1}+\dfrac{3}{z-1}=2(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+2}).$$

Εύκολη ανισότητα

Εστω $a,b,c$ τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ώστε $a\geq b\geq c.$ Να αποδείξετε ότι                     $$\dfrac{a^3-c^3}{3}\geq abc(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a})$$                      

Πότε ισχύει η ισότητα;

Ανισότητα από Σκανδιναβικό διαγωνισμό

Αν $a,b,c$ είναι τρεις θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\leq \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}$$

Nordic Math Contest

Έξισώσεις για την Β΄ Γυμνασίου

Να λυθούν οι εξισώσεις:

•  $\dfrac{\sqrt{k+4}}{2}=6$
•  $\displaystyle{\sqrt{33+\sqrt y}}=6$
•  $\sqrt{3b+10}=4$
•  $\dfrac{3m}{7}=\dfrac{21}{m}$

Ουγγρική άσκηση από διαγωνισμό του 1896!

Για τους αριθμούς $x,y$ ισχύουν οι σχέσεις $x^2-3xy+2y^2+x-y=0$ και $x^2-2xy+y^2-5x+7y=0.$ 

Να αποδείξετε ότι $xy-12x+15y=0.$