Συναρτησιακή εξίσωση (7)

 Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση:

$$f(xf(y))=3xy$$

για κάθε \(x, y \in \mathbb{R}\).

Συναρτησιακή εξίσωση (6)

 Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης \(f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}\) η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

$$f(x)+f(-x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=x+1$$

για κάθε \(x \in \mathbb{R}^*\).

Τρίγωνο μέσα σε ημικύκλιο

 Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα τρίγωνο μέσα σε ένα ημικύκλιο. Βρείτε το εμβαδόν του κίτρινου τριγώνου.

Εξίσωση με απόλυτα

 Να λυθεί η εξίσωση $$\dfrac{|x+3|+x+1}{|x+3|-x}=\dfrac{4}{3}$$.

Πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές και με ρίζα τον αριθμό $$a= \dfrac{\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3}}$$

Να βρείτε πολυωνυμική εξίσωση τρίτου βαθμού με ακέραιους συντελεστές η οποία να έχει ως ρίζα τον αριθμό
$$a= \dfrac{\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3}}$$

Δύο τετράγωνα, δύο ίσα τμήματα, μια άγνωστη γωνία

 Τα $ABCD, DPQR$ είναι τετράγωνα με $AQ=AC$. Βρείτε τη γωνία $\widehat{QAC}$.

Δύο ημικύκλια σε τεταρτοκύκλιο

 Δύο ημικύκλια στο παρακάτω σχήμα εφάπτοναι εσωτερικά τεταρτοκυκλίου ακτίνας 6. Βρείτε το εμβαδόν της κίτρινης περιοχής.

Εξίσωση με ριζικά

Να λυθεί η εξίσωση: \(\dfrac{x + \sqrt{x+1}}{x - \sqrt{x+1}} = \dfrac{11}{5}\)

Κύκλος, τετράγωνο και ορθογώνιο

Ένας κύκλος ακτίνας $r$ είναι εγγεγραμμένος σε τετράγωνο. Ένα ορθογώνιο με διαστάσεις 3 και 4 βρίσκεται στην κάτω δεξιά γωνία του τετραγώνου ώστε η τέταρτη κορυφή του να είναι σημείο του κύκλου. Βρείτε την ακτίνα του κύκλου.

Εξίσωση 4ου βαθμού από τον Θαλή του 2014

Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση:
$$3x^{4}-x^{3}-18x^{2}+x+3=0.$$ 

                           75ο Διαγωνισμός Θαλής, 2014 για τη Β΄ Λυκείου 

Εξίσωση 3ου βαθμού

Να λύσετε στους πραγματικούς την εξίσωση $x^3+x^2+x=-\dfrac{1}{3}.$

Περίμετρος

Μπορείτε να βρείτε την περίμετρο του παρακάτω σχήματος;

Γεωμετρία Θαλή 2012, Γ΄ Λυκείου

Δίνεται κύκλος \(c(O, R)\), τυχούσα χορδή του \(BC\) (όχι διάμετρος) και τυχόν σημείο \(M\) του μικρού τόξου \(\widehat{BC}\).

Οι κύκλοι \(c_1(B, MB)\), \(c_2(C, CM)\) τέμνουν το κύκλο \(c(O, R)\) στα σημεία \(K, N\), αντίστοιχα, και οι κύκλοι \(c_1(B, MB)\), \(c_2(C, CM)\) τέμνονται στα σημεία \(A\) και \(M\).

Η παράλληλος από το σημείο \(M\) προς την \(BC\) τέμνει τους κύκλους \(c_1(B, MB)\), \(c_2(C, CM)\) στα σημεία \(T, S\), αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \(AM, KT, NS\) περνάνε από το ίδιο σημείο.

Ισοσκελές τρίγωνο από τον Θαλή του 2012 για την α΄ λυκείου

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \(AB\Gamma\) με \(B\Gamma = \alpha\) και \(AB = A\Gamma = 2\alpha\). Η παράλληλη ευθεία από την κορυφή \(\Gamma \) προς την πλευρά \(AB\) τέμνει την ευθεία της διχοτόμου \(B\Delta\) στο σημείο \(E\). Η ευθεία \(AE\) τέμνει την ευθεία \(B\Gamma\) στο σημείο \(Z\). Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \(ABZ\) είναι ισοσκελές.

Συναρτησιακή εξίσωση από τις Φιλιππίνες (4)

Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) τέτοιες ώστε:

\(f(2xy)+f(f(x+y))=xf(y)+yf(x)+f(x+y)\)

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς \(x\) και \(y\).                                    (Φιλιππίνες, 2019)

Σύστημα με ν εξισώσεις και ν αγνώστους

Να λυθεί το σύστημα:

\(\begin{cases}2x_{2}=x_{1}+\dfrac{2}{x_{1}}\\ 2x_{3}=x_{2}+\dfrac{2}{x_{2}}\\ \dots \\ 2x_{\nu }=x_{\nu -1}+\dfrac{2}{x_{\nu -1}}\\ 2x_{1}=x_{\nu }+\dfrac{2}{x_{\nu }}\end{cases}\)

όπου οι \(x_1, x_2, \dots, x_\nu\) είναι πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός.

(Ελλάδα, 1975)

Ύψος, διάμεσος και διχοτόμος τριγώνου συντρέχουν

Σε ένα τρίγωνο \(ABC\) έχουμε \(\angle A = 112,5^\circ\), \(\angle B = 22,5^\circ\) και \(\angle C = 45^\circ\). Να αποδειχθεί ότι το ύψος \(AD\), η διάμεσος \(BE\) και η διχοτόμος της γωνίας \(C\) συντρέχουν.                                          

(Ελλάδα, 1984)

Υπαρχει τέτοιο πεντάγωνο;

Να εξετάσετε αν υπάρχει ένα πεντάγωνο (όχι κατανάγκη επίπεδο) που οι πλευρές του να είναι ίσες και οι γωνίες του ορθές.

Ελλάδα, 1984)

Υπάρχει τέτοιο εξάγωνο;

Για ποια τιμή του ν υπάρχει τέτοιο ν-γωνο;

Παραλληλία

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $BC=a >CA=b>AB=c$. Στο ευθύγραμμο τμήμα $BC$ παίρνουμε σημεία $P,L$ ώστε $BL=c$ και $CP=b$. Στο ευθύγραμμο τμήμα $AC$ παίρνουμε σημείο $K$ ώστε $AK=c$. Επί της $AB$ και εκτός του ευθύγραμμου τμήματος $AB$ προς το μέρος του $A$ παίρνουμε σημείo $N$ ώστε $BN=a$ και προς το μέρος του $B$ παίρνουμε σημείο $Q$ ώστε $AQ=b$. Στην ευθεία $AC$ εκτός του ευθύγραμμου τμήματος $AC$ και προς το μέρος του $A$ παίρνουμε σημείο $M$ ώστε $CM=a$.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $MN, LK, PQ$ είναι παράλληλες.

(Ελλάδα, 1984)

Κυκλική εναλλαγή

Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν πραγματικοί μη μηδενικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha, \beta, \gamma}$ ώστε οι εξισώσεις :

$\displaystyle{\begin{matrix}

\alpha x^2+\beta x + \gamma =0\\

\beta x^2+\gamma x + \alpha =0\\

\gamma x^2+\alpha x + \beta =0

\end{matrix}}$

να έχουν λύσεις $\displaystyle{(x_1,x_2),(x_2,x_3),(x_3,x_1)}$ αντίστοιχα, όπου $\displaystyle{x_1,x_2,x_3}$ πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί ανά δύο.

(Ελλάδα, 1984)

Πολυώνυμο με θετικούς συντελεστές και όλες τις ρίζες του πραγματικές

 Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x) = x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_1 x + 1}$ με $\displaystyle{a_1 ,a_2 ,...,a_{n - 1} \, > 0}$. 

Αν το πολυώνυμο έχει $\displaystyle{n}$ πραγματικές ρίζες, τότε να δείξετε ότι $\displaystyle{f(2) \ge 3^n}$.

Πόσοι διαδοχικοί ακέραιοι μπορούν να γραφούν στη μορφή $x^3 + 2y^2$

Πόσοι το πολύ διαδοχικοί ακέραιοι μπορούν να γραφούν στη μορφή $x^3+2y^2$ , όπου $x, y$ ακέραιοι;