Ένα πολυώνυμο $Q(x)$ έχει ακέραιους συντελεστές και βαθμό μικρότερο ή ίσο του 2025. Κάθε όρος του πολυωνύμου $xQ(x) + Q(x)$ έχει συντελεστή μικρότερο ή ίσο του 2026. Επιπλέον, η τιμή $Q(1)$ είναι η μέγιστη δυνατή υπό αυτές τις συνθήκες. Ποιο θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $Q(1)$ με το 1000;
(Νορβηγία, 2026)
Ονομάζουμε έναν θετικό ακέραιο $n$ «ενδιαφέροντα» αν τόσο το άθροισμα των ψηφίων του $n$ όσο και το άθροισμα των ψηφίων του $n + 1$ είναι τέλεια τετράγωνα, ενώ οι $n$ και $n + 1$ έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων. Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $k$ για τους οποίους υπάρχει ένας ενδιαφέρων $k$-ψήφιος αριθμός.
(Εσθονία, 2025)
Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα των εξισώσεων:
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση:
Σε ένα κανονικό εξάγωνο $ABCDEF$, σχεδιάζονται ίσα ορθογώνια $ABZY$, $CDXZ$ και $EFYX$. Τι μέρος του εμβαδού του εξαγώνου $ABCDEF$ καλύπτουν αυτά τα ορθογώνια;
Τα παρακάτω προβλήματα σχετίζονται με την ακολουθία Fibonacci, η οποία ορίζεται από τις σχέσεις $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ και $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ για κάθε $n \geq 0$.
Έστω $n$ ένας θετικός ακέραιος. Αποδείξτε ότι αν αφαιρεθεί ένα τετράγωνο από μια σκακιέρα μεγέθους $2^n \times 2^n$, η υπόλοιπη σκακιέρα μπορεί να καλυφθεί πλήρως με πλακίδια 3 τετραγώνων του παρακάτω σχήματος
$n$ άνθρωποι κάθονται σε μια σειρά από $n$ καθίσματα. Επιτρέπεται να αλλάξουν θέσεις μεταξύ τους με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε άτομο να μετακινηθεί το πολύ κατά μία θέση. Βρείτε το πλήθος των τρόπων $a_n$ με τους οποίους μπορούν να αναδιαταχθούν.
Έστω $A$ ένα υποσύνολο του $\{0, 1, 2, 3, \dots, 1997\}$ το οποίο περιέχει περισσότερα από 1000 στοιχεία. Αποδείξτε ότι είτε το $A$ περιέχει μια δύναμη του 2 (δηλαδή, έναν αριθμό της μορφής $2^k$, όπου ο $k$ είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος) είτε υπάρχουν δύο διαφορετικά στοιχεία $a, b \in A$ τέτοια ώστε το άθροισμά τους $a + b$ να είναι δύναμη του 2.
(Ιρλανδία, 1997)
Έστω $f(n)$ το πλήθος των περιοχών που σχηματίζονται από $n$ ευθείες στο επίπεδο, όπου ανά δύο οι ευθείες δεν είναι παράλληλες και ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Για παράδειγμα, $f(4) = 11$.) Να βρείτε έναν τύπο για το $f(n)$.
Κάθε κελί ενός πίνακα διάστασης $200 \times 200$ είναι χρωματισμένο μαύρο ή λευκό. Είναι γνωστό ότι η διαφορά μεταξύ του πλήθους των μαύρων και των λευκών κελιών στον πίνακα είναι $404$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας υποπίνακας διάστασης $2 \times 2$ ο οποίος περιέχει περιττό πλήθος μαύρων μοναδιαίων τετραγώνων.
(Ρωσία, 2000)
Οι αριθμοί $1, 2, \dots, 100$ γράφονται με τυχαία σειρά σε έναν πίνακα διάστασης $10 \times 10$. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο γειτονικά μοναδιαία τετράγωνα (που μοιράζονται μια κοινή πλευρά) τέτοια ώστε οι αριθμοί $x, y$ που είναι γραμμένοι σε αυτά να ικανοποιούν τη σχέση $\vert{}x - y\vert{} \geq 6$.
Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να γεμίσουμε τα μοναδιαία τετράγωνα μιας σκακιέρας $8 \times 8$ με τους αριθμούς $-1$ και $1$, έτσι ώστε το άθροισμα των στοιχείων σε κάθε υποπίνακα διάστασης $2 \times 2$ να είναι $0$;
(Columbia Math Olympiad)
Οι αριθμοί $1, 2, \dots, 81$ γράφονται με τυχαία σειρά μέσα στα τετράγωνα μιας σκακιέρας $9 \times 9$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας υποπίνακας διάστασης $2 \times 2$ του οποίου το άθροισμα των αριθμών είναι μεγαλύτερο από $137$.
Επτά τετράγωνα μιας σκακιέρας $8 \times 8$ είναι μολυσμένα. Σε κάθε μονάδα χρόνου, τα τετράγωνα που έχουν τουλάχιστον δύο μολυσμένα γειτονικά τετράγωνα (που μοιράζονται μια κοινή πλευρά) μολύνονται και αυτά. Είναι δυνατόν η μόλυνση να εξαπλωθεί σε ολόκληρη τη σκακιέρα;
Σε κάθε τετράγωνο σκακιέρας $25 \times 25$ γράφουμε ή τον αριθμό $1$ ή τον $-1$. Συμβολίζουμε με $a_1, a_2, \dots, a_{25}$ τα γινόμενα των στοιχείων ανά γραμμή και με $b_1, b_2, \dots, b_{25}$ τα γινόμενα των στοιχείων ανά στήλη. Να αποδείξετε ότι:
(α) Είναι δυνατόν να γεμίσουμε τα μοναδιαία τετράγωνα μιας σκακιέρας $7 \times 7$ με τους αριθμούς $1$ ή $-1$, έτσι ώστε το γινόμενο των στοιχείων σε κάθε γραμμή να είναι $1$ και το γινόμενο των στοιχείων σε κάθε στήλη να είναι $-1$;
Σε κάθε τετράγωνο μιας σκακιέρας $8 \times 8$ γράφουμε έναν από τους αριθμούς $-1$, $0$ ή $1$. Είναι δυνατόν όλα τα αθροίσματα των γραμμών, των στηλών και των δύο κύριων διαγωνίων να είναι διαφορετικά μεταξύ τους;
Δίνεται η εξίσωση $$5a^2 + 5b^2 + 10c^2 + d^2 - 4ab - 4bc - 6cd = 4$$
Έστω ένα τυχόν τρίγωνο $ABC$. Αν κατασκευάσουμε εξωτερικά (ή εσωτερικά) των πλευρών του $BC$, $AC$ και $AB$ τα τετράγωνα $BCDE$, $ACZN$ και $ABKL$ με κέντρα $O_1$, $O_2$ και $O_3$ αντίστοιχα, τότε ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
