Σημείο Fermat-Torricelli (ή και σημείο Steiner) και το Θεώρημα του Ναπολέοντα

 Θεωρούμε τρίγωνο $AB\Gamma$ και προς το μέρος των πλευρών $B\Gamma$, $\Gamma A$, $AB$ προς το οποίο δεν κείνται τα $A$, $B$, $\Gamma$ αντιστοίχως, τα ισόπλευρα τρίγωνα $B\Gamma A'$, $\Gamma AB'$, $AB\Gamma'$. Να αποδείξετε ότι:

• (α) Τα ευθύγραμμα τμήματα $AA'$, $BB'$, $\Gamma\Gamma'$ είναι ίσα.
• (β) Οι ευθείες $AA'$, $BB'$, $\Gamma\Gamma'$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $S$.
• (γ) Τα κέντρα $K_1$, $K_2$, $K_3$ των ισόπλευρων τριγώνων $B\Gamma A'$, $\Gamma AB'$, $AB\Gamma'$ αντιστοίχως, είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου.
• (δ) Αν η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου $AB\Gamma$ είναι μικρότερη των $120^\circ$, τότε το $S$ είναι εσωτερικό του $AB\Gamma$ και οι γωνίες $B\hat{S}\Gamma$, $\Gamma\hat{S}A$, $A\hat{S}B$ είναι ίσες προς $120^\circ$ η καθεμία.

Τα συμμετρικά σημεία του ορθόκεντρου ως προς τις τρεις πλευρές του τριγώνου ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου

 Σε κάθε τρίγωνο $ΑΒΓ$, αν πάρουμε τα συμμετρικά σημεία του ορθόκεντρου $Η$ ως προς τις τρεις πλευρές του τριγώνου, τα σημεία αυτά ανήκουν πάντοτε στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.

Πόρισμα (α) Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ΑΒΓ$, $\Gamma ΗΑ$ και $\Delta ΗΒ$ είναι ίσοι.

(β) Αν μας δοθεί ένας κύκλος $(Ο)$ και ένα σημείο $Η$ στο επίπεδό του, υπάρχουν άπειρα τρίγωνα εγγεγραμμένα στον $(Ο)$ που έχουν το $Η$ ως ορθόκεντρο. Όλα αυτά τα τρίγωνα έχουν το ίδιο κέντρο βάρους και την ίδια ευθεία Euler.

Το ορθόκεντρο τριγώνου, το μέσο μιας πλευράς και το αντιδιαμετρικό της απέναντι κορυφής

Σε κάθε τρίγωνο $ΑΒΓ$ αν:

• $A_1$ είναι το αντιδιαμετρικό σημείο της κορυφής $A$ στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου,
• $O_1$ είναι το μέσο της πλευράς $ΒΓ$,
• $Η$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου,

τότε, τα σημεία $H$, $O_1$ και $A_1$ είναι συνευθειακά και το $O_1$ είναι το μέσο του τμήματος $HA_1$, δηλαδή ισχύει:
$$\mathbf{O_1A_1 = O_1H}$$

---

Θεώρημα της ευθείας Euler

Σε κάθε μη ισόπλευρο τρίγωνο $ΑΒΓ$:

1. Το ορθόκεντρο $Η$ (σημείο τομής των υψών), το κέντρο βάρους $G$ (σημείο τομής των διαμέσων) και το περίκεντρο $Ο$ (κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου) είναι συνευθειακά.
2. Η ευθεία που διέρχεται από αυτά τα τρία σημεία ονομάζεται ευθεία Euler.
3. Το κέντρο βάρους $G$ βρίσκεται ανάμεσα στο $Η$ και το $Ο$, και ισχύει πάντοτε η σχέση:
   $$\mathbf{HG = 2 \cdot GO}$$
   
   
   

Υπάρχουν άπειρες ακέραιες λύσεις

 Να δείξετε ότι η εξίσωση $a^2+b^2= c^2+5$ έχει άπειρες θετικές ακέραιες λύσεις.

Να βρεθεί το πλήθος

 Οι θετικοί πραγματικοί $\displaystyle{a_1,a_2,...,a_n}$ ικανοποιούν τις σχέσεις

$\displaystyle{a_1+a_2+...+a_n=96}$

$\displaystyle{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=144}$ και

$\displaystyle{a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=216}$

Να βρεθεί ο φυσικός αριθμός $n$.

Ανισότητα τριών μεταβλητών με γινόμενο τη μονάδα

 Έστω οι αριθμοί $a,b,c>0$ με $abc=1$. Να αποδείξετε ότι

$\dfrac{a^{2}+b^{2}}{(a+b)^{3}}+\dfrac{b^{2}+c^{2}}{(b+c)^{3}}+\dfrac{c^{2}+a^{2}}{(c+a)^{3}}\leq{\dfrac{ab+bc+ca}{4}}$

Ανισότητα με λογάριθμους από τη Ρουμανία

Αν $a,b \in \left( {0,1} \right)$ ν.δ.ο. ${\log _a}\left( {\dfrac{{2ab}}{{a + b}}} \right) + {\log _b}\left( {\dfrac{{2ab}}{{a + b}}} \right) \ge 2$ .

Ανισότητα με συνθήκη

Έστω $a,b,c>0$ με $\color{blue}\displaystyle{abc=\dfrac{9}{4}}$. Να αποδείξετε ότι 

                $\color{blue}\displaystyle{ a^3+b^3+c^3>a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}}$

Είναι αναγκαστικά ισοσκελές

Αν σε κάποιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 

                                          $\displaystyle\eta \mu^2 \frac{A}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{B}{3}=\eta \mu^2 \frac{B}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{A}{3}$,

 να αποδειχθεί ότι είναι ισοσκελές.

Μέγιστη τιμή παράστασης σε ορθογώνια τρίγωνα

 Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα, να βρεθούν εκείνα για τα οποία μεγιστοποιείται η τιμή της παράστασης 

$\displaystyle{K=\frac{c+h}{a+b}}$,

όπου $\displaystyle{a,b}$ οι κάθετες πλευρές, $\displaystyle{c}$ η υποτείνουσα και $\displaystyle{h}$ το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.

Σύστημα από την Κύπρο

Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα:

$\begin{cases} x^3+ x(y - z)^2 = 2 \\ y^3 + y(z - x)^2 = 30 \\ z^3 + z(x - y)^2 = 16 \end{cases}$

Στρατηγική σε πολυώνυμο

 Δύο παίκτες Α και Β παίζουν ένα παιγνίδι ως εξής:

Αρχίζει ο παίκτης Α δίνοντας σε μία από τις μεταβλητές $a,b,c$ μία πραγματική τιμή. 

Συνεχίζει ο παίκτης Β δίνοντας σε μία από τις δύο εναπομείνασες τιμές μία πραγματική τιμή. Τέλος ο παίκτης Α δίνει μία πραγματική τιμή για την τελευταία μεταβλητή.

Ο παίκτης Α κερδίζει αν το προκύπτον τριτοβάθμιο πολυώνυμο $x^3+ax^2+bx+c$ έχει τρεις πραγματικές ρίζες. Υπάρχει τρόπος ο παίκτης Α να κερδίσει ανεξάρτητα από την επιλογή του Β;

Δύο καθετότητες που οδηγούν σε μία τρίτη

Θεωρούμε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ, του οποίου οι γωνίες Α και Δ είναι ορθές. Ονομάζουμε Ο το μέσον της πλευράς ΑΔ. Η κάθετος από το Α στην ευθεία ΟΒ τέμνει την κάθετο από το Δ στην ευθεία ΟΓ σε ένα σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΟΕ είναι κάθετος στην ευθεία ΒΓ.

Ακέραιες λύσεις συστήματος

 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις του συστήματος

$\begin{cases}(x+1)(y+1)(z+1)^{2}=4(z+19)^{2}-99\\ (y+1)(z+1)(x+1)^{2}=4(x+19)^{2}-99\\ (z+1)(x+1)(y+1)^{2}=4(y+19)^{2}-99\end{cases}$

Ανισότητα με απόλυτα

 👉Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4, a_5$, με άθροισμα μηδέν, και τέτοιους ώστε $\displaystyle |a_i-a_j|\leq 1$ για κάθε $\displaystyle i,j \in \{ 1,2,3,4,5 \}$.

Να δείξετε ότι $\displaystyle a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2\leq \dfrac{6}{5}$. Είναι δυνατή η ισότητα;

Μέγιστη και ελάχιστη τιμή παράστασης με συνθήκη

Αν $x, y, z$ είναι αριθμοί στο διάστημα $[-2,4]$ ώστε $xy + yz + zx = 0$, να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης $Π = x + y + z$.

Αριθμός με 1973 ψηφία, άθροισμα ψηφίων 1973 που να είναι πολλαπλάσιο του 1973

Υπάρχει αριθμός με 1973 ψηφία ο οποίος να έχει άθροισμα ψηφίων 1973 και να είναι πολλαπλάσιο του 1973;

Κυκλικό σύστημα

 Να λυθεί το σύστημα:

$$\begin{cases} (x + y)^3 = z - 2x - y \\ (y + z)^3 = x - 2y - z \\ (z + x)^3 = y - 2z - x \end{cases}$$

στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

(Θαλής 2009)

Δύο ασκήσεις με πολυώνυμα

🙇Άσκηση 1

Υπάρχει πολυώνυμο $Π(x)$ με ακέραιους συντελεστές για το οποίο να ισχύει

$Π(1204)Π(1453)Π(1821)Π(1922)Π(1940)=2009$ ;


👶Άσκηση 2

Έστω πολυώνυμο $Π(x)$ με ακέραιους συντελεστές για το οποίο ισχύει

$Π(1204)Π(1453)Π(1821)Π(1922)Π(1940)=2009^5.$ Να αποδείξετε

ότι η εξίσωση $Π(x)=0$ δεν έχει ακέραιες ρίζες.

Σύνθεση συναρτήσεων

 Στο διάστημα [0,1] ορίζονται οι συναρτήσεις S(x)=1-x και Τ(x)=$\dfrac{x}{2}$. Υπάρχει συνάρτηση της μορφής $\displaystyle{f=g_{1}\circ g_{2} \circ ...\circ g_{n}}$ όπου οι συναρτήσεις $g_{k}$ είναι είτε η S είτε η Τ ώστε $f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1975}{2^{1975}}$; 

                                                                                                                                                                         (Πολωνία 1975)

Δεκαψήφιοι, πολλαπλάσια του 2009 με συγκεκριμένο άθροισμα ψηφίων!

Να βρείτε 10 δεκαψήφιους αριθμούς οι οποίοι να είναι όλοι τους πολλαπλάσια του 2009 ώστε:
α) ο πρώτος να έχει άθροισμα ψηφίων 20
β) ο δεύτερος να έχει άθροισμα ψηφίων 21
γ) ο τρίτος να έχει άθροισμα ψηφίων 22
δ) ο τέταρτος να έχει άθροισμα ψηφίων 23
ε) ο πέμπτος να έχει άθροισμα ψηφίων 24
στ) ο έκτος να έχει άθροισμα ψηφίων 25
ζ) ο έβδομος να έχει άθροισμα ψηφίων 26
η) ο όγδοος να έχει άθροισμα ψηφίων 27
θ) ο ένατος να έχει άθροισμα ψηφίων 28
ι) ο δέκατος να έχει άθροισμα ψηφίων 29