Ο Άντιλ θέλει να τοποθετήσει είτε το σύμβολο του πολλαπλασιασμού ($\times$) είτε το σύμβολο της διαίρεσης ($\div$) σε καθένα από τα παρακάτω κουτάκια και να υπολογίσει την έκφραση που προκύπτει:
Ποιο είναι το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής; Το συνολικό σχήμα αποτελείται από ένα ημικύκλιο πάνω από ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς 6.
Έστω $a, b, c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $a + b \neq c$, $b + c \neq a$ και $c + a \neq b$.
Στο παρακάτω σχήμα, πέντε κύκλοι εφάπτονται στην ευθεία $\ell$. Κάθε κύκλος εφάπτεται εξωτερικά σε δύο άλλους κύκλους. Υποθέστε ότι οι κύκλοι $A$ και $B$ έχουν ακτίνες $4$ και $225$, αντίστοιχα, και ότι οι $C_1, C_2, C_3$ είναι ίσοι κύκλοι. Βρείτε την κοινή τους ακτίνα.
Σε ένα τρίγωνο $ABC$, το μήκος της πλευράς $AB$ είναι $12$ και ο εγγεγραμμένος κύκλος του $O$ έχει ακτίνα $4$. Έστω $D$ το σημείο επαφής του κύκλου $O$ με την πλευρά $AB$. Αν $AD : AB = 1 : 3$, βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$.
Ένα τετράγωνο είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο, και ένα ορθογώνιο είναι εγγεγραμμένο στο τετράγωνο. Ένας άλλος κύκλος είναι περιγεγραμμένος γύρω από το ορθογώνιο, και ένας μικρότερος κύκλος εφάπτεται σε τρεις πλευρές του ορθογωνίου, όπως φαίνεται παρακάτω. Το σκιασμένο εμβαδόν μεταξύ των δύο μεγαλύτερων κύκλων είναι οκταπλάσιο από το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου, ο οποίος είναι επίσης σκιασμένος. Τι κλάσμα του μεγαλύτερου κύκλου είναι σκιασμένο;
Πόσους διαφορετικούς πρώτους παράγοντες έχει ο αριθμός $5^{14} - 30 + 5^{13}$;
Δεδομένου ότι οι $a$ και $b$ είναι πραγματικοί αριθμοί που ικανοποιούν την εξίσωση
Έστω ότι η $\{a_n\}_{n \geq 1}$ είναι μια αριθμητική πρόοδος πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε:
Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(2xy) + f(f(x+y)) = xf(y) + yf(x) + f(x+y)$ για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$.
(Φιλιππίνες, 2019)
Στο σκάκι, ένας πύργος μπορεί να μετακινηθεί κατά οποιονδήποτε αριθμό τετραγώνων μόνο είτε οριζόντια είτε κατακόρυφα. Με πόσους τρόπους μπορεί ένας πύργος, ξεκινώντας από την κάτω αριστερά γωνία μιας σκακιέρας \(8 \times 8\), να φτάσει στην πάνω δεξιά γωνία σε ακριβώς 4 κινήσεις; (Ο πύργος δεν πρέπει να βρεθεί στην πάνω δεξιά γωνία πριν από την 4η κίνηση.)
(Φιλιππίνες, 2023)
Μια συνάρτηση $f : \mathbb{N} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{N} \cup \{0\}$ ορίζεται από τις σχέσεις $f(0) = 0$ και $f(n) = 1 + f(n - 3^{\lfloor \log_3 n \rfloor})$ για όλους τους ακέραιους $n \geq 1$. Βρείτε την τιμή του $f(10^4)$.
(Φιλιππίνες, 2023)
Η Νίνα θέλει να χρωματίσει δέκα από τα τετράγωνα σε έναν πίνακα $4 \times 4$, έτσι ώστε μια γραμμή να έχει ένα χρωματισμένο τετράγωνο, μια γραμμή να έχει δύο χρωματισμένα τετράγωνα, μια γραμμή να έχει τρία και μια να έχει τέσσερα χρωματισμένα τετράγωνα. Η αντίστοιχη απαίτηση πρέπει να ισχύει και για τις στήλες. Με πόσους τρόπους μπορεί να το κάνει αυτό;
Τρεις κύκλοι με ακτίνες 20, 30 και 100, εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο. Προσδιορίστε την ακτίνα του κύκλου που διέρχεται από τα κέντρα των τριών κύκλων.
(Νορβηγία, 2026)
Είναι δεδομένο ότι $3^{20} + 4^9 + 6^{10} = pq$, όπου $p$ και $q$ είναι πρώτοι αριθμοί. Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του $p + q$;
(Νορβηγία, 2025)
Λέμε ότι ένα τετραγωνάκι σε ένα πλέγμα βρίσκεται πάνω σε μια διαγώνιο εάν ένα εσωτερικό του σημείο –δηλαδή όχι απλά μια κορυφή του– βρίσκεται πάνω σε μια διαγώνιο. Το σχήμα δείχνει ένα πλέγμα $6 \times 5$. Τα 18 σκιασμένα τετραγωνάκια βρίσκονται πάνω σε μια διαγώνιο. Πόσα από τα τετραγωνάκια σε ένα πλέγμα $4862 \times 3276$ βρίσκονται πάνω σε μια διαγώνιο;
Πόσες διαδρομές υπάρχουν από την κάτω αριστερή γωνία μέχρι την πάνω δεξιά γωνία στο σχήμα, όταν μπορείτε να κινηθείτε μόνο προς τα πάνω, προς τα δεξιά ή διαγώνια πάνω και δεξιά;
(Νορβηγία, 2025)
Πόσοι ακέραιοι $n \geq 1$ είναι τέτοιοι ώστε το κλάσμα $\dfrac{20n + 25}{2n + 25}$ να είναι επίσης ακέραιος αριθμός;
(Νορβηγία, 2025)
Κάθε ζεύγος των σημείων $A$, $B$ και $C$ στο σχήμα συνδέεται με ένα ημικύκλιο με διάμετρο $2$. Πόσο είναι το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής;
Η ακολουθία $a_0, a_1, a_2, \dots$ είναι τέτοια ώστε $a_0 = 0$ και $a_n = n - a_{n-1}$ για όλα τα $n \geq 1$.
