Παραγοντοποίηση από την Πολωνία

 Να γράψετε το πολυώνυμο $P(x)=(x+1)^7-x^7-1$

ως γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων παραγόντων.

👉Πρόβλημα 16, σελ. 4 από το βιβλίο Mathematical Problems And Puzzles from the Polish Mathematical Olympiads

Ένα πρόβλημα από Τσεχία Σλοβακία (προκριματικός γύρος μελέτης στο σπίτι, 2024/25)

  Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς $a, b$ οι παραστάσεις $a^2 + b$ και $a + b^2$ έχουν την ίδια τιμή. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει αυτή η παράσταση; (Patrik Bak)

ΚΑΘΟΔΗΓΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ:
Κ1. Για τους διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς $a, b$, οι παραστάσεις $a^2 - b^2$ και $a - b$ έχουν την ίδια τιμή. Αποδείξτε ότι η τιμή του $a + b$ είναι 1.
Κ2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση $a^2 + 3a$ για έναν πραγματικό αριθμό $a$;
Κ3. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, λύστε το σύστημα των εξισώσεων $a^2 + b = c$, $b^2 + c = a$, $c^2 + a = b$.
Σ1. Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς $a_1, \dots, a_n$, οι παραστάσεις $a_1^2 + a_2, a_2^2 + a_3, \dots, a_{n-1}^2 + a_n$ και $a_n^2 + a_1$ έχουν την ίδια τιμή. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή;
Σ2. Για μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς $a, b, c$ ισχύει $a^2(b+c) = b^2(c+a) = c^2(a+b)$. Προσδιορίστε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης $\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$.
Σ3. Για τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$ ισχύει $x^3 + y^3 \leq 2$. Αποδείξτε ότι τότε ισχύει επίσης $x + y \leq 2$.
Σ4. Έστω $a, b, c$ θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Δείξτε ότι οι τρεις αριθμοί $a^2 + b + c$, $b^2 + c + a$, $c^2 + a + b$ δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα τέλεια τετράγωνα ακεραίων αριθμών.

Είναι ξεχωριστοί οι διαγωνισμοί που γίνονται στην Tσεχία και τη Σλοβακία;

Ναι, οι εθνικές φάσεις των διαγωνισμών διοργανώνονται ξεχωριστά, αλλά υπάρχει μια πολύ στενή και ιστορική συνεργασία μεταξύ των δύο χωρών.

Πώς λειτουργεί ο συγκεκριμένος διαγωνισμός

Το αρχικό πρόβλημα προέρχεται από την Τσεχοσλοβακική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Czech and Slovak Mathematical Olympiad), η οποία διατηρεί κοινή παράδοση από την εποχή της ενιαίας Τσεχοσλοβακίας.

• Προκαταρκτικές Φάσεις: Οι πρώτοι γύροι (σχολικοί, περιφερειακοί) διεξάγονται εντελώς ανεξάρτητα και ξεχωριστά σε κάθε χώρα από τις αντίστοιχες εθνικές επιτροπές, όπως την Επιτροπή Μαθηματικής Ολυμπιάδας της Σλοβακίας (SKMO).
• Τελική Φάση (Εθνικός Γύρος): Αν και κάθε χώρα επιλέγει τους δικούς της νικητές για τις διεθνείς διοργανώσεις, ο τελικός εθνικός γύρος της Κατηγορίας Α διοργανώνεται ως κοινός διαγωνισμός (Τσεχο-Σλοβακικός), όπου οι μαθητές και των δύο χωρών διαγωνίζονται στα ίδια θέματα.
• Διμερείς Αγώνες: Επιπλέον, διοργανώνεται ετήσια ο παραδοσιακός μαθηματικός αγώνας Czech-Polish-Slovak Match, στον οποίο συμμετέχουν από κοινού οι εθνικές ομάδες της Τσεχίας, της Σλοβακίας και της Πολωνίας.

Πολυώνυμο 5ου βαθμού με δύο αντίστροφες ρίζες

 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο $P(x)=x^5-55x+21$ έχει δύο αντίστροφες ρίζες.

Πέντε τετράγωνα και ένα τρίγωνο ισεμβαδικό με ένα από τα τετράγωνα

 Τα 5 τετράπλευρα είναι τετράγωνα. Τα σημεία $Α, Β, E, H, I$ είναι συνευθειακά.

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $KGN$ είναι ισεμβαδικό με το τετράγωνο $CEFG$.

Γραφική παράσταση συνάρτησης με απόλυτες τιμές και εξίσωση

 Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$$f(x) = \vert{}x\vert{} + \vert{}x-1\vert{} + \vert{}x-2\vert{}$$
α) Να γράψετε τον τύπο της $f$ χωρίς τις απόλυτες τιμές.

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$. 

γ) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης (ή αλγεβρικά), να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης $f(x) = a$ καθώς και τις ίδιες τις λύσεις, για τις διάφορες τιμές του αριθμού $a$.

Εκθετική εξίσωση (9)

 Να λυθεί η εξίσωση:

$$8^t \cdot 16^t = 140$$

Διανύσματα (5)

 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το τρίγωνο $OAB$.

Δίνονται τα διανύσματα θέσης των κορυφών $A$ και $B$:

• $\overrightarrow{OA} = 8\vec{a}$
• $\overrightarrow{OB} = 6\vec{b}$

καθώς και οι ακόλουθες πληροφορίες για τα σημεία του σχήματος:

• Το σημείο $M$ ανήκει στην πλευρά $OB$ έτσι ώστε να ισχύει $OM : MB = 1 : 2$.
• Το σημείο $N$ είναι το μέσο της πλευράς $AB$.
• Το σημείο $P$ είναι το σημείο τομής των ευθειών $ON$ και $AM$.

Να εκφράσετε το διάνυσμα $\overrightarrow{OP}$ ως συνάρτηση των διανυσμάτων $\vec{a}$ και $\vec{b}$.

Διανύσματα (4)

Το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο. Το σημείο $M$ είναι το μέσο της πλευράς $CD$. Το σημείο $N$ βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο $AC$, έτσι ώστε να ισχύει ο λόγος $AN : NC = 2 : 1$.

Δίνονται τα διανύσματα:

• $\overrightarrow{AB} = 4\vec{a}$
• $\overrightarrow{AD} = 4\vec{b}$

α) Να εκφράσετε το διάνυσμα της διαγωνίου $\overrightarrow{AC}$ ως συνάρτηση των διανυσμάτων $\vec{a}$ και $\vec{b}$.

β) Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα $\overrightarrow{AN}$ ισούται με $\dfrac{8}{3}\vec{a} + \dfrac{8}{3}\vec{b}$.

γ) Να εκφράσετε τα διανύσματα $\overrightarrow{BN}$ και $\overrightarrow{BM}$ ως γραμμικό συνδυασμό των $\vec{a}$ και $\vec{b}$.

δ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία $B$, $N$ και $M$ βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Εκθετική εξίσωση (6)

 Δίνεται η εκθετική εξίσωση:

$$2^m + 4^m + 8^m = 39$$

Α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική πραγματική λύση.

Β. Να βρείτε τους δύο διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς ανάμεσα στους οποίους βρίσκεται η τιμή του $m$.

---

Διανύσματα (3)

 

Στο παρακάτω σχήμα, οι ευθείες $OC$ και $AD$ τέμνονται στο $P$..

Δίνονται τα διανύσματα:

• $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$
• $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$

καθώς και οι λόγοι των τμημάτων:

• $OD : DB = 1 : 2$
• $AC : CB = 3 : 1$

Να υπολογίσετε τον λόγο $OP : PC$.

---

Διανύσματα (2)

 

Το $OABC$ είναι παραλληλόγραμμο.

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ και $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$

Το $X$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $AC$.
Το $D$ είναι στην προέκταση του $OC$ από τη μεριά του $C$ έτσι ώστε $\overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{CD}$

Δίνεται ότι $\overrightarrow{XD} = 3\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a}$

βρείτε την τιμή του $k$.

---

Εισαγωγή στα διανύσματα (1)

Το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο.
Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου τέμνονται στο $O$.
$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ και $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$

• (a) Βρείτε, συναρτήσει του $\vec{b}$, το διάνυσμα $\overrightarrow{DB}$.
• (b) Βρείτε, συναρτήσει των $\vec{a}$ και $\vec{b}$, το διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$.
• (c) Βρείτε, συναρτήσει των $\vec{a}$ και $\vec{b}$, το διάνυσμα $\overrightarrow{AD}$.

Απόδειξη του πυθαγορείου θεωρήματος

 Χρησιμοποιώντας το παρακάτω σχήμα να αποδείξετε το πυθαγόρειο θεώρημα.

Επιστροφή στο αρχικό σημείο μετά από διαδοχικές συμμετρίες

 Δίνεται τρίγωνο $ΑΒΓ$ και σημείο $Μ$ του επιπέδου. Ας είναι $Μ_1$ το συμμετρικό του $Μ$ ως προς το μέσο του $ΑΒ$, $Μ_2$ το συμμετρικό του $Μ_1$ ως προς το μέσο του $ΒΓ$ και $Μ_3$ το συμμετρικό του $Μ_2$ ως προς το μέσο του $ΑΓ.$ Δείξτε δικαιολογώντας το σκεπτικό σας πως το συμμετρικό του $Μ_3$ ως προς το $Α$ είναι το αρχικό σημείο $Μ$.

Το πρόβλημα προτάθηκε από τον Γιώργο Χαραλαμπίδη

Βρείτε τη γωνία (10)

  Στο παρακάτω τρίγωνο $ΑΒΓ$ είναι $\widehat{Α}=75^o$ και $ΑΓ=2ΒΔ.$ Να υπολογίσετε σε μοίρες τη γωνία $\widehat{Γ}.$

Βρείτε τη γωνία (9)

 Στο παρακάτω τρίγωνο $ΑΒΓ$ είναι $\widehat{B}=45^o,$ $ΔΓ=2ΒΔ$ και $\widehat{ΑΔΓ}=60^o.$ Να υπολογίσετε σε μοίρες τη γωνία $\widehat{Γ}.$

33648

 

31550

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^x-lnx$. Να αποδείξετε ότι:
α) H f είναι κυρτή.
β) H f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε κάποιο $x_ο\in(\dfrac{1}{2},1)$ το οποίο είναι μοναδικό.                
γ) Tο ολικό ελάχιστο είναι το $x_ο+\dfrac{1}{x_ο}$.                                                 
δ) H εξίσωση $f(x)=2$ είναι αδύνατη.                                                                         

Σύστημα 3 ανισώσεων

 Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $a,b,c$ που ικανοποιούν τις ανισώσεις

$$\begin{cases}a^3b+3\leq4c\\b^3c+3\leq4a\\c^3a+3\leq4b\end{cases}$$

Σύστημα από τη Βουλγαρία (1967)

 Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

$$\begin{cases}x^2+x-1=y\\y^2+y-1=z\\z^2+z-1=x\end{cases}$$

Ανισότητα με 4 θετικούς αριθμούς που έχουν γινόμενο τη μονάδα

 Αν $a,b,c,d$ είναι τέσσερις θετικοί αριθμοί με $abcd=1$ να αποδείξετε ότι;

$$a^4+b^4+c^4+d^4\geq4+(a-b)^2$$

Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Έστω $a,b,c$ τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα $a.$ Να αποδείξετε ότι $$3<\dfrac{a^3-b^3-c^3}{a(a-b)(a-c)}\leq 2+\sqrt 2$$