1η Άσκηση
Το \(OAB\) είναι ένα τρίγωνο.
- \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\)
- \(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\)
- Το σημείο \(P\) βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα \(AB\) έτσι ώστε \(AP : PB = 3 : 1\).
- Ζητούμενα:
- α) Βρείτε το διάνυσμα \(\overrightarrow{AB}\) συναρτήσει των \(\vec{a}\) και \(\vec{b}\).
- β) Βρείτε το διάνυσμα \(\overrightarrow{OP}\) συναρτήσει των \(\vec{a}\) και \(\vec{b}\).
2η Άσκηση
Το \(ABCD\) είναι ένα τραπέζιο.
- \(\overrightarrow{AB} = \vec{p}\)
- \(\overrightarrow{AD} = \vec{q}\)
- \(DC : AB = 2 : 1\) (δηλαδή η βάση \(DC\) είναι διπλάσια σε μήκος από τη βάση \(AB\)).
- Ζητούμενα:
- α) Γράψτε το διάνυσμα \(\overrightarrow{DC}\) συναρτήσει του \(\vec{p}\).
- β) Υπολογίστε το διάνυσμα \(\overrightarrow{BC}\) συναρτήσει των \(\vec{p}\) και \(\vec{q}\).
3η Άσκηση
Δίνεται ότι \(\overrightarrow{OA} = 3\vec{x} + 7\vec{y}\), \(\overrightarrow{OB} = 5\vec{x} + 6\vec{y}\) και \(\overrightarrow{CD} = 6\vec{x} - 3\vec{y}\).
- Ζητούμενο: Εξηγήστε τη γεωμετρική σχέση μεταξύ των ευθειών \(AB\) και \(CD\).
4η Άσκηση
Δίνεται ότι \(\overrightarrow{OA} = 13\vec{x} + 7\vec{y}\), \(\overrightarrow{OB} = 5\vec{x} + 12\vec{y}\) και \(\overrightarrow{CO} = -15\vec{x} + 12\vec{y}\).
- Ζητούμενο: Γράψτε καθένα από τα ακόλουθα διανύσματα συναρτήσει των \(\vec{x}\) και \(\vec{y}\):
- α) \(\overrightarrow{BA}\)
- β) \(\overrightarrow{AC}\)
5η Άσκηση
Το σχήμα δείχνει ότι \(\overrightarrow{OP} = \vec{p}\) και \(\overrightarrow{OQ} = \vec{q}\).
- Ζητούμενα:
- α) Γράψτε το διάνυσμα \(\overrightarrow{PQ}\) συναρτήσει των \(\vec{p}\) και \(\vec{q}\). Απλοποιήστε την απάντησή σας.
- β) Το σημείο \(Q\) χωρίζει το τμήμα \(PR\) σε λόγο \(2 : 5\). Υπολογίστε το διάνυσμα \(\overrightarrow{OR}\) συναρτήσει των \(\vec{p}\) και \(\vec{q}\). Απλοποιήστε την απάντησή σας.
6η Άσκηση
Δίνονται τα εξής διανύσματα:
- \(\overrightarrow{JK} = 5\vec{a} + 3\vec{b}\)
- \(\overrightarrow{NL} = 6\vec{a} + 11\vec{b}\)
- \(\overrightarrow{MN} = 3\vec{a} + 7\vec{b}\)
- Ισχύει επίσης η σχέση: \(\overrightarrow{ML} = 3\overrightarrow{NK}\)
- Ζητούμενο: Υπολογίστε το διάνυσμα \(\overrightarrow{JN}\) συναρτήσει των \(\vec{a}\) και \(\vec{b}\).
7η Άσκηση
Το \(ABCD\) είναι ένα παραλληλόγραμμο.
- \(\overrightarrow{AB} = 5\vec{p} + 3\vec{q}\)
- \(\overrightarrow{BC} = 2\vec{p} - 7\vec{q}\)
- Ζητούμενο: Ποιο είναι το διάνυσμα \(\overrightarrow{AC}\) συναρτήσει των \(\vec{p}\) και \(\vec{q}\);
8η Άσκηση
Το \(PQRS\) είναι ένα παραλληλόγραμμο.
- \(\overrightarrow{PQ} = 4\vec{a} + 9\vec{b}\)
- \(\overrightarrow{QR} = 7\vec{a} - 4\vec{b}\)
- Ζητούμενο: Ποιο είναι το διάνυσμα \(\overrightarrow{PR}\) συναρτήσει των \(\vec{a}\) και \(\vec{b}\);
9η Άσκηση
Δίνονται τα παρακάτω διανύσματα:
- Α: \(5\vec{a} + 2\vec{b}\)
- Β: \(5\vec{a} - 2\vec{b}\)
- C: \(8\vec{a} + 5\vec{b}\)
- D: \(4\vec{a} - 10\vec{b}\)
- E: \(10\vec{a} - 4\vec{b}\)
- Ζητούμενο: Ποια δύο από τα παραπάνω διανύσματα είναι παράλληλα μεταξύ τους;
10η Άσκηση
Τα σημεία \(X\), \(Y\) και \(Z\) βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία γραμμή.
- \(\overrightarrow{XZ} = 6\vec{a} + 14\vec{b}\)
- Το \(Y\) είναι το μέσο του τμήματος \(XZ\).
- Ζητούμενο: Ποιο είναι το διάνυσμα \(\overrightarrow{XY}\) συναρτήσει των \(\vec{a}\) και \(\vec{b}\);
11η Άσκηση
Το \(OAB\) είναι ένα τρίγωνο και η \(OBC\) είναι μια ευθεία γραμμή. Το \(N\) είναι το μέσο του τμήματος \(AB\). Δίνονται τα διανύσματα: \(\overrightarrow{OA} = 4\vec{a}\), \(\overrightarrow{OB} = 2\vec{b}\), \(\overrightarrow{BC} = \vec{b}\) και \(\overrightarrow{OM} = 3\vec{a}\).
- Ζητούμενα:
- α) Υπολογίστε το διάνυσμα \(\overrightarrow{MN}\) συναρτήσει των \(\vec{a}\) και \(\vec{b}\). Απλοποιήστε την απάντησή σας.
- β) Αποδείξτε ότι τα σημεία \(M\), \(N\) και \(C\) βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία γραμμή (είναι συνευθειακά).
12η Άσκηση
Το \(OAB\) είναι ένα τρίγωνο.
- \(\overrightarrow{OA} = 2\vec{a}\)
- \(\overrightarrow{OB} = 3\vec{b}\)
- Το σημείο \(P\) βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα \(AB\) έτσι ώστε \(AP : PB = 2 : 3\).
- Ζητούμενα:
- α) Βρείτε το διάνυσμα \(\overrightarrow{AB}\) συναρτήσει των \(\vec{a}\) και \(\vec{b}\).
- β) Αποδείξτε ότι το διάνυσμα \(\overrightarrow{OP}\) είναι παράλληλο στο διάνυσμα \(\vec{a} + \vec{b}\).
13η Άσκηση
Δίνονται τα διανύσματα: \(\overrightarrow{BA} = 7\vec{a} - 3\vec{b}\), \(\overrightarrow{CA} = 4\vec{a} + \vec{b}\) και \(\overrightarrow{AD} = 8\vec{a} - 17\vec{b}\).
- Ζητούμενο: Είναι η \(BCD\) μια ευθεία γραμμή; Δείξτε τις πράξεις που υποστηρίζουν την απάντησή σας.
14η Άσκηση
Το \(\text{KLMN}\) είναι ένα παραλληλόγραμμο όπου \(\overrightarrow{\text{KL}} = \vec{\text{a}}\) και \(\overrightarrow{\text{KN}} = \vec{\text{b}}\). Το \(\text{O}\) είναι το μέσο της διαγωνίου \(\text{KM}\).
Το \(\text{X}\) είναι ένα σημείο που βρίσκεται στην προέκταση της πλευράς \(\text{NM}\) (πέρα από το σημείο \(\text{M}\)), τέτοιο ώστε η \(\text{NMX}\) να είναι μια ευθεία γραμμή με λόγο τμημάτων \(\text{NM} : \text{MX} = \text{k} : 1\) και δίνεται ότι \(\overrightarrow{\text{OX}} = 3\vec{\text{a}} + \frac{1}{2}\vec{\text{b}}\).
- α) Εκφράστε το διάνυσμα \(\overrightarrow{\text{OM}}\) συναρτήσει των \(\vec{\text{a}}\) και \(\vec{\text{b}}\).
- β) Βρείτε την τιμή του \(\text{k}\).
