Γεωμετρία Θαλή 2012, Γ΄ Λυκείου

Δίνεται κύκλος \(c(O, R)\), τυχούσα χορδή του \(BC\) (όχι διάμετρος) και τυχόν σημείο \(M\) του μικρού τόξου \(\widehat{BC}\).

Οι κύκλοι \(c_1(B, MB)\), \(c_2(C, CM)\) τέμνουν το κύκλο \(c(O, R)\) στα σημεία \(K, N\), αντίστοιχα, και οι κύκλοι \(c_1(B, MB)\), \(c_2(C, CM)\) τέμνονται στα σημεία \(A\) και \(M\).

Η παράλληλος από το σημείο \(M\) προς την \(BC\) τέμνει τους κύκλους \(c_1(B, MB)\), \(c_2(C, CM)\) στα σημεία \(T, S\), αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \(AM, KT, NS\) περνάνε από το ίδιο σημείο.

Ισοσκελές τρίγωνο από τον Θαλή του 2012 για την α΄ λυκείου

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \(AB\Gamma\) με \(B\Gamma = \alpha\) και \(AB = A\Gamma = 2\alpha\). Η παράλληλη ευθεία από την κορυφή \(\Gamma \) προς την πλευρά \(AB\) τέμνει την ευθεία της διχοτόμου \(B\Delta\) στο σημείο \(E\). Η ευθεία \(AE\) τέμνει την ευθεία \(B\Gamma\) στο σημείο \(Z\). Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \(ABZ\) είναι ισοσκελές.

Συναρτησιακή εξίσωση από τις Φιλιππίνες

Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) τέτοιες ώστε:

\(f(2xy)+f(f(x+y))=xf(y)+yf(x)+f(x+y)\)

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς \(x\) και \(y\).                                    (Φιλιππίνες, 2019)

Σύστημα με ν εξισώσεις και ν αγνώστους

Να λυθεί το σύστημα:

\(\begin{cases}2x_{2}=x_{1}+\dfrac{2}{x_{1}}\\ 2x_{3}=x_{2}+\dfrac{2}{x_{2}}\\ \dots \\ 2x_{\nu }=x_{\nu -1}+\dfrac{2}{x_{\nu -1}}\\ 2x_{1}=x_{\nu }+\dfrac{2}{x_{\nu }}\end{cases}\)

όπου οι \(x_1, x_2, \dots, x_\nu\) είναι πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός.

(Ελλάδα, 1975)

Ύψος, διάμεσος και διχοτόμος τριγώνου συντρέχουν

Σε ένα τρίγωνο \(ABC\) έχουμε \(\angle A = 112,5^\circ\), \(\angle B = 22,5^\circ\) και \(\angle C = 45^\circ\). Να αποδειχθεί ότι το ύψος \(AD\), η διάμεσος \(BE\) και η διχοτόμος της γωνίας \(C\) συντρέχουν.                                          

(Ελλάδα, 1984)

Υπαρχει τέτοιο πεντάγωνο;

Να εξετάσετε αν υπάρχει ένα πεντάγωνο (όχι κατανάγκη επίπεδο) που οι πλευρές του να είναι ίσες και οι γωνίες του ορθές.

Ελλάδα, 1984)

Υπάρχει τέτοιο εξάγωνο;

Για ποια τιμή του ν υπάρχει τέτοιο ν-γωνο;

Παραλληλία

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $BC=a >CA=b>AB=c$. Στο ευθύγραμμο τμήμα $BC$ παίρνουμε σημεία $P,L$ ώστε $BL=c$ και $CP=b$. Στο ευθύγραμμο τμήμα $AC$ παίρνουμε σημείο $K$ ώστε $AK=c$. Επί της $AB$ και εκτός του ευθύγραμμου τμήματος $AB$ προς το μέρος του $A$ παίρνουμε σημείo $N$ ώστε $BN=a$ και προς το μέρος του $B$ παίρνουμε σημείο $Q$ ώστε $AQ=b$. Στην ευθεία $AC$ εκτός του ευθύγραμμου τμήματος $AC$ και προς το μέρος του $A$ παίρνουμε σημείο $M$ ώστε $CM=a$.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $MN, LK, PQ$ είναι παράλληλες.

(Ελλάδα, 1984)

Κυκλική εναλλαγή

Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν πραγματικοί μη μηδενικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha, \beta, \gamma}$ ώστε οι εξισώσεις :

$\displaystyle{\begin{matrix}

\alpha x^2+\beta x + \gamma =0\\

\beta x^2+\gamma x + \alpha =0\\

\gamma x^2+\alpha x + \beta =0

\end{matrix}}$

να έχουν λύσεις $\displaystyle{(x_1,x_2),(x_2,x_3),(x_3,x_1)}$ αντίστοιχα, όπου $\displaystyle{x_1,x_2,x_3}$ πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί ανά δύο.

(Ελλάδα, 1984)

Πολυώνυμο με θετικούς συντελεστές και όλες τις ρίζες του πραγματικές

 Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x) = x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_1 x + 1}$ με $\displaystyle{a_1 ,a_2 ,...,a_{n - 1} \, > 0}$. 

Αν το πολυώνυμο έχει $\displaystyle{n}$ πραγματικές ρίζες, τότε να δείξετε ότι $\displaystyle{f(2) \ge 3^n}$.

Πόσοι διαδοχικοί ακέραιοι μπορούν να γραφούν στη μορφή $x^3 + 2y^2$

Πόσοι το πολύ διαδοχικοί ακέραιοι μπορούν να γραφούν στη μορφή $x^3+2y^2$ , όπου $x, y$ ακέραιοι;

Ελληνικό πολυώνυμο!

 Να βρεθούν εκείνα τα πολυώνυμα \(P(x)\) για τα οποία ισχύει \(P(f(x)) = f(P(x))\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) όπου \(P(0) = 0\) και \(f(x)\) μια δοσμένη συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση \(f(x) > x\) για κάθε \(x \ge 0\).                                                                 

(Ελλάδα, 1977)  

Αυστριακό πολυώνυμο!

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα \(P(x)\) με πραγματικούς συντελεστές που ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες:

α) \(P(2017) = 2016\)
β) \((P(x) + 1)^2 = P(x^2 + 1)\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\)                          (Αυστρία, 2017)

Πόσες φορές εμφανίζεται το ψηφίο 6

 Ένα βιβλίο έχει 160 σελίδες. Πόσες φορές εμφανίζεται το ψηφίο 6 στην αρίθμηση των   σελίδων;

Υπάρχει κανονικό πεντάγωνο του οποίου οι κορυφές να έχουν ακέραιες συντεταγμένες;

Υπάρχει κανονικό πεντάγωνο του οποίου οι κορυφές να έχουν ακέραιες συντεταγμένες;

Δεν υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο του οποίου όλες οι κορυφές να έχουν ακέραιες συντεταγμένες

Να αποδειχθεί ότι στο καρτεσιανό επίπεδο δεν υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο του οποίου όλες οι κορυφές να έχουν ακέραιες συντεταγμένες.

Εξίσωση με εσωτερικό γινόμενο

Δίνονται τα μη συγγραμμικά διανύσματα  \(\vec{a}\) και \(\vec{\beta }\). Να λυθεί η εξίσωση:

\(\dfrac{\vec{a}^{2}+x\vec{a}\cdot \vec{\beta }}{|{}\vec{a}|{}\cdot |{}\vec{a}+x\vec{\beta }|{}}=\dfrac{\vec{\beta }^{2}+\vec{a}\cdot \vec{\beta }}{|{}\vec{\beta }|{}\cdot |{}\vec{a}+\vec{\beta }|{}}\)

(Ελλάδα, 1983)

Λήμμα Καραθεοδωρή

 Έστω τρίγωνο ABΓ και O ένα εσωτερικό του σημείο. Αν με (OBC), (OAC) και (OAB) συμβολίσουμε τα εμβαδά των τριγώνων OBC, OAC και OAB αντίστοιχα, τότε ισχύει η διανυσματική σχέση:

\((OBC)\cdot \overrightarrow{OA}+(OAC)\cdot \overrightarrow{OB}+(OAB)\cdot \overrightarrow{O\Gamma }=\overrightarrow{0}\)

Αν Μ ένα οποιοδήποτε σημείο M του επιπέδου, τότε:

\(\overrightarrow{MO}=\dfrac{(OBC)\cdot \overrightarrow{MA}+(OAC)\cdot \overrightarrow{MB}+(OAB)\cdot \overrightarrow{M\Gamma }}{(ABC)}\)

💡 Ενδιαφέρουσες Ειδικές Περιπτώσεις

Αυτή η γενική διανυσματική σχέση «παράγει» μερικά γνωστά θεωρήματα ανάλογα με τη θέση του \(O\):

• Αν το \(O\) είναι το Βαρύκεντρο (Κέντρο Βάρους): Τα τρία υποτρίγωνα έχουν ακριβώς ίσα εμβαδά (\(E_{OBC}=E_{OAC}=E_{OAB}\)). Διαιρώντας τη σχέση με το εμβαδόν, προκύπτει η γνωστή ιδιότητα: \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{O\Gamma} = \vec{0}\).
• Αν το \(O\) είναι το Έκκεντρο (Κέντρο εγγεγραμμένου κύκλου): Τα εμβαδά είναι ανάλογα των πλευρών \(a, \beta, \gamma\) (αφού όλα έχουν κοινό ύψος την ακτίνα \(r\) του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου). Τότε προκύπτει: \(a\vec{OA} + \beta\vec{OB} + \gamma\vec{O\Gamma} = \vec{0}\).

Εκθετική εξίσωση (10)

 Δίνεται ότι:

\(a^{x}b^{2x}c^{3x}=2\)
όπου \(a\), \(b\) και \(c\) είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί.

Ποια από τις ακόλουθες είναι μια σωστή έκφραση για το \(x\);

• \(\log\left(\dfrac{2}{a + 2b + 3c}\right)\)
• \(\dfrac{\log 2}{\log (a+2b+3c)}\)
• \(\dfrac{2}{\log (a+2b+3c)}\)
• \(\dfrac{2}{a+2b+3c}\)
• \(\log\left(\dfrac{2}{ab^2c^3}\right)\)
• \(\dfrac{\log 2}{\log (ab^{2}c^{3})}\)
• \(\dfrac{2}{\log (ab^{2}c^{3})}\)
• \(\dfrac{2}{ab^{2}c^{3}}\)

Το μέτρο του αθροίσματος ίσο με το μέτρο της διαφοράς

Έστω δύο διανύσματα \(\vec{\alpha }\) και \(\vec{\beta }\) για τα οποία ισχύει:

\(|{}\vec{\alpha }+\vec{\beta }|{}=|{}\vec{\alpha }-\vec{\beta }|{}\)

Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα \(\vec{\alpha }\) και \(\vec{\beta }\) είναι κάθετα.

Δημήτρης Φωλιάς, Βθετ4, ΓΕΛ Ιωνιδείου

Συμμετρία ως προς την ευθεία y=-x των \(C_{f}\) και \(C_{f^{-1}}\) όπου f περιττή και 1-1

①Αν M(α, β) είναι ένα τυχαίο σημείο του καρτεσιανού επιπέδου, να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του σημείο M' ως προς την ευθεία y = -x έχει συντεταγμένες (-β, -α).

②Έστω μια συνάρτηση \(f: A \to \mathbb{R}\) η οποία είναι περιττή και «1-1», και f⁻¹ η αντίστροφη συνάρτησή της. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση \(C_{f^{-1}}\) της αντίστροφης συνάρτησης και η γραφική παράσταση \(C_{f}\) της αρχικής συνάρτησης είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = -x.

                                  Δημήτρης Δημητρακάκος, ΓΘετ1, ΓΕΛ Ιωνιδείου

Κοινές λύσεις τριγωνομετρικών ανισώσεων

 Η γωνία \(x\) μετριέται σε ακτίνια (radians) και είναι τέτοια ώστε \(0 \le x \le \pi\).

Ποιο είναι το συνολικό μήκος του διαστήματος για το οποίο ισχύουν ταυτόχρονα οι ανισότητες \(-1 \le \tan x \le 1\) και \(\sin 2x \ge 0.5\);

• \(\dfrac{\pi }{12}\)
• \(\dfrac{\pi }{6}\)
• \(\dfrac{\pi }{4}\)
• \(\dfrac{\pi }{3}\)
• \(\dfrac{5\pi }{12}\)
• \(\dfrac{\pi }{2}\)
• \(\dfrac{5\pi }{6}\)