Ιστοσελίδα από τη Νέα Ζηλανδία

Προβλήματα από τη Νέα Ζηλανδία

Διοφαντική εξίσωση ( S. N. Maitra)

Δίνεται η εξίσωση $$5a^2 + 5b^2 + 10c^2 + d^2 - 4ab - 4bc - 6cd = 4$$

Να προσδιορίσετε τις λύσεις της όπου οι $a, b, c, d$ είναι όλοι διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι.

Θεώρημα Vecten

 Έστω ένα τυχόν τρίγωνο $ABC$. Αν κατασκευάσουμε εξωτερικά (ή εσωτερικά) των πλευρών του $BC$, $AC$ και $AB$ τα τετράγωνα $BCDE$, $ACZN$ και $ABKL$ με κέντρα $O_1$, $O_2$ και $O_3$ αντίστοιχα, τότε ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

1. Οι ευθείες $AO_1$, $BO_2$ και $CO_3$ συντρέχουν σε ένα κοινό σημείο (σημείο Vecten).
   
2. Αν $M$ είναι το μέσο της πλευράς $BC$, το τρίγωνο $\triangle O_3MO_2$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές με την ορθή γωνία στην κορυφή $M$.
   
   
   
3. Η διάμεσος $AM$ του τριγώνου $ABC$ είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα $LN$ και ίση με το μισό του μήκους του ($LN = 2AM$).
   
   
   
4. Το ύψος $AA'$ του τριγώνου $ABC$ διέρχεται από το μέσο του τμήματος $LN$.
   
   
   
5. Τα ευθύγραμμα τμήματα $BN$ και $CL$ είναι ίσα και κάθετα μεταξύ τους ($BN = CL$ και $BN \perp CL$).
   
   

Παραλλαγή γνωστού θεωρήματος

Έστω $ABC$ ένα τρίγωνο με $\angle CAB > 45^\circ$ και $\angle CBA > 45^\circ$. Κατασκευάζουμε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο $RAB$ με υποτείνουσα την $AB$, έτσι ώστε η κορυφή $R$ να βρίσκεται στο εσωτερικό του $ABC$. Επίσης, κατασκευάζουμε τα ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα $ACQ$ και $BCP$ που έχουν υποτείνουσες τις $AC$ και $BC$ αντίστοιχα, και βρίσκονται εξ ολοκλήρου στο εξωτερικό του $ABC$. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $CQRP$ είναι παραλληλόγραμμο.

Βασική διοφαντική εξίσωση

 Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων $n$ και $m$, τέτοια ώστε

$$\frac{1}{n} + \frac{1}{m} = \frac{1}{5}$$

Πότε το $n! + 3$ είναι τέλειο τετράγωνο

 Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους $n$ τέτοιους ώστε το $n! + 3$ να είναι τέλειο τετράγωνο.

Περιττοί μικρότεροι του 7000 που δεν είναι πολλαπλάσια ούτε του 5 ούτε του 7

 Να βρείτε πόσοι περιττοί θετικοί ακέραιοι είναι μικρότεροι από 7000 και δεν είναι πολλαπλάσια ούτε του 5 ούτε του 7.

10 σημεία σε τετράγωνο $3 \times 3$

Δείξτε ότι ανάμεσα σε οποιαδήποτε 10 σημεία μέσα σε ένα τετράγωνο διαστάσεων $3 \times 3$, υπάρχει ένα ζευγάρι σημείων των οποίων η μεταξύ τους απόσταση είναι το πολύ $\sqrt{2}$.

Τρεις σε 10 καθίσματα αραιά τοποθετημένοι

Με πόσους τρόπους μπορείτε να τοποθετήσετε τον Αναστάση, τον Βασίλη και τον Γιώργο σε μια σειρά από 10 καθίσματα, έτσι ώστε να μην κάθονται δύο άτομα σε διπλανές θέσεις;

Ντόμινο σε πειραγμένη σκακιέρα

Θεωρήστε μια περιοχή που σχηματίζεται αν αφαιρέσουμε δύο απέναντι γωνιακά τετράγωνα από μια σκακιέρα διαστάσεων $8 \times 8$. Δείξτε ότι αυτή η περιοχή δεν μπορεί να καλυφθεί (πλακιδωθεί) χρησιμοποιώντας ορθογώνια μεγέθους $2 \times 1$ (ντόμινο).

Πολυώνυμο βαθμού $n$ για το οποίο γνωρίζουμε $n+1$ τιμές του

 Έστω $P(x)$ ένα πολυώνυμο βαθμού $n$, τέτοιο ώστε για $k = 0, 1, 2, 3, \dots, n$ έχουμε

$$P(k) = \dfrac{k}{k + 1}$$

Να προσδιορίσετε την τιμή $P(n + 1)$. Eκφράστε την απάντησή σας συναρτήσει του $n$.

Συναρτησιακή σχέση

 Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$$f(3x + f(0)) = 3x^2$$

για κάθε πραγματικό αριθμό $x$.

Ακολουθία με αναδρομή

 Έστω $a_1, a_2, a_3, \dots$ μια ακολουθία τέτοια ώστε

$$a_{n+1} = a_n - a_{n-1}$$ για κάθε $n\geq 2$.

Δίνεται ότι $a_1 = 2$. Να προσδιορίσετε όλες τις δυνατές τιμές του $a_{2026}$.

Πρόβλημα του Stan Dolan

Το σχήμα δείχνει μερικές από τις γωνίες στο πεντάγωνο $ABCDE$. Βρείτε, συναρτήσει του $\theta$, τη γωνία μεταξύ των ευθειών $AD$ και $BE$.

Εγγράψιμο και περιγράψιμο τετράπλευρο

 Οι πλευρές $AB, BC, CD$ και $DA$ ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου $ABCD$ εφάπτονται σε έναν κύκλο στα σημεία $F, G, H$ και $E$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών του τετραπλεύρου $EFGH$ σχηματίζουν ένα ορθογώνιο.

Ευθεία Simpson

Έστω $A, B, C$ και $D$ τέσσερα σημεία πάνω σε έναν κύκλο και έστω $X, Y$ και $Z$ τα ίχνη των καθέτων από το $D$ προς τις ευθείες $BC, AC$ και $AB$ αντίστοιχα (προεκτεινόμενες αν είναι απαραίτητο). Να αποδείξετε ότι τα $X, Y$ και $Z$ είναι συνευθειακά, δηλαδή ότι αυτά τα σημεία βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.

Αυτό το διάσημο θεώρημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι γνωστό ως Θεώρημα της ευθείας Simson (ή ευθεία των Simson-Wallace). Η διακεκομμένη ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $X, Y, Z$ ονομάζεται ευθεία Simson του σημείου $D$ ως προς το τρίγωνο $ABC$.

Αν ένας όρος δεν υπερβαίνει το 2 τότε κανένας όρος δεν υπεβαίνει το 2

Ένας από τους όρους μιας ακολουθίας $a_1, a_2, a_3, \dots$, της οποίας οι όροι ικανοποιούν την σχέση $a_{n+1} = 3a_n - 4$, δεν υπερβαίνει το 2. Να αποδείξετε ότι κανένας από τους όρους της ακολουθίας $a_1, a_2, a_3, \dots$ δεν υπερβαίνει το 2.

Ανισότητα για το 1995!

 Να αποδείξετε ότι το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων από το 1 μέχρι το 1995 είναι μικρότερο από $998^{1995}$, δηλαδή ότι ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:

$$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1994 \cdot 1995 < 998^{1995}$$

Τιμή παράστασης

Βρείτε την τιμή της παράστασης

$$\frac{a^{32} - b^{32}}{(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)(a^{16} + b^{16})} + 12b$$

αν το μόνο πράγμα που είναι γνωστό για τα $a$ και $b$ είναι ότι $a + b = 6$.

Δείξτε ότι η απάντηση δεν εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο έχουν επιλεγεί τα $a$ και $b$ που ικανοποιούν τη σχέση $a + b = 6$.

Ένα googol

Ένα googol είναι το 1 ακολουθούμενο από 100 μηδενικά. 

Θα λέμε ότι ένας αριθμός είναι ειδικός αν κάθε ψηφίο του είναι το 1 ή το 2. Δείξτε ότι το κλάσμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το googol που είναι ειδικοί είναι

$$\frac{2}{5^{100}} - \frac{2}{10^{100}}.$$

Κάλυψη επιπέδου με πανομοιότυπα πλακίδια

Αυτό το σχήμα έχει δημιουργηθεί προσθέτοντας ή αφαιρώντας πανομοιότυπα ημικύκλια στο μέσο κάθε πλευράς ενός ισόπλευρου τριγώνου.

Μπορείτε να καλύψετε ολόκληρο το επίπεδο χωρίς κενά ή επικαλύψεις χρησιμοποιώντας πανομοιότυπα πλακίδια αυτού του σχήματος;

Με αφορμή ένα παλιό πρόβλημα

Ο ευφυής μαθηματικός Leonhard Euler είχε ισχυριστεί κάποτε ότι η εξίσωση $a^4 + b^4 + c^4 = d^4$ δεν έχει λύσεις στους θετικούς ακέραιους. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν άπειρες.

Για παράδειγμα, η λύση $(a, b, c, d) = (95.800, 217.519, 414.560, 422.481)$ ανακαλύφθηκε από τον Roger Frye το 1988, βασιζόμενη στο έργο του Noam Elkies.

Να αποδείξετε ότι το γινόμενο $abcd$ διαιρείται με το 300 για οποιαδήποτε λύση.