Δεκαψήφιοι, πολλαπλάσια του 2009 με συγκεκριμένο άθροισμα ψηφίων!

Να βρείτε 10 δεκαψήφιους αριθμούς οι οποίοι να είναι όλοι τους πολλαπλάσια του 2009 ώστε:
α) ο πρώτος να έχει άθροισμα ψηφίων 20
β) ο δεύτερος να έχει άθροισμα ψηφίων 21
γ) ο τρίτος να έχει άθροισμα ψηφίων 22
δ) ο τέταρτος να έχει άθροισμα ψηφίων 23
ε) ο πέμπτος να έχει άθροισμα ψηφίων 24
στ) ο έκτος να έχει άθροισμα ψηφίων 25
ζ) ο έβδομος να έχει άθροισμα ψηφίων 26
η) ο όγδοος να έχει άθροισμα ψηφίων 27
θ) ο ένατος να έχει άθροισμα ψηφίων 28
ι) ο δέκατος να έχει άθροισμα ψηφίων 29

Ποσοστό στις βολές

 α) Ένας παίκτης του μπάσκετ είχε κάποια στιγμή ποσοστό επιτυχίας στις βολές, κάτω από $75$%. Αργότερα είχε ποσοστό  επιτυχίας πάνω από $75$%. Να αποδείξετε ότι κάποια στιγμή  είχε ποσοστό επιτυχίας ακριβώς $75$%.

β) Να δώσετε παράδειγμα κλάσματος $\dfrac {p}{q} $ από το $1$% μέχρι το $99$% από όπου να φαίνεται ότι στο α) δεν ισχύει το αντίστοιχο αν στην θέση του $75$% μπει τo $\dfrac {p}{q} $ . (Αν θέλετε παράδειγμα, δείξτε ότι δεν ισχύει το ίδιο για το $74$%)

γ) Bρείτε όλα τα κλάσματα  $\dfrac {p}{q} $ από το $1$% μέχρι το $99$% για τα οποία ισχύει το αντίστοιχο του α) αν στην θέση του $75$% μπει τo $\dfrac {p}{q} $ .

Τρία ισόπλευρα τρίγωνα με κοινή κορυφή

 Στο σχήμα τρία ισόπλευρα έχουν μία κοινή κορυφή. Να αποδείξετε ότι

$3(r+s+t)>2(a+b+c)$

Τετραψήφιος με δύο ιδιότητες

Βρείτε όλους τους τετραψήφιους αριθμούς $\overline{abcd}$ τέτοιους ώστε:

$$\overline{ab} + \overline{cd} = \sqrt{\overline{abcd}}$$
και
$$\overline{cd} - \overline{ab} = 5$$

                                                                                      (Σλοβακία 2025)

Πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές που λαμβάνει περιττές τιμές στο 0 και το 1

Έστω $P(x)$ πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές ώστε οι αριθμοί $P(0)$ και $P(1)$ να είναι και οι δυο περιττοί.
Δείξτε ότι το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα.

«Γραφικοί» αριθμοί

 Ένας φυσικός αριθμός που γράφεται με διαφορετικά μεταξύ τους ψηφία ονομάζεται «γραφικός», όταν κάθε εσωτερικό του ψηφίο διαιρεί τον διψήφιο αριθμό που σχηματίζεται από τα γειτονικά του ψηφία από αριστερά προς τα δεξιά. Για παράδειγμα, ο \(1324\) είναι γραφικός, επειδή το \(3\) διαιρεί το \(12\) (\(12 = 4 \times 3\)) και το \(2\) διαιρεί το \(34\) (\(34 = 17 \times 2\)).

Εξετάστε αν υπάρχει γραφικός αριθμός που να αποτελείται από όλα τα ψηφία:
α) από το 1 έως το 8,
β) από το 1 έως το 9.

Παραγοντοποίηση από την Πολωνία

 Να γράψετε το πολυώνυμο $P(x)=(x+1)^7-x^7-1$

ως γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων παραγόντων.

👉Πρόβλημα 16, σελ. 4 από το βιβλίο Mathematical Problems And Puzzles from the Polish Mathematical Olympiads

Ένα πρόβλημα από Τσεχία Σλοβακία (προκριματικός γύρος μελέτης στο σπίτι, 2024/25)

  Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς $a, b$ οι παραστάσεις $a^2 + b$ και $a + b^2$ έχουν την ίδια τιμή. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει αυτή η παράσταση; (Patrik Bak)

ΚΑΘΟΔΗΓΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ:
Κ1. Για τους διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς $a, b$, οι παραστάσεις $a^2 - b^2$ και $a - b$ έχουν την ίδια τιμή. Αποδείξτε ότι η τιμή του $a + b$ είναι 1.
Κ2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση $a^2 + 3a$ για έναν πραγματικό αριθμό $a$;
Κ3. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, λύστε το σύστημα των εξισώσεων $a^2 + b = c$, $b^2 + c = a$, $c^2 + a = b$.
Σ1. Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς $a_1, \dots, a_n$, οι παραστάσεις $a_1^2 + a_2, a_2^2 + a_3, \dots, a_{n-1}^2 + a_n$ και $a_n^2 + a_1$ έχουν την ίδια τιμή. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή;
Σ2. Για μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς $a, b, c$ ισχύει $a^2(b+c) = b^2(c+a) = c^2(a+b)$. Προσδιορίστε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης $\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$.
Σ3. Για τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$ ισχύει $x^3 + y^3 \leq 2$. Αποδείξτε ότι τότε ισχύει επίσης $x + y \leq 2$.
Σ4. Έστω $a, b, c$ θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Δείξτε ότι οι τρεις αριθμοί $a^2 + b + c$, $b^2 + c + a$, $c^2 + a + b$ δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα τέλεια τετράγωνα ακεραίων αριθμών.

Είναι ξεχωριστοί οι διαγωνισμοί που γίνονται στην Tσεχία και τη Σλοβακία;

Ναι, οι εθνικές φάσεις των διαγωνισμών διοργανώνονται ξεχωριστά, αλλά υπάρχει μια πολύ στενή και ιστορική συνεργασία μεταξύ των δύο χωρών.

Πώς λειτουργεί ο συγκεκριμένος διαγωνισμός

Το αρχικό πρόβλημα προέρχεται από την Τσεχοσλοβακική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Czech and Slovak Mathematical Olympiad), η οποία διατηρεί κοινή παράδοση από την εποχή της ενιαίας Τσεχοσλοβακίας.

• Προκαταρκτικές Φάσεις: Οι πρώτοι γύροι (σχολικοί, περιφερειακοί) διεξάγονται εντελώς ανεξάρτητα και ξεχωριστά σε κάθε χώρα από τις αντίστοιχες εθνικές επιτροπές, όπως την Επιτροπή Μαθηματικής Ολυμπιάδας της Σλοβακίας (SKMO).
• Τελική Φάση (Εθνικός Γύρος): Αν και κάθε χώρα επιλέγει τους δικούς της νικητές για τις διεθνείς διοργανώσεις, ο τελικός εθνικός γύρος της Κατηγορίας Α διοργανώνεται ως κοινός διαγωνισμός (Τσεχο-Σλοβακικός), όπου οι μαθητές και των δύο χωρών διαγωνίζονται στα ίδια θέματα.
• Διμερείς Αγώνες: Επιπλέον, διοργανώνεται ετήσια ο παραδοσιακός μαθηματικός αγώνας Czech-Polish-Slovak Match, στον οποίο συμμετέχουν από κοινού οι εθνικές ομάδες της Τσεχίας, της Σλοβακίας και της Πολωνίας.

Πολυώνυμο 5ου βαθμού με δύο αντίστροφες ρίζες

 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο $P(x)=x^5-55x+21$ έχει δύο αντίστροφες ρίζες.

Πέντε τετράγωνα και ένα τρίγωνο ισεμβαδικό με ένα από τα τετράγωνα

 Τα 5 τετράπλευρα είναι τετράγωνα. Τα σημεία $Α, Β, E, H, I$ είναι συνευθειακά.

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $KGN$ είναι ισεμβαδικό με το τετράγωνο $CEFG$.

Γραφική παράσταση συνάρτησης με απόλυτες τιμές και εξίσωση

 Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$$f(x) = \vert{}x\vert{} + \vert{}x-1\vert{} + \vert{}x-2\vert{}$$
α) Να γράψετε τον τύπο της $f$ χωρίς τις απόλυτες τιμές.

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$. 

γ) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης (ή αλγεβρικά), να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης $f(x) = a$ καθώς και τις ίδιες τις λύσεις, για τις διάφορες τιμές του αριθμού $a$.

Εκθετική εξίσωση (9)

 Να λυθεί η εξίσωση:

$$8^t \cdot 16^t = 140$$

Διανύσματα (5)

 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το τρίγωνο $OAB$.

Δίνονται τα διανύσματα θέσης των κορυφών $A$ και $B$:

• $\overrightarrow{OA} = 8\vec{a}$
• $\overrightarrow{OB} = 6\vec{b}$

καθώς και οι ακόλουθες πληροφορίες για τα σημεία του σχήματος:

• Το σημείο $M$ ανήκει στην πλευρά $OB$ έτσι ώστε να ισχύει $OM : MB = 1 : 2$.
• Το σημείο $N$ είναι το μέσο της πλευράς $AB$.
• Το σημείο $P$ είναι το σημείο τομής των ευθειών $ON$ και $AM$.

Να εκφράσετε το διάνυσμα $\overrightarrow{OP}$ ως συνάρτηση των διανυσμάτων $\vec{a}$ και $\vec{b}$.

Διανύσματα (4)

Το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο. Το σημείο $M$ είναι το μέσο της πλευράς $CD$. Το σημείο $N$ βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο $AC$, έτσι ώστε να ισχύει ο λόγος $AN : NC = 2 : 1$.

Δίνονται τα διανύσματα:

• $\overrightarrow{AB} = 4\vec{a}$
• $\overrightarrow{AD} = 4\vec{b}$

α) Να εκφράσετε το διάνυσμα της διαγωνίου $\overrightarrow{AC}$ ως συνάρτηση των διανυσμάτων $\vec{a}$ και $\vec{b}$.

β) Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα $\overrightarrow{AN}$ ισούται με $\dfrac{8}{3}\vec{a} + \dfrac{8}{3}\vec{b}$.

γ) Να εκφράσετε τα διανύσματα $\overrightarrow{BN}$ και $\overrightarrow{BM}$ ως γραμμικό συνδυασμό των $\vec{a}$ και $\vec{b}$.

δ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία $B$, $N$ και $M$ βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Εκθετική εξίσωση (6)

 Δίνεται η εκθετική εξίσωση:

$$2^m + 4^m + 8^m = 39$$

Α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική πραγματική λύση.

Β. Να βρείτε τους δύο διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς ανάμεσα στους οποίους βρίσκεται η τιμή του $m$.

---

Διανύσματα (3)

 

Στο παρακάτω σχήμα, οι ευθείες $OC$ και $AD$ τέμνονται στο $P$..

Δίνονται τα διανύσματα:

• $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$
• $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$

καθώς και οι λόγοι των τμημάτων:

• $OD : DB = 1 : 2$
• $AC : CB = 3 : 1$

Να υπολογίσετε τον λόγο $OP : PC$.

---

Διανύσματα (2)

 

Το $OABC$ είναι παραλληλόγραμμο.

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ και $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$

Το $X$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $AC$.
Το $D$ είναι στην προέκταση του $OC$ από τη μεριά του $C$ έτσι ώστε $\overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{CD}$

Δίνεται ότι $\overrightarrow{XD} = 3\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a}$

βρείτε την τιμή του $k$.

---

Εισαγωγή στα διανύσματα (1)

Το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο.
Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου τέμνονται στο $O$.
$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ και $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$

• (a) Βρείτε, συναρτήσει του $\vec{b}$, το διάνυσμα $\overrightarrow{DB}$.
• (b) Βρείτε, συναρτήσει των $\vec{a}$ και $\vec{b}$, το διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$.
• (c) Βρείτε, συναρτήσει των $\vec{a}$ και $\vec{b}$, το διάνυσμα $\overrightarrow{AD}$.

Απόδειξη του πυθαγορείου θεωρήματος

 Χρησιμοποιώντας το παρακάτω σχήμα να αποδείξετε το πυθαγόρειο θεώρημα.

Επιστροφή στο αρχικό σημείο μετά από διαδοχικές συμμετρίες

 Δίνεται τρίγωνο $ΑΒΓ$ και σημείο $Μ$ του επιπέδου. Ας είναι $Μ_1$ το συμμετρικό του $Μ$ ως προς το μέσο του $ΑΒ$, $Μ_2$ το συμμετρικό του $Μ_1$ ως προς το μέσο του $ΒΓ$ και $Μ_3$ το συμμετρικό του $Μ_2$ ως προς το μέσο του $ΑΓ.$ Δείξτε δικαιολογώντας το σκεπτικό σας πως το συμμετρικό του $Μ_3$ ως προς το $Α$ είναι το αρχικό σημείο $Μ$.

Το πρόβλημα προτάθηκε από τον Γιώργο Χαραλαμπίδη

Βρείτε τη γωνία (10)

  Στο παρακάτω τρίγωνο $ΑΒΓ$ είναι $\widehat{Α}=75^o$ και $ΑΓ=2ΒΔ.$ Να υπολογίσετε σε μοίρες τη γωνία $\widehat{Γ}.$

Βρείτε τη γωνία (9)

 Στο παρακάτω τρίγωνο $ΑΒΓ$ είναι $\widehat{B}=45^o,$ $ΔΓ=2ΒΔ$ και $\widehat{ΑΔΓ}=60^o.$ Να υπολογίσετε σε μοίρες τη γωνία $\widehat{Γ}.$