Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του $p + q$;

 Είναι δεδομένο ότι $3^{20} + 4^9 + 6^{10} = pq$, όπου $p$ και $q$ είναι πρώτοι αριθμοί. Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του $p + q$;

(Νορβηγία, 2025)

Πόσα τετραγωνάκια σε ένα πλέγμα $4862 \times 3276$ βρίσκονται πάνω σε μια διαγώνιο;

Λέμε ότι ένα τετραγωνάκι σε ένα πλέγμα βρίσκεται πάνω σε μια διαγώνιο εάν ένα εσωτερικό του σημείο –δηλαδή όχι απλά μια κορυφή του– βρίσκεται πάνω σε μια διαγώνιο. Το σχήμα δείχνει ένα πλέγμα $6 \times 5$. Τα 18 σκιασμένα τετραγωνάκια βρίσκονται πάνω σε μια διαγώνιο. Πόσα από τα τετραγωνάκια σε ένα πλέγμα $4862 \times 3276$ βρίσκονται πάνω σε μια διαγώνιο;

(Νορβηγία, 2025)

Πόσες διαδρομές

Πόσες διαδρομές υπάρχουν από την κάτω αριστερή γωνία μέχρι την πάνω δεξιά γωνία στο σχήμα, όταν μπορείτε να κινηθείτε μόνο προς τα πάνω, προς τα δεξιά ή διαγώνια πάνω και δεξιά;

(Νορβηγία, 2025)

Tο κλάσμα $\dfrac{20n + 25}{2n + 25}$ να είναι ακέραιος

Πόσοι ακέραιοι $n \geq 1$ είναι τέτοιοι ώστε το κλάσμα $\dfrac{20n + 25}{2n + 25}$ να είναι επίσης ακέραιος αριθμός;

(Νορβηγία, 2025)

Εμβαδόν καμπυλόγραμμου χωρίου

Κάθε ζεύγος των σημείων $A$, $B$ και $C$ στο σχήμα συνδέεται με ένα ημικύκλιο με διάμετρο $2$. Πόσο είναι το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής;

(Νορβηγία, 2025)

Ακολουθία με αναδρομή (2)

Η ακολουθία $a_0, a_1, a_2, \dots$ είναι τέτοια ώστε $a_0 = 0$ και $a_n = n - a_{n-1}$ για όλα τα $n \geq 1$.

Ποια είναι η τιμή του $a_{2025}$;

(Νορβηγία, 2025)

Ασκήσεις Ε Τάξης από Μαραγκουδάκη Παναγιώτη.

   1. Είναι τα  παρακάτω ποσά αντιστρόφως ανάλογα;                                                                           

Αριθμός εργατών - ο χρόνος που απαιτείται για την εκτέλεση ενός έργου.                   ΝΑΙ             ΟΧΙ

 Κιλά πορτοκάλια - αξία τους σε ευρώ                                                                           ΝΑΙ             ΟΧΙ

 Ημέρες εργασίας - αμοιβή που θα πάρει ο υπάλληλος                                                  ΝΑΙ             ΟΧΙ

 Αριθμός καλεσμένων -  μέγεθως  κομμάτιου βασιλόπιτας                                            ΝΑΙ             ΟΧΙ

 Χιλιόμετρα - λίτρα βενζίνης που καταναλώνονται                                                        ΝΑΙ             ΟΧΙ

2. Να κάνετε τους παρακάτω πολαπλασιασμούς κάθετα.

456 x  64

278 x 72

256 x 89

563 x 41

918 x 23

Σκακιέρα 100 × 100

Σε μια σκακιέρα 100 × 100 σχεδιάζουμε μέσα στα μικρά τετραγωνάκια διαγώνιες γραμμές. Σε κάθε μικρό τετραγωνάκι επιτρέπεται να σχεδιάσουμε 0, 1 ή 2 διαγώνιους (αν σχεδιάσουμε δύο, αυτές θα τέμνονται στο κέντρο του τετραγώνου).

Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός διαγωνίων που μπορούμε να σχεδιάσουμε συνολικά στον πίνακα, έτσι ώστε καμία διαγώνιος να μην μοιράζεται το ίδιο ακραίο σημείο (κορυφή του πλέγματος) με κάποια άλλη;

(Τσεχία-Σλοβακία-Πολωνία, Juniors, 2026)

Ποιο από τα σύμβολα αντιπροσωπεύει την αφαίρεση

Στην παρακάτω αριθμητική παράσταση, τα σύμβολα $\circ$, $\Delta$ και $\square$ αντιπροσωπεύουν την πρόσθεση, την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό, αλλά όχι απαραίτητα με αυτή τη σειρά.

$$15 \circ 2\ \Delta\ 7\ \square\ 8 = 9$$

Ποιο από τα σύμβολα αντιπροσωπεύει την αφαίρεση (μείον);

(Δανία, 2026)

Ποιο από τα παρακάτω τμήματα χωρίζει το σχήμα σε δύο ισεμβαδικά μέρη;

Ποιο από τα παρακάτω ευθύγραμμα τμήματα χωρίζει το σχήμα σε δύο μέρη με το ίδιο εμβαδόν;        

Α) QV      Β) PU      C) QT      D) XS      Ε) RW

(Δανία, 2026)

Η αριθμομηχανή της Σόνιας

Στην αριθμομηχανή της Σόνια (Sonya), μπορείτε να εισάγετε έναν αριθμό από την αριστερή πλευρά και να πάρετε έναν αριθμό από τη δεξιά πλευρά. Όταν ο αριθμός φτάνει σε ένα κυκλικό κελί, πρέπει να βγει από αυτό ακολουθώντας ένα από τα βέλη. Όταν φτάνει σε ένα τετράγωνο κελί, εφαρμόζεται στον αριθμό η πράξη που αναγράφεται μέσα στο κελί και το αποτέλεσμα στέλνεται παρακάτω μέσω του βέλους.

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να εξαχθεί αν εισάγουμε τον αριθμό 6 στη μηχανή;

(Δανία, 2026)

Τετράγωνα και κανονικά πεντάγωνα στη σειρά

 Τετράγωνα και κανονικά πεντάγωνα τοποθετούνται εναλλάξ σε σειρά, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν συνεχίσουμε έτσι, θα προκύψει κλειστό σχήμα;

Μέση ταχύτητα

Ο Ματθίας οδηγεί βόρεια προς το Ακουρέιρι με μέση ταχύτητα 80 km/h, αλλά μετά, πριν προλάβει να επιστρέψει, ο κακός καιρός και η κίνηση μπλοκάρουν τους δρόμους. Οδηγεί στον δρόμο της επιστροφής με μέση ταχύτητα 20 km/h. Ποια ήταν η συνολική μέση ταχύτητά του;

(Ισλανδία, 2025)

Χρώματα

Η Ingfríður χρωματίζει τους κύκλους στο παρακάτω σχήμα. Δύο κύκλοι που συνδέονται με ένα ευθύγραμμο τμήμα δεν επιτρέπεται να έχουν το ίδιο χρώμα. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων που πρέπει να χρησιμοποιήσει η Ingfríður ;

(Ισλανδία, 2025)

Αναδρομή

🧮Έχουμε μια ακολουθία αριθμών $a_1, a_2, a_3, \dots$.

Δίνεται ότι:

$$a_{2n} = a_n, \quad a_{4n-3} = 2a_{2n-1} - 1, \quad \text{και} \quad a_{4n-1} = 2a_{2n-1} + 1$$

για όλα τα $n = 1, 2, \dots$. Υπολογίστε την τιμή του αθροίσματος $a_1 + a_2 + \dots + a_{2025}$.

(Ισλανδία, 2025)

Άπειρα ριζικά

🧮

Ποια είναι η τιμή του $\sqrt{42 + \sqrt{42 + \sqrt{42 + \sqrt{42 + \dots}}}}$;

(Ισλανδία, 2025)

Ισλανδικό μοτίβο

🧮 

Στην εικόνα φαίνεται ένα μοτίβο από κουκκίδες για $n = 1, 2, 3$. Πόσες κουκκίδες θα υπάρχουν στο μοτίβο για $n = 50$;

(Ισλανδία, 2025)

Εμβαδόν τετραπλεύρου

🧮

Δίνεται τετράπλευρο ABCD με εμβαδόν 23 cm². Οι πλευρές του προεκτείνονται ώστε να διπλασιαστεί το μήκος τους, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αυτό μας δίνει τέσσερα νέα σημεία X, Y, Z, W. Ποιο είναι το εμβαδόν του τετραπλεύρου XYZW; 

(Ισλανδία, 2025)

Η διοφαντική αυτή εξίσωση έχει λύση για κάθε ακέραιο $n$

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

$$x^3 + 2y^2 + 4z = n$$

έχει ακέραια λύση $(x, y, z)$ για κάθε ακέραιο $n$.

(Φινλανδία, 1999)

Πότε η εξίσωση $a \cdot 3^x + 3^{-x} = 3$ έχει πραγματικές λύσεις

Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $a$ για τους οποίους η εξίσωση

$$a \cdot 3^x + 3^{-x} = 3$$

έχει πραγματικές λύσεις.

(Φινλανδία, 1997)

Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $Q(1)$ με το 1000

Ένα πολυώνυμο $Q(x)$ έχει ακέραιους συντελεστές και βαθμό μικρότερο ή ίσο του 2025. Κάθε όρος του πολυωνύμου $xQ(x) + Q(x)$ έχει συντελεστή μικρότερο ή ίσο του 2026. Επιπλέον, η τιμή $Q(1)$ είναι η μέγιστη δυνατή υπό αυτές τις συνθήκες. Ποιο θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $Q(1)$ με το 1000;

(Νορβηγία, 2026)

Ενδιαφέροντες αριθμοί

Ονομάζουμε έναν θετικό ακέραιο $n$ «ενδιαφέροντα» αν τόσο το άθροισμα των ψηφίων του $n$ όσο και το άθροισμα των ψηφίων του $n + 1$ είναι τέλεια τετράγωνα, ενώ οι $n$ και $n + 1$ έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων. Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $k$ για τους οποίους υπάρχει ένας ενδιαφέρων $k$-ψήφιος αριθμός.

(Εσθονία, 2025)