Μήκος τμήματος σε τεταρτοκύκλιο

Σε ένα τεταρτοκύκλιο με κέντρο την κάτω δεξιά κορυφή, θεωρούμε το αριστερό άκρο της οριζόντιας ακτίνας του.

Από το σημείο αυτό ξεκινά ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 24, το οποίο καταλήγει σε ένα σημείο πάνω στο τόξο (περιφέρεια) του τεταρτοκυκλίου. Από το σημείο αυτό στην περιφέρεια, σχεδιάζεται ένα δεύτερο ευθύγραμμο τμήμα μήκους 7, το οποίο είναι κάθετο στο πρώτο και καταλήγει πάνω στην κατακόρυφη ακτίνα του σχήματος.

Το σημείο αυτό στην κατακόρυφη ακτίνα την χωρίζει σε δύο τμήματα, με το κάτω τμήμα (από το κέντρο του κύκλου έως το σημείο τομής) να έχει μήκος \(x\).

Να υπολογίσετε την τιμή του μήκους \(x\).

Άθροισμα 6 γωνιών σε πλέγμα

Πάνω σε ένα τετραγωνισμένο πλέγμα διαστάσεων \(6 \times 6\), έχουν τοποθετηθεί πράσινες κουκκίδες.

Από τις δύο κάτω αριστερές κουκκίδες σχεδιάζονται ευθύγραμμα τμήματα προς τις υπόλοιπες 6 κουκκίδες. 

Να υπολογίσετε το συνολικό άθροισμα των 6 αυτών χρωματιστών γωνιών.

'Εξι ισόπλευρα τρίγωνα μέσα σε κανονικό εξάγωνο

Στο εσωτερικό ενός κανονικού εξαγώνου έχει σχεδιαστεί μια σκιασμένη (μωβ) περιοχή, η οποία αποτελείται από 6 μικρά ισόπλευρα τρίγωνα ενωμένα σε σχήμα αλυσίδας.

Να υπολογίσετε το κλάσμα του σκιασμένου (μωβ) εμβαδού προς το συνολικό εμβαδό του κανονικού εξαγώνου.

Τρία τεταρτοκύκλια μέσα σε ένα τέταρτο

Στο εσωτερικό ενός μεγάλου τεταρτοκυκλίου είναι τοποθετημένα τρία μικρότερα έγχρωμα τεταρτοκύκλια.

Το μπλε τεταρτοκύκλιο έχει ακτίνα \(1\).

Τα τρία αυτά έγχρωμα σχήματα εφάπτονται μεταξύ τους χωρίς να αλληλοκαλύπτονται.

Να βρεθεί το κλάσμα του συνολικού σκιασμένου (έγχρωμου) εμβαδού προς το συνολικό εμβαδό ολόκληρου του σχήματος.

Γωνία σε τρεις εφαπτόμενους κύκλους

Τρεις κύκλοι με ακτίνες \(R_1 = 1\), \(R_2 = 2\) και \(R_3 = 3\) εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο, ενώ οι δύο μεγαλύτεροι κύκλοι (\(R_{2}\) και \(R_{3}\)) εφάπτονται ταυτόχρονα σε μια οριζόντια ευθεία.

Από τα σημεία επαφής των δύο κάτω κύκλων με την ευθεία, σχεδιάζουμε δύο ευθείες γραμμές: Η πρώτη ξεκινά από το σημείο επαφής του αριστερού κύκλου με το έδαφος και διέρχεται από το σημείο επαφής του με τον μικρό (πάνω) κύκλο.

Η δεύτερη ξεκινά από το σημείο επαφής του δεξιού κύκλου με το έδαφος και διέρχεται από το σημείο επαφής του με τον μικρό κύκλο.

Οι δύο αυτές γραμμές τέμνονται στο ανώτατο σημείο του μικρού κύκλου, σχηματίζοντας μια γωνία στο εσωτερικό του.

Να υπολογίσετε το μέτρο της σημειωμένης γωνίας (\(?\)).

Συναρτησιακή εξίσωση (7)

 Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση:

$$f(xf(y))=3xy$$

για κάθε \(x, y \in \mathbb{R}\).

Συναρτησιακή εξίσωση (6)

 Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης \(f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}\) η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

$$f(x)+f(-x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=x+1$$

για κάθε \(x \in \mathbb{R}^*\).

Τρίγωνο μέσα σε ημικύκλιο

 Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα τρίγωνο μέσα σε ένα ημικύκλιο. Βρείτε το εμβαδόν του κίτρινου τριγώνου.

Εξίσωση με απόλυτα

 Να λυθεί η εξίσωση $$\dfrac{|x+3|+x+1}{|x+3|-x}=\dfrac{4}{3}$$.

Πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές και με ρίζα τον αριθμό $$a= \dfrac{\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3}}$$

Να βρείτε πολυωνυμική εξίσωση τρίτου βαθμού με ακέραιους συντελεστές η οποία να έχει ως ρίζα τον αριθμό
$$a= \dfrac{\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3}}$$

Δύο τετράγωνα, δύο ίσα τμήματα, μια άγνωστη γωνία

 Τα $ABCD, DPQR$ είναι τετράγωνα με $AQ=AC$. Βρείτε τη γωνία $\widehat{QAC}$.

Δύο ημικύκλια σε τεταρτοκύκλιο

 Δύο ημικύκλια στο παρακάτω σχήμα εφάπτοναι εσωτερικά τεταρτοκυκλίου ακτίνας 6. Βρείτε το εμβαδόν της κίτρινης περιοχής.

Εξίσωση με ριζικά

Να λυθεί η εξίσωση: \(\dfrac{x + \sqrt{x+1}}{x - \sqrt{x+1}} = \dfrac{11}{5}\)

Κύκλος, τετράγωνο και ορθογώνιο

Ένας κύκλος ακτίνας $r$ είναι εγγεγραμμένος σε τετράγωνο. Ένα ορθογώνιο με διαστάσεις 3 και 4 βρίσκεται στην κάτω δεξιά γωνία του τετραγώνου ώστε η τέταρτη κορυφή του να είναι σημείο του κύκλου. Βρείτε την ακτίνα του κύκλου.

Εξίσωση 4ου βαθμού από τον Θαλή του 2014

Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση:
$$3x^{4}-x^{3}-18x^{2}+x+3=0.$$ 

                           75ο Διαγωνισμός Θαλής, 2014 για τη Β΄ Λυκείου 

Εξίσωση 3ου βαθμού

Να λύσετε στους πραγματικούς την εξίσωση $x^3+x^2+x=-\dfrac{1}{3}.$

Περίμετρος

Μπορείτε να βρείτε την περίμετρο του παρακάτω σχήματος;

Γεωμετρία Θαλή 2012, Γ΄ Λυκείου

Δίνεται κύκλος \(c(O, R)\), τυχούσα χορδή του \(BC\) (όχι διάμετρος) και τυχόν σημείο \(M\) του μικρού τόξου \(\widehat{BC}\).

Οι κύκλοι \(c_1(B, MB)\), \(c_2(C, CM)\) τέμνουν το κύκλο \(c(O, R)\) στα σημεία \(K, N\), αντίστοιχα, και οι κύκλοι \(c_1(B, MB)\), \(c_2(C, CM)\) τέμνονται στα σημεία \(A\) και \(M\).

Η παράλληλος από το σημείο \(M\) προς την \(BC\) τέμνει τους κύκλους \(c_1(B, MB)\), \(c_2(C, CM)\) στα σημεία \(T, S\), αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \(AM, KT, NS\) περνάνε από το ίδιο σημείο.

Ισοσκελές τρίγωνο από τον Θαλή του 2012 για την α΄ λυκείου

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \(AB\Gamma\) με \(B\Gamma = \alpha\) και \(AB = A\Gamma = 2\alpha\). Η παράλληλη ευθεία από την κορυφή \(\Gamma \) προς την πλευρά \(AB\) τέμνει την ευθεία της διχοτόμου \(B\Delta\) στο σημείο \(E\). Η ευθεία \(AE\) τέμνει την ευθεία \(B\Gamma\) στο σημείο \(Z\). Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \(ABZ\) είναι ισοσκελές.

Συναρτησιακή εξίσωση από τις Φιλιππίνες (4)

Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) τέτοιες ώστε:

\(f(2xy)+f(f(x+y))=xf(y)+yf(x)+f(x+y)\)

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς \(x\) και \(y\).                                    (Φιλιππίνες, 2019)

Σύστημα με ν εξισώσεις και ν αγνώστους

Να λυθεί το σύστημα:

\(\begin{cases}2x_{2}=x_{1}+\dfrac{2}{x_{1}}\\ 2x_{3}=x_{2}+\dfrac{2}{x_{2}}\\ \dots \\ 2x_{\nu }=x_{\nu -1}+\dfrac{2}{x_{\nu -1}}\\ 2x_{1}=x_{\nu }+\dfrac{2}{x_{\nu }}\end{cases}\)

όπου οι \(x_1, x_2, \dots, x_\nu\) είναι πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός.

(Ελλάδα, 1975)

Ύψος, διάμεσος και διχοτόμος τριγώνου συντρέχουν

Σε ένα τρίγωνο \(ABC\) έχουμε \(\angle A = 112,5^\circ\), \(\angle B = 22,5^\circ\) και \(\angle C = 45^\circ\). Να αποδειχθεί ότι το ύψος \(AD\), η διάμεσος \(BE\) και η διχοτόμος της γωνίας \(C\) συντρέχουν.                                          

(Ελλάδα, 1984)