Τετράγωνα και κανονικά πεντάγωνα στη σειρά

 Τετράγωνα και κανονικά πεντάγωνα τοποθετούνται εναλλάξ σε σειρά, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν συνεχίσουμε έτσι, θα προκύψει κλειστό σχήμα;

Μέση ταχύτητα

Ο Ματθίας οδηγεί βόρεια προς το Ακουρέιρι με μέση ταχύτητα 80 km/h, αλλά μετά, πριν προλάβει να επιστρέψει, ο κακός καιρός και η κίνηση μπλοκάρουν τους δρόμους. Οδηγεί στον δρόμο της επιστροφής με μέση ταχύτητα 20 km/h. Ποια ήταν η συνολική μέση ταχύτητά του;

(Ισλανδία, 2025)

Χρώματα

Η Ingfríður χρωματίζει τους κύκλους στο παρακάτω σχήμα. Δύο κύκλοι που συνδέονται με ένα ευθύγραμμο τμήμα δεν επιτρέπεται να έχουν το ίδιο χρώμα. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων που πρέπει να χρησιμοποιήσει η Ingfríður ;

(Ισλανδία, 2025)

Αναδρομή

🧮Έχουμε μια ακολουθία αριθμών $a_1, a_2, a_3, \dots$.

Δίνεται ότι:

$$a_{2n} = a_n, \quad a_{4n-3} = 2a_{2n-1} - 1, \quad \text{και} \quad a_{4n-1} = 2a_{2n-1} + 1$$

για όλα τα $n = 1, 2, \dots$. Υπολογίστε την τιμή του αθροίσματος $a_1 + a_2 + \dots + a_{2025}$.

(Ισλανδία, 2025)

Άπειρα ριζικά

🧮

Ποια είναι η τιμή του $\sqrt{42 + \sqrt{42 + \sqrt{42 + \sqrt{42 + \dots}}}}$;

(Ισλανδία, 2025)

Ισλανδικό μοτίβο

🧮 

Στην εικόνα φαίνεται ένα μοτίβο από κουκκίδες για $n = 1, 2, 3$. Πόσες κουκκίδες θα υπάρχουν στο μοτίβο για $n = 50$;

(Ισλανδία, 2025)

Εμβαδόν τετραπλεύρου

🧮

Δίνεται τετράπλευρο ABCD με εμβαδόν 23 cm². Οι πλευρές του προεκτείνονται ώστε να διπλασιαστεί το μήκος τους, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αυτό μας δίνει τέσσερα νέα σημεία X, Y, Z, W. Ποιο είναι το εμβαδόν του τετραπλεύρου XYZW; 

(Ισλανδία, 2025)

Η διοφαντική αυτή εξίσωση έχει λύση για κάθε ακέραιο $n$

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

$$x^3 + 2y^2 + 4z = n$$

έχει ακέραια λύση $(x, y, z)$ για κάθε ακέραιο $n$.

(Φινλανδία, 1999)

Πότε η εξίσωση $a \cdot 3^x + 3^{-x} = 3$ έχει πραγματικές λύσεις

Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $a$ για τους οποίους η εξίσωση

$$a \cdot 3^x + 3^{-x} = 3$$

έχει πραγματικές λύσεις.

(Φινλανδία, 1997)

Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $Q(1)$ με το 1000

Ένα πολυώνυμο $Q(x)$ έχει ακέραιους συντελεστές και βαθμό μικρότερο ή ίσο του 2025. Κάθε όρος του πολυωνύμου $xQ(x) + Q(x)$ έχει συντελεστή μικρότερο ή ίσο του 2026. Επιπλέον, η τιμή $Q(1)$ είναι η μέγιστη δυνατή υπό αυτές τις συνθήκες. Ποιο θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $Q(1)$ με το 1000;

(Νορβηγία, 2026)

Ενδιαφέροντες αριθμοί

Ονομάζουμε έναν θετικό ακέραιο $n$ «ενδιαφέροντα» αν τόσο το άθροισμα των ψηφίων του $n$ όσο και το άθροισμα των ψηφίων του $n + 1$ είναι τέλεια τετράγωνα, ενώ οι $n$ και $n + 1$ έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων. Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $k$ για τους οποίους υπάρχει ένας ενδιαφέρων $k$-ψήφιος αριθμός.

(Εσθονία, 2025)

Σύστημα

Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα των εξισώσεων:

$$\begin{cases} x + y = z, \\ x^2 + y^2 = 4z \\ x^3 + y^3 = 18z \end{cases}$$

(Εσθονία, 2025)

Συναρτησιακή εξίσωση

 Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση:

$$f \left( y^2 f(x) - f(xy) \right) = f(y^2) + 2 \left( x^2 - f(x) \right) (f(y) - 1) + 1$$

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$.

(Εσθονία, 2025)

Τρία ίσα ορθογώνια μέσα σε κανονικό εξάγωνο

Σε ένα κανονικό εξάγωνο $ABCDEF$, σχεδιάζονται ίσα ορθογώνια $ABZY$, $CDXZ$ και $EFYX$. Τι μέρος του εμβαδού του εξαγώνου $ABCDEF$ καλύπτουν αυτά τα ορθογώνια;

(Εσθονία, 2025)

Ακολουθία Fibonacci

Τα παρακάτω προβλήματα σχετίζονται με την ακολουθία Fibonacci, η οποία ορίζεται από τις σχέσεις $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ και $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ για κάθε $n \geq 0$.

---

Πρόβλημα 1

Αποδείξτε ότι για κάθε $n \geq 1$:
$$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$$

---

Πρόβλημα 2

Αποδείξτε ότι για κάθε $n \geq 1$:
$$F_1 F_2 + F_2 F_3 + \dots + F_{2n-1} F_{2n} = F_{2n}^2$$

---

Πρόβλημα 3

Αποδείξτε ότι για κάθε $n \geq 2$:
$$F_n F_{n+1} - F_{n-2} F_{n-1} = F_{2n-1}$$

---

Τριόμινο

Έστω $n$ ένας θετικός ακέραιος. Αποδείξτε ότι αν αφαιρεθεί ένα τετράγωνο από μια σκακιέρα μεγέθους $2^n \times 2^n$, η υπόλοιπη σκακιέρα μπορεί να καλυφθεί πλήρως με πλακίδια 3 τετραγώνων του παρακάτω σχήματος

Αναδιατάξεις

$n$ άνθρωποι κάθονται σε μια σειρά από $n$ καθίσματα. Επιτρέπεται να αλλάξουν θέσεις μεταξύ τους με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε άτομο να μετακινηθεί το πολύ κατά μία θέση. Βρείτε το πλήθος των τρόπων $a_n$ με τους οποίους μπορούν να αναδιαταχθούν.

Δύναμη του 2

Έστω $A$ ένα υποσύνολο του $\{0, 1, 2, 3, \dots, 1997\}$ το οποίο περιέχει περισσότερα από 1000 στοιχεία. Αποδείξτε ότι είτε το $A$ περιέχει μια δύναμη του 2 (δηλαδή, έναν αριθμό της μορφής $2^k$, όπου ο $k$ είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος) είτε υπάρχουν δύο διαφορετικά στοιχεία $a, b \in A$ τέτοια ώστε το άθροισμά τους $a + b$ να είναι δύναμη του 2.

(Ιρλανδία, 1997)

$n$ βάρη

Έχουμε $n$ βάρη, καθένα από τα οποία ζυγίζει έναν ακέραιο αριθμό κιλών, αλλά λιγότερο από $n$ κιλά. Υποθέστε επίσης ότι το συνολικό βάρος των $n$ βαρών είναι μικρότερο από $2n$ κιλά. Αποδείξτε ότι τα βάρη μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες, μία από τις οποίες ζυγίζει ακριβώς $n$ κιλά.

(Ιρλανδία, 1988)

Περιοχές που σχηματίζονται από $n$ ευθείες στο επίπεδο

Έστω $f(n)$ το πλήθος των περιοχών που σχηματίζονται από $n$ ευθείες στο επίπεδο, όπου ανά δύο οι ευθείες δεν είναι παράλληλες και ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Για παράδειγμα, $f(4) = 11$.) Να βρείτε έναν τύπο για το $f(n)$.

Σκακιέρα $200 \times 200$

Κάθε κελί ενός πίνακα διάστασης $200 \times 200$ είναι χρωματισμένο μαύρο ή λευκό. Είναι γνωστό ότι η διαφορά μεταξύ του πλήθους των μαύρων και των λευκών κελιών στον πίνακα είναι $404$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας υποπίνακας διάστασης $2 \times 2$ ο οποίος περιέχει περιττό πλήθος μαύρων μοναδιαίων τετραγώνων.

(Ρωσία, 2000)

Σκακιέρα $10 \times 10$

Οι αριθμοί $1, 2, \dots, 100$ γράφονται με τυχαία σειρά σε έναν πίνακα διάστασης $10 \times 10$. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο γειτονικά μοναδιαία τετράγωνα (που μοιράζονται μια κοινή πλευρά) τέτοια ώστε οι αριθμοί $x, y$ που είναι γραμμένοι σε αυτά να ικανοποιούν τη σχέση $\vert{}x - y\vert{} \geq 6$.