Κοινές λύσεις τριγωνομετρικών ανισώσεων

 Η γωνία \(x\) μετριέται σε ακτίνια (radians) και είναι τέτοια ώστε \(0 \le x \le \pi\).

Ποιο είναι το συνολικό μήκος του διαστήματος για το οποίο ισχύουν ταυτόχρονα οι ανισότητες \(-1 \le \tan x \le 1\) και \(\sin 2x \ge 0.5\);

• \(\dfrac{\pi }{12}\)
• \(\dfrac{\pi }{6}\)
• \(\dfrac{\pi }{4}\)
• \(\dfrac{\pi }{3}\)
• \(\dfrac{5\pi }{12}\)
• \(\dfrac{\pi }{2}\)
• \(\dfrac{5\pi }{6}\)

Probability that the first ball was red and the second blue

 A bag contains only \(x\) red balls, \(y\) blue balls and \(z\) yellow balls.

One ball is taken out at random; this ball is then placed back in the bag. Then once again, a ball is taken out at random from the bag.

If the balls are identical in all respects except colour and are well mixed, what is the probability that the first ball was red and the second blue?

• \(\dfrac{(x+y)}{(x+y+z)}\)
• \(\dfrac{(x+y)}{(x+y+z)^{2}}\)
• \(\dfrac{xy}{(y+z)(x+z)}\)
• \(\dfrac{xy}{(x+y+z)(x+z)}\)
• \(\dfrac{xy}{(x+y+z)^{2}}\)

Greatest lower bound

 The triangle PQR has a right angle at R.

The length of PQ is 4 cm, correct to the nearest centimetre.

The length of PR is 2 cm, correct to the nearest centimetre.

What is the greatest lower bound, in centimetres, of the length of QR?

• \(\sqrt{6} - \frac{1}{2}\)
• \(2\sqrt{3} - \frac{1}{2}\)
• \(2\sqrt{5} - \frac{1}{2}\)
• \(2\sqrt{5}\)
• \(2\sqrt{3}\)
• \(\sqrt{6}\)

Κλασματική ανίσωση

 Βρείτε το σύνολο τιμών του \(x\) για το οποίο ισχύει:

\(\dfrac{x^{3}-6x^{2}+9x-4}{x}>0\)

• \(x < 0,\ \ x > 4\)
• \(0 < x < 4\)
• \(0 < x < 1,\ \ x < 4\)
• \(x < 0,\ \ 1 < x < 4\)
• \(x < 1,\ \ x > 4\)
• \(1 < x < 4\)

Πόσα τρίγωνα με πλευρές με ακέραια μήκη

 Ένα τρίγωνο πρόκειται να σχεδιαστεί με πλευρές που έχουν ακέραια μήκη σε εκατοστά και συνολική περίμετρο \(12\text{ cm}\).

Πόσα διαφορετικά (μη ίσα) τρίγωνα μπορούν να σχεδιαστούν;

• \(1\)
• \(2\)
• \(3\)
• \(10\)
• \(12\)

Πότε έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες;

 Για ποιες τιμές του μη μηδενικού πραγματικού αριθμού \(a\) η δευτεροβάθμια εξίσωση

\(ax^{2}+(a-2)x=2\)

έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες;

• Για όλες τις τιμές του \(a\) 
• \(a = -2\)
• \(a > -2\)
• \(a \neq -2\)
• Για καμία τιμή του \(a\) 

Ευθείες

 Η ευθεία με εξίσωση \(y = mx + 3\), όπου \(m > 0, m \neq 1\), είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση \(y = px + 2\).

Οι ευθείες τέμνουν τον άξονα των \(x\) στα σημεία \(L\) και \(M\) αντίστοιχα. Το μήκος του \(LM\) είναι \(5\) μονάδες.

Ποια είναι η τιμή του \(m + p\) δεδομένου ότι \(m > 1\);

• \(-\frac{8}{3}\)
• \(-\frac{13}{6}\)
• \(-\frac{5}{6}\)
• \(\frac{5}{6}\)
• \(\frac{13}{6}\)
• \(\frac{8}{3}\)

Largest possible median

 A group of five numbers are such that:

• their mean is 0
• their range is 20

What is the largest possible median of the five numbers?

• 0
• 4
• \(4\frac{1}{2}\)
• \(6\frac{1}{2}\)
• 8
• 20

A graph of \(\log y\) against \(\log x\)

 The variables \(x\) and \(y\) and the constants \(a\) and \(b\) are real and positive. The variables \(x\) and \(y\) are related.

A graph of \(\log y\) against \(\log x\) is drawn.

For which one of the following relationships will this graph be a straight line?

• \(y^6 = a^x\)
• \(y = ab^x\)
• \(y^2 = a + x^b\)
• \(y = ax^b\)
• \(y^x = a^b\)

Τριγωνομετρική εξίσωση

Αν

\(7\eta \mu \theta -3\epsilon \varphi \theta \cdot \eta \mu \theta =1\)

ποιο από τα παρακάτω είναι αληθές;

• \(\sigma v \nu\theta = -\frac{3}{5}\ \ \text{ή}\ \ \sigma v \nu\theta = -\frac{1}{2}\)
• \(\sigma v \nu\theta = -\frac{3}{5}\ \ \text{ή}\ \ \sigma v \nu\theta = \frac{1}{2}\)
• \(\sigma v \nu\theta = \frac{3}{5}\ \ \text{ή}\ \ \sigma v \nu\theta = \frac{1}{2}\)
• \(\sigma v \nu\theta = \frac{3}{5}\ \ \text{ή}\ \ \sigma v \nu\theta = -\frac{1}{2}\)

Γωνία ακμής τετράγωνης πυραμίδας με τη βάση

 Ένα κουτί είναι μια πυραμίδα. Η βάση του κουτιού είναι ένα τετράγωνο με πλευρές \(10\text{ cm}\) και όλες οι πλάγιες ακμές του κουτιού έχουν μήκος \(12\text{ cm}\).

Ποια είναι η γωνία που σχηματίζει η πλάγια ακμή \(TP\) με τη βάση \(PQRS\);

• \(\sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{5}}{12}\right)\)
• \(\sin^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\)
• \(\sin^{-1}\left(\frac{5\sqrt{2}}{12}\right)\)
• \(\cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{5}}{12}\right)\)
• \(\cos^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\)
• \(\cos^{-1}\left(\frac{5\sqrt{2}}{12}\right)\)