Ένα googol

Ένα googol είναι το 1 ακολουθούμενο από 100 μηδενικά. 

Θα λέμε ότι ένας αριθμός είναι ειδικός αν κάθε ψηφίο του είναι το 1 ή το 2. Δείξτε ότι το κλάσμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το googol που είναι ειδικοί είναι

$$\frac{2}{5^{100}} - \frac{2}{10^{100}}.$$

Κάλυψη επιπέδου με πανομοιότυπα πλακίδια

Αυτό το σχήμα έχει δημιουργηθεί προσθέτοντας ή αφαιρώντας πανομοιότυπα ημικύκλια στο μέσο κάθε πλευράς ενός ισόπλευρου τριγώνου.

Μπορείτε να καλύψετε ολόκληρο το επίπεδο χωρίς κενά ή επικαλύψεις χρησιμοποιώντας πανομοιότυπα πλακίδια αυτού του σχήματος;

Με αφορμή ένα παλιό πρόβλημα

Ο ευφυής μαθηματικός Leonhard Euler είχε ισχυριστεί κάποτε ότι η εξίσωση $a^4 + b^4 + c^4 = d^4$ δεν έχει λύσεις στους θετικούς ακέραιους. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν άπειρες.

Για παράδειγμα, η λύση $(a, b, c, d) = (95.800, 217.519, 414.560, 422.481)$ ανακαλύφθηκε από τον Roger Frye το 1988, βασιζόμενη στο έργο του Noam Elkies.

Να αποδείξετε ότι το γινόμενο $abcd$ διαιρείται με το 300 για οποιαδήποτε λύση.

Συντρέχουν σε τετράπλευρο

Δίνεται ένα τετράπλευρο $ABCD$. Έστω $E, F, G$ και $H$ τα μέσα των πλευρών $AB, BC, CD$ και $DA$, αντίστοιχα. Επίσης, έστω $P$ το μέσο της διαγωνίου $AC$ και $Q$ το μέσο της διαγωνίου $BD$.

Να αποδείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα $EG, FH$ και $PQ$ συντρέχουν και ότι το σημείο αυτό διχοτομεί καθένα από τα τρία ευθύγραμμα τμήματα.

Εμβαδόν τριγώνου

Τρία ευθύγραμμα τμήματα σχεδιάζονται μέσα σε ένα τρίγωνο, χωρίζοντάς το σε πέντε μικρότερα τρίγωνα.

Τα εμβαδά τριών μικρών τριγώνων φαίνονται στο σχήμα.

Βρείτε το συνολικό εμβαδό του μεγάλου τριγώνου.

Πλακόστρωση

Εννέα τετράγωνα διαστάσεων $3 \times 3$ είναι τοποθετημένα έτσι ώστε να σχηματίζουν μια διαδρομή σε σχήμα ζικ-ζακ. Η διαδρομή στη συνέχεια πλακοστρώνεται με ορθογώνια πλακίδια διαστάσεων $3 \times 1$. Ένα πιθανό μοτίβο πλακόστρωσης φαίνεται στο σχήμα.

Πόσα διαφορετικά μοτίβα πλακόστρωσης υπάρχουν;

Συνδυαστική ταυτότητα

Να αποδείξετε ότι για όλους τους ακέραιους αριθμούς $n \geq r \geq 0$ ισχύει:

$$\binom{r}{r} + \binom{r+1}{r} + \binom{r+2}{r} + \dots + \binom{n}{r} = \binom{n+1}{r+1}$$

Δέκα σημεία κύκλου

Δέκα σημεία $P_1, P_2, \dots, P_{10}$ είναι διαδοχικές κορυφές κανονικού δεκαγώνου. Συνδέονται ανά δύο μέσω 5 ευθύγραμμων τμημάτων. Με πόσους τρόπους μπορούν να σχεδιαστούν αυτά τα ευθύγραμμα τμήματα, έτσι ώστε να τέμνεται ακριβώς ένα ζεύγος ευθύγραμμων τμημάτων;

(Αυστραλία, 2018)

Διοφαντική εξίσωση

Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ακέραιων αριθμών $(m, n)$ τέτοια ώστε:

$$2^m + 3^m + 5^m = n!$$

(Νέα Ζηλανδία, 2026)

Συναρτησιακή εξίσωση

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f : \mathbb{R}\setminus\{0, 1\} \longrightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε, για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x \neq 0, 1$, να ισχύει:

$$f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{2(1-2x)}{x(1-x)}$$

Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά

Έστω $ABC$ ένα τρίγωνο. Έστω $P$ το σημείο πάνω στην πλευρά $BC$ τέτοιο ώστε η $AP$ να διχοτομεί τη γωνία $\angle BAC$. Θεωρήστε τον κύκλο που εφάπτεται στην ευθεία $BC$ στο σημείο $P$ και διέρχεται από το σημείο $A$. Αποδείξτε ότι αυτός ο κύκλος εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $ABC$.

Ντόμινο

Ένα τετράγωνο ενός πλέγματος μεγέθους $5 \times 5$ είναι σβησμένο με έναν χιαστί («Χ»), όπως φαίνεται στο σχήμα. Είναι δυνατόν να καλύψετε το υπόλοιπο πλέγμα με ορθογώνια μεγέθους $2 \times 1$ χωρίς αυτά να επικαλύπτονται μεταξύ τους;

Τι συμβαίνει αν το σβησμένο τετράγωνο («Χ») βρίσκεται κάπου αλλού;

Ευθείες σε πλέγμα $5 \times 5$

Πόσες διαφορετικές ευθείες γραμμές μπορείτε να σχεδιάσετε οι οποίες να διέρχονται από τρεις ή περισσότερες κουκκίδες σε αυτό το πλέγμα μεγέθους $5 \times 5$;

Να βρεθεί το ψηφίο που λείπει

Να βρεθεί το ψηφίο που λείπει (σημειώνεται με ?) στον παρακάτω πολλαπλασιασμό, χωρίς τη χρήση αριθμομηχανής:

$$195.623 \times 75.328 = 14.73?.889.344$$

Μικρότερη ή ίση από $\sqrt[3]{2}$

Υποθέστε ότι οι πραγματικοί αριθμοί $a, b, c$ ικανοποιούν τη σχέση $$\left(1 + \dfrac{a}{b}\right)\left(1 + \dfrac{b}{c}\right)\left(1 + \dfrac{c}{a}\right) = 2$$. 

Αποδείξτε ότι τουλάχιστον μία από τις παραστάσεις

$$\left\vert{} \frac{a + b - 2c}{a + b + c} \right\vert{}, \left\vert{} \frac{b + c - 2a}{a + b + c} \right\vert{}, \left\vert{} \frac{c + a - 2b}{a + b + c} \right\vert{}$$

είναι μικρότερη ή ίση από $\sqrt[3]{2}$.

(Νέα Ζηλανδία, 2026)

Υπάρχουν τέτοιοι πραγματικοί αριθμοί;

 Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $x, y$ και $z$ που να ικανοποιούν το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων;

$$\begin{cases} \dfrac{1}{x+y} + \dfrac{1}{y+z} + \dfrac{1}{z+x} = 4 \\ \\ \dfrac{z}{x+y} + \dfrac{x}{y+z} + \dfrac{y}{z+x} = 1 \\ \\ \dfrac{xy}{x+y} + \dfrac{yz}{y+z} + \dfrac{zx}{z+x} = -1 \end{cases}$$

(Νέα Ζηλανδία, 2026)

Κλασσική άσκηση

 Έστω ένας σταθερός κύκλος $(O, R)$. Θεωρούμε τρία ίσα τόξα $60^\circ$ σε τυχούσες θέσεις πάνω στον κύκλο αυτό. Αν $M_1$, $M_2$ και $M_3$ είναι τα μέσα των τριών χορδών που σχηματίζονται ανάμεσα στα τόξα αυτά, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο $M_1M_2M_3$ είναι πάντα ισόπλευρο.

$α+Σ(α)=β+Σ(β)=γ+Σ(γ)$

Για κάθε φυσικό αριθμό $ν$ συμβολίζουμε με $Σ(ν)$ το άθροισμα των ψηφίων του στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Να βρείτε τρεις διαφορετικούς φυσικούς $α, β, γ$ ώστε $α+Σ(α)=β+Σ(β)=γ+Σ(γ)$.

Συνέπεια του θεωρήματος του Ναπολέντα

Δίνεται ένα τυχαίο τρίγωνο $\triangle ABC$.

Στις πλευρές του κατασκευάζονται εξωτερικά τα ισόπλευρα τρίγωνα $\triangle ABC_1$, $\triangle BCA_1$ και $\triangle ACB_1$.
Τα σημεία $C_2$, $A_2$ και $B_2$ είναι τα βαρύκεντρα (κέντρα) αυτών των τριών ισόπλευρων τριγώνων αντίστοιχα.
Το σημείο $A_3$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $AA_2$.
Το σημείο $B_3$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $BB_2$.
Το σημείο $C_3$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $CC_2$.
Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\triangle A_3B_3C_3$ είναι ισόπλευρο τρίγωνο.

Τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές δύο τετραγώνων

Δίνονται δύο τετράγωνα, A₁B₁C₁D₁ και A₂B₂C₂D₂, στο ίδιο επίπεδο, τα οποία έχουν τον ίδιο προσανατολισμό.

Το σημείο A είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος A₁A₂.

Το σημείο B είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος B₁B₂.

Το σημείο C είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος C₁C₂.

Το σημείο D είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος D₁D₂.

Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ABCD που σχηματίζεται από τα μέσα αυτών των τμημάτων είναι επίσης τετράγωνο.

Τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές δύο ισόπλευρων τριγώνων

Δίνονται δύο ισόπλευρα τρίγωνα $\triangle A_1B_1C_1$ και $\triangle A_2B_2C_2$ με τον ίδιο προσανατολισμό.

Το σημείο $A$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $A_1A_2$.

Το σημείο $B$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $B_1B_2$.

Το σημείο $C$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $C_1C_2$.

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\triangle ABC$ που σχηματίζεται από τα μέσα αυτών των τμημάτων είναι επίσης ισόπλευρο τρίγωνο.

Σημείο Fermat-Torricelli (ή και σημείο Steiner) και το Θεώρημα του Ναπολέοντα

 Θεωρούμε τρίγωνο $AB\Gamma$ και προς το μέρος των πλευρών $B\Gamma$, $\Gamma A$, $AB$ προς το οποίο δεν κείνται τα $A$, $B$, $\Gamma$ αντιστοίχως, τα ισόπλευρα τρίγωνα $B\Gamma A'$, $\Gamma AB'$, $AB\Gamma'$. Να αποδείξετε ότι:

• (α) Τα ευθύγραμμα τμήματα $AA'$, $BB'$, $\Gamma\Gamma'$ είναι ίσα.
• (β) Οι ευθείες $AA'$, $BB'$, $\Gamma\Gamma'$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $S$.
• (γ) Τα κέντρα $K_1$, $K_2$, $K_3$ των ισόπλευρων τριγώνων $B\Gamma A'$, $\Gamma AB'$, $AB\Gamma'$ αντιστοίχως, είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου.
• (δ) Αν η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου $AB\Gamma$ είναι μικρότερη των $120^\circ$, τότε το $S$ είναι εσωτερικό του $AB\Gamma$ και οι γωνίες $B\hat{S}\Gamma$, $\Gamma\hat{S}A$, $A\hat{S}B$ είναι ίσες προς $120^\circ$ η καθεμία.