Ανισότητα με λογάριθμους από τη Ρουμανία

Αν $a,b \in \left( {0,1} \right)$ ν.δ.ο. ${\log _a}\left( {\dfrac{{2ab}}{{a + b}}} \right) + {\log _b}\left( {\dfrac{{2ab}}{{a + b}}} \right) \ge 2$ .

Ανισότητα με συνθήκη

Έστω $a,b,c>0$ με $\color{blue}\displaystyle{abc=\dfrac{9}{4}}$. Να αποδείξετε ότι 

                $\color{blue}\displaystyle{ a^3+b^3+c^3>a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}}$

Είναι αναγκαστικά ισοσκελές

Αν σε κάποιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 

                                          $\displaystyle\eta \mu^2 \frac{A}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{B}{3}=\eta \mu^2 \frac{B}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{A}{3}$,

 να αποδειχθεί ότι είναι ισοσκελές.

Μέγιστη τιμή παράστασης σε ορθογώνια τρίγωνα

 Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα, να βρεθούν εκείνα για τα οποία μεγιστοποιείται η τιμή της παράστασης 

$\displaystyle{K=\frac{c+h}{a+b}}$,

όπου $\displaystyle{a,b}$ οι κάθετες πλευρές, $\displaystyle{c}$ η υποτείνουσα και $\displaystyle{h}$ το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.

Σύστημα από την Κύπρο

Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα:

$\begin{cases} x^3+ x(y - z)^2 = 2 \\ y^3 + y(z - x)^2 = 30 \\ z^3 + z(x - y)^2 = 16 \end{cases}$

Στρατηγική σε πολυώνυμο

 Δύο παίκτες Α και Β παίζουν ένα παιγνίδι ως εξής:

Αρχίζει ο παίκτης Α δίνοντας σε μία από τις μεταβλητές $a,b,c$ μία πραγματική τιμή. 

Συνεχίζει ο παίκτης Β δίνοντας σε μία από τις δύο εναπομείνασες τιμές μία πραγματική τιμή. Τέλος ο παίκτης Α δίνει μία πραγματική τιμή για την τελευταία μεταβλητή.

Ο παίκτης Α κερδίζει αν το προκύπτον τριτοβάθμιο πολυώνυμο $x^3+ax^2+bx+c$ έχει τρεις πραγματικές ρίζες. Υπάρχει τρόπος ο παίκτης Α να κερδίσει ανεξάρτητα από την επιλογή του Β;

Δύο καθετότητες που οδηγούν σε μία τρίτη

Θεωρούμε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ, του οποίου οι γωνίες Α και Δ είναι ορθές. Ονομάζουμε Ο το μέσον της πλευράς ΑΔ. Η κάθετος από το Α στην ευθεία ΟΒ τέμνει την κάθετο από το Δ στην ευθεία ΟΓ σε ένα σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΟΕ είναι κάθετος στην ευθεία ΒΓ.

Ακέραιες λύσεις συστήματος

 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις του συστήματος

$\begin{cases}(x+1)(y+1)(z+1)^{2}=4(z+19)^{2}-99\\ (y+1)(z+1)(x+1)^{2}=4(x+19)^{2}-99\\ (z+1)(x+1)(y+1)^{2}=4(y+19)^{2}-99\end{cases}$

Ανισότητα με απόλυτα

 👉Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4, a_5$, με άθροισμα μηδέν, και τέτοιους ώστε $\displaystyle |a_i-a_j|\leq 1$ για κάθε $\displaystyle i,j \in \{ 1,2,3,4,5 \}$.

Να δείξετε ότι $\displaystyle a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2\leq \dfrac{6}{5}$. Είναι δυνατή η ισότητα;

Μέγιστη και ελάχιστη τιμή παράστασης με συνθήκη

Αν $x, y, z$ είναι αριθμοί στο διάστημα $[-2,4]$ ώστε $xy + yz + zx = 0$, να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης $Π = x + y + z$.

Αριθμός με 1973 ψηφία, άθροισμα ψηφίων 1973 που να είναι πολλαπλάσιο του 1973

Υπάρχει αριθμός με 1973 ψηφία ο οποίος να έχει άθροισμα ψηφίων 1973 και να είναι πολλαπλάσιο του 1973;

Κυκλικό σύστημα

 Να λυθεί το σύστημα:

$$\begin{cases} (x + y)^3 = z - 2x - y \\ (y + z)^3 = x - 2y - z \\ (z + x)^3 = y - 2z - x \end{cases}$$

στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

(Θαλής 2009)

Δύο ασκήσεις με πολυώνυμα

🙇Άσκηση 1

Υπάρχει πολυώνυμο $Π(x)$ με ακέραιους συντελεστές για το οποίο να ισχύει

$Π(1204)Π(1453)Π(1821)Π(1922)Π(1940)=2009$ ;


👶Άσκηση 2

Έστω πολυώνυμο $Π(x)$ με ακέραιους συντελεστές για το οποίο ισχύει

$Π(1204)Π(1453)Π(1821)Π(1922)Π(1940)=2009^5.$ Να αποδείξετε

ότι η εξίσωση $Π(x)=0$ δεν έχει ακέραιες ρίζες.

Σύνθεση συναρτήσεων

 Στο διάστημα [0,1] ορίζονται οι συναρτήσεις S(x)=1-x και Τ(x)=$\dfrac{x}{2}$. Υπάρχει συνάρτηση της μορφής $\displaystyle{f=g_{1}\circ g_{2} \circ ...\circ g_{n}}$ όπου οι συναρτήσεις $g_{k}$ είναι είτε η S είτε η Τ ώστε $f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1975}{2^{1975}}$; 

                                                                                                                                                                         (Πολωνία 1975)

Δεκαψήφιοι, πολλαπλάσια του 2009 με συγκεκριμένο άθροισμα ψηφίων!

Να βρείτε 10 δεκαψήφιους αριθμούς οι οποίοι να είναι όλοι τους πολλαπλάσια του 2009 ώστε:
α) ο πρώτος να έχει άθροισμα ψηφίων 20
β) ο δεύτερος να έχει άθροισμα ψηφίων 21
γ) ο τρίτος να έχει άθροισμα ψηφίων 22
δ) ο τέταρτος να έχει άθροισμα ψηφίων 23
ε) ο πέμπτος να έχει άθροισμα ψηφίων 24
στ) ο έκτος να έχει άθροισμα ψηφίων 25
ζ) ο έβδομος να έχει άθροισμα ψηφίων 26
η) ο όγδοος να έχει άθροισμα ψηφίων 27
θ) ο ένατος να έχει άθροισμα ψηφίων 28
ι) ο δέκατος να έχει άθροισμα ψηφίων 29

Ποσοστό στις βολές

 α) Ένας παίκτης του μπάσκετ είχε κάποια στιγμή ποσοστό επιτυχίας στις βολές, κάτω από $75$%. Αργότερα είχε ποσοστό  επιτυχίας πάνω από $75$%. Να αποδείξετε ότι κάποια στιγμή  είχε ποσοστό επιτυχίας ακριβώς $75$%.

β) Να δώσετε παράδειγμα κλάσματος $\dfrac {p}{q} $ από το $1$% μέχρι το $99$% από όπου να φαίνεται ότι στο α) δεν ισχύει το αντίστοιχο αν στην θέση του $75$% μπει τo $\dfrac {p}{q} $ . (Αν θέλετε παράδειγμα, δείξτε ότι δεν ισχύει το ίδιο για το $74$%)

γ) Bρείτε όλα τα κλάσματα  $\dfrac {p}{q} $ από το $1$% μέχρι το $99$% για τα οποία ισχύει το αντίστοιχο του α) αν στην θέση του $75$% μπει τo $\dfrac {p}{q} $ .

Τρία ισόπλευρα τρίγωνα με κοινή κορυφή

 Στο σχήμα τρία ισόπλευρα έχουν μία κοινή κορυφή. Να αποδείξετε ότι

$3(r+s+t)>2(a+b+c)$

Τετραψήφιος με δύο ιδιότητες

Βρείτε όλους τους τετραψήφιους αριθμούς $\overline{abcd}$ τέτοιους ώστε:

$$\overline{ab} + \overline{cd} = \sqrt{\overline{abcd}}$$
και
$$\overline{cd} - \overline{ab} = 5$$

                                                                                      (Σλοβακία 2025)

Πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές που λαμβάνει περιττές τιμές στο 0 και το 1

Έστω $P(x)$ πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές ώστε οι αριθμοί $P(0)$ και $P(1)$ να είναι και οι δυο περιττοί.
Δείξτε ότι το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα.

«Γραφικοί» αριθμοί

 Ένας φυσικός αριθμός που γράφεται με διαφορετικά μεταξύ τους ψηφία ονομάζεται «γραφικός», όταν κάθε εσωτερικό του ψηφίο διαιρεί τον διψήφιο αριθμό που σχηματίζεται από τα γειτονικά του ψηφία από αριστερά προς τα δεξιά. Για παράδειγμα, ο \(1324\) είναι γραφικός, επειδή το \(3\) διαιρεί το \(12\) (\(12 = 4 \times 3\)) και το \(2\) διαιρεί το \(34\) (\(34 = 17 \times 2\)).

Εξετάστε αν υπάρχει γραφικός αριθμός που να αποτελείται από όλα τα ψηφία:
α) από το 1 έως το 8,
β) από το 1 έως το 9.

Παραγοντοποίηση από την Πολωνία

 Να γράψετε το πολυώνυμο $P(x)=(x+1)^7-x^7-1$

ως γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων παραγόντων.

👉Πρόβλημα 16, σελ. 4 από το βιβλίο Mathematical Problems And Puzzles from the Polish Mathematical Olympiads

Ένα πρόβλημα από Τσεχία Σλοβακία (προκριματικός γύρος μελέτης στο σπίτι, 2024/25)

  Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς $a, b$ οι παραστάσεις $a^2 + b$ και $a + b^2$ έχουν την ίδια τιμή. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει αυτή η παράσταση; (Patrik Bak)

ΚΑΘΟΔΗΓΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ:
Κ1. Για τους διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς $a, b$, οι παραστάσεις $a^2 - b^2$ και $a - b$ έχουν την ίδια τιμή. Αποδείξτε ότι η τιμή του $a + b$ είναι 1.
Κ2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση $a^2 + 3a$ για έναν πραγματικό αριθμό $a$;
Κ3. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, λύστε το σύστημα των εξισώσεων $a^2 + b = c$, $b^2 + c = a$, $c^2 + a = b$.
Σ1. Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς $a_1, \dots, a_n$, οι παραστάσεις $a_1^2 + a_2, a_2^2 + a_3, \dots, a_{n-1}^2 + a_n$ και $a_n^2 + a_1$ έχουν την ίδια τιμή. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή;
Σ2. Για μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς $a, b, c$ ισχύει $a^2(b+c) = b^2(c+a) = c^2(a+b)$. Προσδιορίστε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης $\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$.
Σ3. Για τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$ ισχύει $x^3 + y^3 \leq 2$. Αποδείξτε ότι τότε ισχύει επίσης $x + y \leq 2$.
Σ4. Έστω $a, b, c$ θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Δείξτε ότι οι τρεις αριθμοί $a^2 + b + c$, $b^2 + c + a$, $c^2 + a + b$ δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα τέλεια τετράγωνα ακεραίων αριθμών.

Είναι ξεχωριστοί οι διαγωνισμοί που γίνονται στην Tσεχία και τη Σλοβακία;

Ναι, οι εθνικές φάσεις των διαγωνισμών διοργανώνονται ξεχωριστά, αλλά υπάρχει μια πολύ στενή και ιστορική συνεργασία μεταξύ των δύο χωρών.

Πώς λειτουργεί ο συγκεκριμένος διαγωνισμός

Το αρχικό πρόβλημα προέρχεται από την Τσεχοσλοβακική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Czech and Slovak Mathematical Olympiad), η οποία διατηρεί κοινή παράδοση από την εποχή της ενιαίας Τσεχοσλοβακίας.

• Προκαταρκτικές Φάσεις: Οι πρώτοι γύροι (σχολικοί, περιφερειακοί) διεξάγονται εντελώς ανεξάρτητα και ξεχωριστά σε κάθε χώρα από τις αντίστοιχες εθνικές επιτροπές, όπως την Επιτροπή Μαθηματικής Ολυμπιάδας της Σλοβακίας (SKMO).
• Τελική Φάση (Εθνικός Γύρος): Αν και κάθε χώρα επιλέγει τους δικούς της νικητές για τις διεθνείς διοργανώσεις, ο τελικός εθνικός γύρος της Κατηγορίας Α διοργανώνεται ως κοινός διαγωνισμός (Τσεχο-Σλοβακικός), όπου οι μαθητές και των δύο χωρών διαγωνίζονται στα ίδια θέματα.
• Διμερείς Αγώνες: Επιπλέον, διοργανώνεται ετήσια ο παραδοσιακός μαθηματικός αγώνας Czech-Polish-Slovak Match, στον οποίο συμμετέχουν από κοινού οι εθνικές ομάδες της Τσεχίας, της Σλοβακίας και της Πολωνίας.