Έστω $f(n)$ το πλήθος των περιοχών που σχηματίζονται από $n$ ευθείες στο επίπεδο, όπου ανά δύο οι ευθείες δεν είναι παράλληλες και ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Για παράδειγμα, $f(4) = 11$.) Να βρείτε έναν τύπο για το $f(n)$.
Κάθε κελί ενός πίνακα διάστασης $200 \times 200$ είναι χρωματισμένο μαύρο ή λευκό. Είναι γνωστό ότι η διαφορά μεταξύ του πλήθους των μαύρων και των λευκών κελιών στον πίνακα είναι $404$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας υποπίνακας διάστασης $2 \times 2$ ο οποίος περιέχει περιττό πλήθος μαύρων μοναδιαίων τετραγώνων.
(Ρωσία, 2000)
Οι αριθμοί $1, 2, \dots, 100$ γράφονται με τυχαία σειρά σε έναν πίνακα διάστασης $10 \times 10$. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο γειτονικά μοναδιαία τετράγωνα (που μοιράζονται μια κοινή πλευρά) τέτοια ώστε οι αριθμοί $x, y$ που είναι γραμμένοι σε αυτά να ικανοποιούν τη σχέση $\vert{}x - y\vert{} \geq 6$.
Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να γεμίσουμε τα μοναδιαία τετράγωνα μιας σκακιέρας $8 \times 8$ με τους αριθμούς $-1$ και $1$, έτσι ώστε το άθροισμα των στοιχείων σε κάθε υποπίνακα διάστασης $2 \times 2$ να είναι $0$;
(Columbia Math Olympiad)
Οι αριθμοί $1, 2, \dots, 81$ γράφονται με τυχαία σειρά μέσα στα τετράγωνα μιας σκακιέρας $9 \times 9$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας υποπίνακας διάστασης $2 \times 2$ του οποίου το άθροισμα των αριθμών είναι μεγαλύτερο από $137$.
Επτά τετράγωνα μιας σκακιέρας $8 \times 8$ είναι μολυσμένα. Σε κάθε μονάδα χρόνου, τα τετράγωνα που έχουν τουλάχιστον δύο μολυσμένα γειτονικά τετράγωνα (που μοιράζονται μια κοινή πλευρά) μολύνονται και αυτά. Είναι δυνατόν η μόλυνση να εξαπλωθεί σε ολόκληρη τη σκακιέρα;
Σε κάθε τετράγωνο σκακιέρας $25 \times 25$ γράφουμε ή τον αριθμό $1$ ή τον $-1$. Συμβολίζουμε με $a_1, a_2, \dots, a_{25}$ τα γινόμενα των στοιχείων ανά γραμμή και με $b_1, b_2, \dots, b_{25}$ τα γινόμενα των στοιχείων ανά στήλη. Να αποδείξετε ότι:
(α) Είναι δυνατόν να γεμίσουμε τα μοναδιαία τετράγωνα μιας σκακιέρας $7 \times 7$ με τους αριθμούς $1$ ή $-1$, έτσι ώστε το γινόμενο των στοιχείων σε κάθε γραμμή να είναι $1$ και το γινόμενο των στοιχείων σε κάθε στήλη να είναι $-1$;
Σε κάθε τετράγωνο μιας σκακιέρας $8 \times 8$ γράφουμε έναν από τους αριθμούς $-1$, $0$ ή $1$. Είναι δυνατόν όλα τα αθροίσματα των γραμμών, των στηλών και των δύο κύριων διαγωνίων να είναι διαφορετικά μεταξύ τους;
Δίνεται η εξίσωση $$5a^2 + 5b^2 + 10c^2 + d^2 - 4ab - 4bc - 6cd = 4$$
Έστω ένα τυχόν τρίγωνο $ABC$. Αν κατασκευάσουμε εξωτερικά (ή εσωτερικά) των πλευρών του $BC$, $AC$ και $AB$ τα τετράγωνα $BCDE$, $ACZN$ και $ABKL$ με κέντρα $O_1$, $O_2$ και $O_3$ αντίστοιχα, τότε ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
Έστω $ABC$ ένα τρίγωνο με $\angle CAB > 45^\circ$ και $\angle CBA > 45^\circ$. Κατασκευάζουμε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο $RAB$ με υποτείνουσα την $AB$, έτσι ώστε η κορυφή $R$ να βρίσκεται στο εσωτερικό του $ABC$. Επίσης, κατασκευάζουμε τα ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα $ACQ$ και $BCP$ που έχουν υποτείνουσες τις $AC$ και $BC$ αντίστοιχα, και βρίσκονται εξ ολοκλήρου στο εξωτερικό του $ABC$. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $CQRP$ είναι παραλληλόγραμμο.
Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων $n$ και $m$, τέτοια ώστε
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους $n$ τέτοιους ώστε το $n! + 3$ να είναι τέλειο τετράγωνο.
Να βρείτε πόσοι περιττοί θετικοί ακέραιοι είναι μικρότεροι από 7000 και δεν είναι πολλαπλάσια ούτε του 5 ούτε του 7.
Δείξτε ότι ανάμεσα σε οποιαδήποτε 10 σημεία μέσα σε ένα τετράγωνο διαστάσεων $3 \times 3$, υπάρχει ένα ζευγάρι σημείων των οποίων η μεταξύ τους απόσταση είναι το πολύ $\sqrt{2}$.
Με πόσους τρόπους μπορείτε να τοποθετήσετε τον Αναστάση, τον Βασίλη και τον Γιώργο σε μια σειρά από 10 καθίσματα, έτσι ώστε να μην κάθονται δύο άτομα σε διπλανές θέσεις;
Θεωρήστε μια περιοχή που σχηματίζεται αν αφαιρέσουμε δύο απέναντι γωνιακά τετράγωνα από μια σκακιέρα διαστάσεων $8 \times 8$. Δείξτε ότι αυτή η περιοχή δεν μπορεί να καλυφθεί (πλακιδωθεί) χρησιμοποιώντας ορθογώνια μεγέθους $2 \times 1$ (ντόμινο).
Έστω $P(x)$ ένα πολυώνυμο βαθμού $n$, τέτοιο ώστε για $k = 0, 1, 2, 3, \dots, n$ έχουμε
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
