ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΛΙΧΟΥΔΙΕΣ

Μπορεί άραγε κάτι που έχει να κάνει με τα Μαθηματικά να έχει ταυτόχρονα γλύκα; Μπορούμε να κάνουμε Μαθηματικά και να χαιρόμαστε συγχρόνως; Μπορεί το παίδεμα για να λύσουμε ένα δύσκολο πρόβλημα να είναι συναρπαστικό; Η προσπάθεια που γίνεται εδώ, φιλοδοξεί να αποδείξει ότι οι απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα μπορούν να είναι ΝΑΙ! Μπορείτε να στέλνετε τις λύσεις σας, τις ερωτήσεις, τις παρατηρήσεις σας και δικά σας προβλήματα στη διεύθυνση mathsweets@gmail.com

Κυριακή 27 Σεπτεμβρίου 2026

Το σημείο ελαχίστου να είναι πάνω από τον άξονα χ΄χ

Θεωρήστε τις γραφικές παραστάσεις της μορφής:

$$y = x^2 + 2ax + a$$

Ποιο είναι το πλήρες εύρος τιμών του $a$ για το οποίο το σημείο ελαχίστου της γραφικής παράστασης βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x$;

Δεν υπάρχουν τιμές του $a$
$a < 0$
$0 < a < 1$
$-1 < a < 1$
$a < -1$ ή $a > 1$
$a < 0$ ή $a > 1$
Το $a$ μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή

Πόσοι ακέραιοι

Πόσοι διαφορετικοί ακέραιοι, $n$, υπάρχουν τέτοιοι ώστε η απόσταση μεταξύ του $2\sqrt{n}$ και του 7 να είναι μικρότερη από 1;

΄Εχουν το ίδιο ελάχιστο

Δίνεται ότι $f(x) = x^2 - 6x$.

Οι καμπύλες $y = f(kx)$ και $y = f(x - c)$ έχουν το ίδιο σημείο ελαχίστου, όπου $k > 0$ και $c > 0$.

Ποια από τις ακόλουθες είναι μια σωστή έκφραση για το $k$ συναρτήσει του $c$;

A $k = \frac{3 - c}{3}$
B $k = \frac{3}{c + 3}$
C $k = \frac{c - 6}{6}$
D $k = \frac{6}{6 - c}$
E $k = \frac{c + 9}{9}$
F $k = \frac{9}{c - 9}$

Ολοκλήρωμα με παράμετρο

Ποια είναι η μικρότερη δυνατή τιμή του $\int_0^1 (x-a)^2 \, dx$ καθώς το $a$ μεταβάλλεται;

4η Δοκιμασία Αξιολόγησης: Πρόσθεση - Αφαίρεση διανυσμάτων

4η Δοκιμασία Αξιολόγησης: Πρόσθεση - Αφαίρεση διανυσμάτων (χρόνος: 15')

1 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κέντρο $Ο$ και $\widehat{AOΔ}=60^o.$

Α. Από τους παρακάτω ισχυρισμούς, άλλοι είναι σωστοί και άλλοι λάθος. Συμπληρώστε, στο αντίστοιχο τετραγωνίδιο, το γράμμα Σ ή το Γράμμα Λ, ανάλογα με την περίπτωση.

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A\Delta} = \overrightarrow{\Delta B}$ $\Box $
$\overrightarrow{A\Delta} + \overrightarrow{\Delta\Gamma} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B\Gamma}$ $\Box $
$\overrightarrow{O\Delta} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{O\Gamma}$ $\Box $
$\overrightarrow{B\Delta} = \overrightarrow{\Gamma B} - \overrightarrow{\Gamma\Delta}$ $\Box $
$\big\vert \overrightarrow{A\Gamma} \big\vert = \big\vert \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{\Gamma O} \big\vert$ $\Box $
$\big\vert \overrightarrow{B\Delta} \big\vert < \big\vert \overrightarrow{B\Gamma} \big\vert + \big\vert \overrightarrow{A\Gamma} \big\vert$ $\Box $
$\big\vert \overrightarrow{A\Delta} + \overrightarrow{AB} \big\vert = \big\vert \overrightarrow{B\Gamma} - \overrightarrow{BA} \big\vert$ $\Box $

Β. Συμπληρώστε τα παρακάτω τετραγωνίδια με τα κατάλληλα διανύσματα:

$\overrightarrow{A\Delta} + \overrightarrow{\Delta\Gamma} - \overrightarrow{B\Gamma} = \Box$
$\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} = \Box$
$\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{A\Delta} - \overrightarrow{\Delta A} = \Box$
$\overrightarrow{BO} + \Box - \overrightarrow{\Delta A} = \overrightarrow{B\Delta}$
$\big\vert \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} \big\vert = \big\vert \overrightarrow{O\Delta} - \Box \big\vert$
$\big\vert \overrightarrow{A\Delta} - \overrightarrow{O\Delta} + \Box \big\vert = 0$

Γ. Σε κάθε γωνία διανυσμάτων της πρώτης στήλης, να αντιστοιχίσετε το μέτρο της που αναγράφεται στην 2η στήλη.

1η Στήλη	2η Στήλη
α) $\widehat{(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{O\Gamma })}$	1) $0^{\circ }$
β) $\widehat{(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{O\Delta })}$	2) $60^{\circ }$
γ) $\widehat{(\overrightarrow{\Delta O},\overrightarrow{B\Omega })}$	3) $120^{\circ }$
δ) $\widehat{(\overrightarrow{\Gamma O},\overrightarrow{BO})}$	4) $180^{\circ }$
ε) $\widehat{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{\Delta \Gamma })}$

2 Για οποιαδήποτε 6 σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ να αποδείξετε ότι είναι:

$\big|\overrightarrow{A\Gamma }-\overrightarrow{B\Delta }+\overrightarrow{\Gamma E}+\overrightarrow{Z\Delta }-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BZ}\big|=0$

3η Δοκιμασία Αξιολόγησης: Πρόσθεση - Αφαίρεση διανυσμάτων

3η Δοκιμασία Αξιολόγησης: Πρόσθεση - Αφαίρεση διανυσμάτων (χρόνος: 15')

1 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και γωνία $\widehat{AOΔ}=60^o.$

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A\Delta} = \overrightarrow{\Gamma A}$ $\Box $
$\overrightarrow{A\Delta} + \overrightarrow{\Delta\Gamma} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B\Gamma}$ $\Box $
$\overrightarrow{O\Delta} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{O\Gamma}$ $\Box $
$\overrightarrow{B\Delta} = \overrightarrow{\Gamma B} - \overrightarrow{\Gamma\Delta}$ $\Box $
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{\Gamma\Delta} = \overrightarrow{0}$ $\Box $

Β. Συμπληρώστε τα παρακάτω τετραγωνίδια με τα κατάλληλα διανύσματα ή σύμβολα:

$\overrightarrow{A\Delta} + \overrightarrow{\Delta\Gamma} + \overrightarrow{\Gamma B} = \Box$
$\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} = \Box$
$\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{O\Delta} - \overrightarrow{A\Delta} = \Box$
$\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{\Delta A} = \Box$
$\overrightarrow{A\Delta} + \Box = \overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{A\Gamma} - \Box\ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B\Gamma}$
$\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{O\Gamma} + \Box) = \overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{A\Gamma} + \overrightarrow{\Gamma B} - \Box = \overrightarrow{\Delta B}$

Γ. Σε κάθε γωνία διανυσμάτων της 1ης στήλης, να αντιστοιχίσετε το μέτρο της, που αναγράφεται στην 2η στήλη.

1η Στήλη	2η Στήλη
α) $\widehat{(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{O\Gamma })}$	1) $180^{\circ }$
β) $\widehat{(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{O\Delta })}$	2) $0^{\circ }$
γ) $\widehat{(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{O\Gamma })}$	3) $60^{\circ }$
δ) $\widehat{(\overrightarrow{O\Delta },\overrightarrow{OB})}$	4) $120^{\circ }$
ε) $\widehat{(\overrightarrow{\Gamma O},\overrightarrow{BO})}$