Υπάρχουν άπειρες ακέραιες λύσεις

 Να δείξετε ότι η εξίσωση $a^2+b^2= c^2+5$ έχει άπειρες θετικές ακέραιες λύσεις.

Να βρεθεί το πλήθος

 Οι θετικοί πραγματικοί $\displaystyle{a_1,a_2,...,a_n}$ ικανοποιούν τις σχέσεις

$\displaystyle{a_1+a_2+...+a_n=96}$

$\displaystyle{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=144}$ και

$\displaystyle{a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=216}$

Να βρεθεί ο φυσικός αριθμός $n$.

Ανισότητα τριών μεταβλητών με γινόμενο τη μονάδα

 Έστω οι αριθμοί $a,b,c>0$ με $abc=1$. Να αποδείξετε ότι

$\dfrac{a^{2}+b^{2}}{(a+b)^{3}}+\dfrac{b^{2}+c^{2}}{(b+c)^{3}}+\dfrac{c^{2}+a^{2}}{(c+a)^{3}}\leq{\dfrac{ab+bc+ca}{4}}$

Ανισότητα με λογάριθμους από τη Ρουμανία

Αν $a,b \in \left( {0,1} \right)$ ν.δ.ο. ${\log _a}\left( {\dfrac{{2ab}}{{a + b}}} \right) + {\log _b}\left( {\dfrac{{2ab}}{{a + b}}} \right) \ge 2$ .

Ανισότητα με συνθήκη

Έστω $a,b,c>0$ με $\color{blue}\displaystyle{abc=\dfrac{9}{4}}$. Να αποδείξετε ότι 

                $\color{blue}\displaystyle{ a^3+b^3+c^3>a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}}$

Είναι αναγκαστικά ισοσκελές

Αν σε κάποιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 

                                          $\displaystyle\eta \mu^2 \frac{A}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{B}{3}=\eta \mu^2 \frac{B}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{A}{3}$,

 να αποδειχθεί ότι είναι ισοσκελές.

Μέγιστη τιμή παράστασης σε ορθογώνια τρίγωνα

 Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα, να βρεθούν εκείνα για τα οποία μεγιστοποιείται η τιμή της παράστασης 

$\displaystyle{K=\frac{c+h}{a+b}}$,

όπου $\displaystyle{a,b}$ οι κάθετες πλευρές, $\displaystyle{c}$ η υποτείνουσα και $\displaystyle{h}$ το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.

Σύστημα από την Κύπρο

Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα:

$\begin{cases} x^3+ x(y - z)^2 = 2 \\ y^3 + y(z - x)^2 = 30 \\ z^3 + z(x - y)^2 = 16 \end{cases}$

Στρατηγική σε πολυώνυμο

 Δύο παίκτες Α και Β παίζουν ένα παιγνίδι ως εξής:

Αρχίζει ο παίκτης Α δίνοντας σε μία από τις μεταβλητές $a,b,c$ μία πραγματική τιμή. 

Συνεχίζει ο παίκτης Β δίνοντας σε μία από τις δύο εναπομείνασες τιμές μία πραγματική τιμή. Τέλος ο παίκτης Α δίνει μία πραγματική τιμή για την τελευταία μεταβλητή.

Ο παίκτης Α κερδίζει αν το προκύπτον τριτοβάθμιο πολυώνυμο $x^3+ax^2+bx+c$ έχει τρεις πραγματικές ρίζες. Υπάρχει τρόπος ο παίκτης Α να κερδίσει ανεξάρτητα από την επιλογή του Β;

Δύο καθετότητες που οδηγούν σε μία τρίτη

Θεωρούμε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ, του οποίου οι γωνίες Α και Δ είναι ορθές. Ονομάζουμε Ο το μέσον της πλευράς ΑΔ. Η κάθετος από το Α στην ευθεία ΟΒ τέμνει την κάθετο από το Δ στην ευθεία ΟΓ σε ένα σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΟΕ είναι κάθετος στην ευθεία ΒΓ.

Ακέραιες λύσεις συστήματος

 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις του συστήματος

$\begin{cases}(x+1)(y+1)(z+1)^{2}=4(z+19)^{2}-99\\ (y+1)(z+1)(x+1)^{2}=4(x+19)^{2}-99\\ (z+1)(x+1)(y+1)^{2}=4(y+19)^{2}-99\end{cases}$

Ανισότητα με απόλυτα

 👉Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4, a_5$, με άθροισμα μηδέν, και τέτοιους ώστε $\displaystyle |a_i-a_j|\leq 1$ για κάθε $\displaystyle i,j \in \{ 1,2,3,4,5 \}$.

Να δείξετε ότι $\displaystyle a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2\leq \dfrac{6}{5}$. Είναι δυνατή η ισότητα;

Μέγιστη και ελάχιστη τιμή παράστασης με συνθήκη

Αν $x, y, z$ είναι αριθμοί στο διάστημα $[-2,4]$ ώστε $xy + yz + zx = 0$, να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης $Π = x + y + z$.

Αριθμός με 1973 ψηφία, άθροισμα ψηφίων 1973 που να είναι πολλαπλάσιο του 1973

Υπάρχει αριθμός με 1973 ψηφία ο οποίος να έχει άθροισμα ψηφίων 1973 και να είναι πολλαπλάσιο του 1973;

Κυκλικό σύστημα

 Να λυθεί το σύστημα:

$$\begin{cases} (x + y)^3 = z - 2x - y \\ (y + z)^3 = x - 2y - z \\ (z + x)^3 = y - 2z - x \end{cases}$$

στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

(Θαλής 2009)

Δύο ασκήσεις με πολυώνυμα

🙇Άσκηση 1

Υπάρχει πολυώνυμο $Π(x)$ με ακέραιους συντελεστές για το οποίο να ισχύει

$Π(1204)Π(1453)Π(1821)Π(1922)Π(1940)=2009$ ;


👶Άσκηση 2

Έστω πολυώνυμο $Π(x)$ με ακέραιους συντελεστές για το οποίο ισχύει

$Π(1204)Π(1453)Π(1821)Π(1922)Π(1940)=2009^5.$ Να αποδείξετε

ότι η εξίσωση $Π(x)=0$ δεν έχει ακέραιες ρίζες.

Σύνθεση συναρτήσεων

 Στο διάστημα [0,1] ορίζονται οι συναρτήσεις S(x)=1-x και Τ(x)=$\dfrac{x}{2}$. Υπάρχει συνάρτηση της μορφής $\displaystyle{f=g_{1}\circ g_{2} \circ ...\circ g_{n}}$ όπου οι συναρτήσεις $g_{k}$ είναι είτε η S είτε η Τ ώστε $f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1975}{2^{1975}}$; 

                                                                                                                                                                         (Πολωνία 1975)

Δεκαψήφιοι, πολλαπλάσια του 2009 με συγκεκριμένο άθροισμα ψηφίων!

Να βρείτε 10 δεκαψήφιους αριθμούς οι οποίοι να είναι όλοι τους πολλαπλάσια του 2009 ώστε:
α) ο πρώτος να έχει άθροισμα ψηφίων 20
β) ο δεύτερος να έχει άθροισμα ψηφίων 21
γ) ο τρίτος να έχει άθροισμα ψηφίων 22
δ) ο τέταρτος να έχει άθροισμα ψηφίων 23
ε) ο πέμπτος να έχει άθροισμα ψηφίων 24
στ) ο έκτος να έχει άθροισμα ψηφίων 25
ζ) ο έβδομος να έχει άθροισμα ψηφίων 26
η) ο όγδοος να έχει άθροισμα ψηφίων 27
θ) ο ένατος να έχει άθροισμα ψηφίων 28
ι) ο δέκατος να έχει άθροισμα ψηφίων 29

Ποσοστό στις βολές

 α) Ένας παίκτης του μπάσκετ είχε κάποια στιγμή ποσοστό επιτυχίας στις βολές, κάτω από $75$%. Αργότερα είχε ποσοστό  επιτυχίας πάνω από $75$%. Να αποδείξετε ότι κάποια στιγμή  είχε ποσοστό επιτυχίας ακριβώς $75$%.

β) Να δώσετε παράδειγμα κλάσματος $\dfrac {p}{q} $ από το $1$% μέχρι το $99$% από όπου να φαίνεται ότι στο α) δεν ισχύει το αντίστοιχο αν στην θέση του $75$% μπει τo $\dfrac {p}{q} $ . (Αν θέλετε παράδειγμα, δείξτε ότι δεν ισχύει το ίδιο για το $74$%)

γ) Bρείτε όλα τα κλάσματα  $\dfrac {p}{q} $ από το $1$% μέχρι το $99$% για τα οποία ισχύει το αντίστοιχο του α) αν στην θέση του $75$% μπει τo $\dfrac {p}{q} $ .

Τρία ισόπλευρα τρίγωνα με κοινή κορυφή

 Στο σχήμα τρία ισόπλευρα έχουν μία κοινή κορυφή. Να αποδείξετε ότι

$3(r+s+t)>2(a+b+c)$

Τετραψήφιος με δύο ιδιότητες

Βρείτε όλους τους τετραψήφιους αριθμούς $\overline{abcd}$ τέτοιους ώστε:

$$\overline{ab} + \overline{cd} = \sqrt{\overline{abcd}}$$
και
$$\overline{cd} - \overline{ab} = 5$$

                                                                                      (Σλοβακία 2025)

Πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές που λαμβάνει περιττές τιμές στο 0 και το 1

Έστω $P(x)$ πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές ώστε οι αριθμοί $P(0)$ και $P(1)$ να είναι και οι δυο περιττοί.
Δείξτε ότι το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα.