👉Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4, a_5$, με άθροισμα μηδέν, και τέτοιους ώστε $\displaystyle |a_i-a_j|\leq 1$ για κάθε $\displaystyle i,j \in \{ 1,2,3,4,5 \}$.
Να δείξετε ότι $\displaystyle a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2\leq \dfrac{6}{5}$. Είναι δυνατή η ισότητα;
Να λυθεί το σύστημα:
Στο διάστημα [0,1] ορίζονται οι συναρτήσεις S(x)=1-x και Τ(x)=$\dfrac{x}{2}$. Υπάρχει συνάρτηση της μορφής $\displaystyle{f=g_{1}\circ g_{2} \circ ...\circ g_{n}}$ όπου οι συναρτήσεις $g_{k}$ είναι είτε η S είτε η Τ ώστε $f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1975}{2^{1975}}$;
(Πολωνία 1975)
α) Ένας παίκτης του μπάσκετ είχε κάποια στιγμή ποσοστό επιτυχίας στις βολές, κάτω από $75$%. Αργότερα είχε ποσοστό επιτυχίας πάνω από $75$%. Να αποδείξετε ότι κάποια στιγμή είχε ποσοστό επιτυχίας ακριβώς $75$%.
β) Να δώσετε παράδειγμα κλάσματος $\dfrac {p}{q} $ από το $1$% μέχρι το $99$% από όπου να φαίνεται ότι στο α) δεν ισχύει το αντίστοιχο αν στην θέση του $75$% μπει τo $\dfrac {p}{q} $ . (Αν θέλετε παράδειγμα, δείξτε ότι δεν ισχύει το ίδιο για το $74$%)
γ) Bρείτε όλα τα κλάσματα $\dfrac {p}{q} $ από το $1$% μέχρι το $99$% για τα οποία ισχύει το αντίστοιχο του α) αν στην θέση του $75$% μπει τo $\dfrac {p}{q} $ .
Στο σχήμα τρία ισόπλευρα έχουν μία κοινή κορυφή. Να αποδείξετε ότι
$3(r+s+t)>2(a+b+c)$
Βρείτε όλους τους τετραψήφιους αριθμούς $\overline{abcd}$ τέτοιους ώστε:
Ένας φυσικός αριθμός που γράφεται με διαφορετικά μεταξύ τους ψηφία ονομάζεται «γραφικός», όταν κάθε εσωτερικό του ψηφίο διαιρεί τον διψήφιο αριθμό που σχηματίζεται από τα γειτονικά του ψηφία από αριστερά προς τα δεξιά. Για παράδειγμα, ο \(1324\) είναι γραφικός, επειδή το \(3\) διαιρεί το \(12\) (\(12 = 4 \times 3\)) και το \(2\) διαιρεί το \(34\) (\(34 = 17 \times 2\)).
Να γράψετε το πολυώνυμο $P(x)=(x+1)^7-x^7-1$
ως γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων παραγόντων.
👉Πρόβλημα 16, σελ. 4 από το βιβλίο Mathematical Problems And Puzzles from the Polish Mathematical Olympiads
Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς $a, b$ οι παραστάσεις $a^2 + b$ και $a + b^2$ έχουν την ίδια τιμή. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή που μπορεί να πάρει αυτή η παράσταση; (Patrik Bak)
Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο $P(x)=x^5-55x+21$ έχει δύο αντίστροφες ρίζες.
Τα 5 τετράπλευρα είναι τετράγωνα. Τα σημεία $Α, Β, E, H, I$ είναι συνευθειακά.
Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $KGN$ είναι ισεμβαδικό με το τετράγωνο $CEFG$.
Θεωρούμε τη συνάρτηση:
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το τρίγωνο $OAB$.
Το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο. Το σημείο $M$ είναι το μέσο της πλευράς $CD$. Το σημείο $N$ βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο $AC$, έτσι ώστε να ισχύει ο λόγος $AN : NC = 2 : 1$.
Δίνεται η εκθετική εξίσωση:
