Εμβαδόν τριγώνου

Σε ένα τρίγωνο $ABC$, το μήκος της πλευράς $AB$ είναι $12$ και ο εγγεγραμμένος κύκλος του $O$ έχει ακτίνα $4$. Έστω $D$ το σημείο επαφής του κύκλου $O$ με την πλευρά $AB$. Αν $AD : AB = 1 : 3$, βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$.

Τετράγωνο, ορθογώνιο και κύκλοι

 Ένα τετράγωνο είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο, και ένα ορθογώνιο είναι εγγεγραμμένο στο τετράγωνο. Ένας άλλος κύκλος είναι περιγεγραμμένος γύρω από το ορθογώνιο, και ένας μικρότερος κύκλος εφάπτεται σε τρεις πλευρές του ορθογωνίου, όπως φαίνεται παρακάτω. Το σκιασμένο εμβαδόν μεταξύ των δύο μεγαλύτερων κύκλων είναι οκταπλάσιο από το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου, ο οποίος είναι επίσης σκιασμένος. Τι κλάσμα του μεγαλύτερου κύκλου είναι σκιασμένο;

Πέντε τετράγωνα και ένα τρίγωνο ισεμβαδικό με ένα από τα τετράγωνα

 Τα 5 τετράπλευρα είναι τετράγωνα. Τα σημεία $Α, Β, E, H, I$ είναι συνευθειακά.

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $KGN$ είναι ισεμβαδικό με το τετράγωνο $CEFG$.

Λόγος εμβαδών σε κανονικό εξάγωνο

 Το $ABCDEF$ είναι κανονικό εξάγωνο. Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{(FGDE)}{(BGC)}.$