Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $Q(1)$ με το 1000

Ένα πολυώνυμο $Q(x)$ έχει ακέραιους συντελεστές και βαθμό μικρότερο ή ίσο του 2025. Κάθε όρος του πολυωνύμου $xQ(x) + Q(x)$ έχει συντελεστή μικρότερο ή ίσο του 2026. Επιπλέον, η τιμή $Q(1)$ είναι η μέγιστη δυνατή υπό αυτές τις συνθήκες. Ποιο θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $Q(1)$ με το 1000;

(Νορβηγία, 2026)

Πολυώνυμο βαθμού $n$ για το οποίο γνωρίζουμε $n+1$ τιμές του

 Έστω $P(x)$ ένα πολυώνυμο βαθμού $n$, τέτοιο ώστε για $k = 0, 1, 2, 3, \dots, n$ έχουμε

$$P(k) = \dfrac{k}{k + 1}$$

Να προσδιορίσετε την τιμή $P(n + 1)$. Eκφράστε την απάντησή σας συναρτήσει του $n$.

Δύο ασκήσεις με πολυώνυμα

🙇Άσκηση 1

Υπάρχει πολυώνυμο $Π(x)$ με ακέραιους συντελεστές για το οποίο να ισχύει

$Π(1204)Π(1453)Π(1821)Π(1922)Π(1940)=2009$ ;


👶Άσκηση 2

Έστω πολυώνυμο $Π(x)$ με ακέραιους συντελεστές για το οποίο ισχύει

$Π(1204)Π(1453)Π(1821)Π(1922)Π(1940)=2009^5.$ Να αποδείξετε

ότι η εξίσωση $Π(x)=0$ δεν έχει ακέραιες ρίζες.

Πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές που λαμβάνει περιττές τιμές στο 0 και το 1

Έστω $P(x)$ πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές ώστε οι αριθμοί $P(0)$ και $P(1)$ να είναι και οι δυο περιττοί.
Δείξτε ότι το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα.

Παραγοντοποίηση από την Πολωνία

 Να γράψετε το πολυώνυμο $P(x)=(x+1)^7-x^7-1$

ως γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων παραγόντων.

👉Πρόβλημα 16, σελ. 4 από το βιβλίο Mathematical Problems And Puzzles from the Polish Mathematical Olympiads

Πολυώνυμο 5ου βαθμού με δύο αντίστροφες ρίζες

 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο $P(x)=x^5-55x+21$ έχει δύο αντίστροφες ρίζες.

Πολυώνυμο με τον μικρότερο δυνατό βαθμό με συγκεκριμένες ιδιότητες

 Να βρείτε πολυώνυμο $P(x)$ με το μικρότερο δυνατό βαθμό το οποίο 

• έχει ακέραιους συντελεστές
• παραγοντοποιείται πλήρως σε γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων
• όλες του οι ρίζες είναι ακέραιοι αριθμοί
• $P(0)=-1$ 
• $P(3)=128$ 

Πέντε διαφορές δίνουν μία έκτη!

 Έστω πολυώνυμο 6ου βαθμού, για το οποίο ισχύουν 

$$f(7) − f(1) = 1$$ 

$$f(8) − f(2) = 16$$ 

$$f(9) − f(3) = 81$$ 

$$f(10) − f(4) = 256$$   και                               

$$f(11) − f(5) = 625$$.

Να υπολογιστεί η διαφορά  $f(15) − f(−3)$.

Σύστημα 2 εξισώσεων με 3 αγνώστους

Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα

$$(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-1$$

$$(x-2)(y-2)(z-2)=xyz-2$$