Συναρτησιακή εξίσωση από τις Φιλιππίνες

 Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(2xy) + f(f(x+y)) = xf(y) + yf(x) + f(x+y)$ για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$.

(Φιλιππίνες, 2019)

Συναρτησιακή εξίσωση

 Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση:

$$f \left( y^2 f(x) - f(xy) \right) = f(y^2) + 2 \left( x^2 - f(x) \right) (f(y) - 1) + 1$$

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$.

(Εσθονία, 2025)