Υπάρχουν τέτοιοι πργματικοί αριθμοί;

 Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $x, y$ και $z$ που να ικανοποιούν το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων;

$$\begin{cases} \frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} = 4 \\ \frac{z}{x+y} + \frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} = 1 \\ \frac{xy}{x+y} + \frac{yz}{y+z} + \frac{zx}{z+x} = -1 \end{cases}$$

(Νέα Ζηλανδία, 2026)

Κλασσική άσκηση

 Έστω ένας σταθερός κύκλος $(O, R)$. Θεωρούμε τρία ίσα τόξα $60^\circ$ σε τυχούσες θέσεις πάνω στον κύκλο αυτό. Αν $M_1$, $M_2$ και $M_3$ είναι τα μέσα των τριών χορδών που σχηματίζονται ανάμεσα στα τόξα αυτά, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο $M_1M_2M_3$ είναι πάντα ισόπλευρο.