Πρόβλημα αριθμητικής προόδου

 Έστω ότι η $\{a_n\}_{n \geq 1}$ είναι μια αριθμητική πρόοδος πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \cdots + a_{10} = 20,$

$a_1 + a_4 + a_9 + a_{16} + \cdots + a_{100} = 18.$

Υπολογίστε το άθροισμα $a_1 + a_8 + a_{27} + a_{64} + \cdots + a_{1000}$.

Συναρτησιακή εξίσωση από τις Φιλιππίνες

 Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(2xy) + f(f(x+y)) = xf(y) + yf(x) + f(x+y)$ για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$.

(Φιλιππίνες, 2019)

Σκακιστικό πρόβλημα

 Στο σκάκι, ένας πύργος μπορεί να μετακινηθεί κατά οποιονδήποτε αριθμό τετραγώνων μόνο είτε οριζόντια είτε κατακόρυφα. Με πόσους τρόπους μπορεί ένας πύργος, ξεκινώντας από την κάτω αριστερά γωνία μιας σκακιέρας \(8 \times 8\), να φτάσει στην πάνω δεξιά γωνία σε ακριβώς 4 κινήσεις; (Ο πύργος δεν πρέπει να βρεθεί στην πάνω δεξιά γωνία πριν από την 4η κίνηση.)

(Φιλιππίνες, 2023)

Συνάρτηση με ακέραιο μέρος

 Μια συνάρτηση $f : \mathbb{N} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{N} \cup \{0\}$ ορίζεται από τις σχέσεις $f(0) = 0$ και $f(n) = 1 + f(n - 3^{\lfloor \log_3 n \rfloor})$ για όλους τους ακέραιους $n \geq 1$. Βρείτε την τιμή του $f(10^4)$.

(Φιλιππίνες, 2023)