Διανύσματα (4)

Το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο. Το σημείο $M$ είναι το μέσο της πλευράς $CD$. Το σημείο $N$ βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο $AC$, έτσι ώστε να ισχύει ο λόγος $AN : NC = 2 : 1$.

Δίνονται τα διανύσματα:

• $\overrightarrow{AB} = 4\vec{a}$
• $\overrightarrow{AD} = 4\vec{b}$

α) Να εκφράσετε το διάνυσμα της διαγωνίου $\overrightarrow{AC}$ ως συνάρτηση των διανυσμάτων $\vec{a}$ και $\vec{b}$.

β) Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα $\overrightarrow{AN}$ ισούται με $\dfrac{8}{3}\vec{a} + \dfrac{8}{3}\vec{b}$.

γ) Να εκφράσετε τα διανύσματα $\overrightarrow{BN}$ και $\overrightarrow{BM}$ ως γραμμικό συνδυασμό των $\vec{a}$ και $\vec{b}$.

δ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία $B$, $N$ και $M$ βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Διανύσματα (3)

 

Στο παρακάτω σχήμα, οι ευθείες $OC$ και $AD$ τέμνονται στο $P$..

Δίνονται τα διανύσματα:

• $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$
• $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$

καθώς και οι λόγοι των τμημάτων:

• $OD : DB = 1 : 2$
• $AC : CB = 3 : 1$

Να υπολογίσετε τον λόγο $OP : PC$.

---

Διανύσματα (2)

 

Το $OABC$ είναι παραλληλόγραμμο.

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ και $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$

Το $X$ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $AC$.
Το $D$ είναι στην προέκταση του $OC$ από τη μεριά του $C$ έτσι ώστε $\overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{CD}$

Δίνεται ότι $\overrightarrow{XD} = 3\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a}$

βρείτε την τιμή του $k$.

---

Εισαγωγή στα διανύσματα (1)

Το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο.
Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου τέμνονται στο $O$.
$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ και $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$

• (a) Βρείτε, συναρτήσει του $\vec{b}$, το διάνυσμα $\overrightarrow{DB}$.
• (b) Βρείτε, συναρτήσει των $\vec{a}$ και $\vec{b}$, το διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$.
• (c) Βρείτε, συναρτήσει των $\vec{a}$ και $\vec{b}$, το διάνυσμα $\overrightarrow{AD}$.