Σημείο Fermat-Torricelli (ή και σημείο Steiner) και το Θεώρημα του Ναπολέοντα

 Θεωρούμε τρίγωνο $AB\Gamma$ και προς το μέρος των πλευρών $B\Gamma$, $\Gamma A$, $AB$ προς το οποίο δεν κείνται τα $A$, $B$, $\Gamma$ αντιστοίχως, τα ισόπλευρα τρίγωνα $B\Gamma A'$, $\Gamma AB'$, $AB\Gamma'$. Να αποδείξετε ότι:

• (α) Τα ευθύγραμμα τμήματα $AA'$, $BB'$, $\Gamma\Gamma'$ είναι ίσα.
• (β) Οι ευθείες $AA'$, $BB'$, $\Gamma\Gamma'$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $S$.
• (γ) Τα κέντρα $K_1$, $K_2$, $K_3$ των ισόπλευρων τριγώνων $B\Gamma A'$, $\Gamma AB'$, $AB\Gamma'$ αντιστοίχως, είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου.
• (δ) Αν η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου $AB\Gamma$ είναι μικρότερη των $120^\circ$, τότε το $S$ είναι εσωτερικό του $AB\Gamma$ και οι γωνίες $B\hat{S}\Gamma$, $\Gamma\hat{S}A$, $A\hat{S}B$ είναι ίσες προς $120^\circ$ η καθεμία.