Μπορεί άραγε κάτι που έχει να κάνει με τα Μαθηματικά να έχει ταυτόχρονα γλύκα;
Μπορούμε να κάνουμε Μαθηματικά και να χαιρόμαστε συγχρόνως;
Μπορεί το παίδεμα για να λύσουμε ένα δύσκολο πρόβλημα να είναι συναρπαστικό;
Η προσπάθεια που γίνεται εδώ, φιλοδοξεί να αποδείξει ότι οι απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα μπορούν να είναι ΝΑΙ!
Μπορείτε να στέλνετε τις λύσεις σας, τις ερωτήσεις, τις παρατηρήσεις σας και δικά σας προβλήματα στη διεύθυνση mathsweets@gmail.com
Ορίζουμε την συνάρτηση $f(x)=(\frac{x^2+1}{x})^2$ τότε ισχυεί: $f''(x)=\frac{2a^4+6}{a^4}>0$ και άρα η f είναι κυρτή στο R και ειδικότερα στο (0,1) που μας ενδιαφέρει . Αφού πληρεί όλες τις προϋποθέσεις εφαρμόζουμε ανισότητα jensen και άρα $f(a)+f(b)\ge 2f(\frac{a+b}{2})=2f(\frac{1}{2})=\frac{25}{2}$ όπως θέλαμε
Ορίζουμε την συνάρτηση $f(x)=(\frac{x^2+1}{x})^2$ τότε ισχυεί: $f''(x)=\frac{2a^4+6}{a^4}>0$
ΑπάντησηΔιαγραφήκαι άρα η f είναι κυρτή στο R και ειδικότερα στο (0,1) που μας ενδιαφέρει . Αφού πληρεί όλες τις προϋποθέσεις εφαρμόζουμε ανισότητα jensen και άρα
$f(a)+f(b)\ge 2f(\frac{a+b}{2})=2f(\frac{1}{2})=\frac{25}{2}$ όπως θέλαμε