Μπορεί άραγε κάτι που έχει να κάνει με τα Μαθηματικά να έχει ταυτόχρονα γλύκα;
Μπορούμε να κάνουμε Μαθηματικά και να χαιρόμαστε συγχρόνως;
Μπορεί το παίδεμα για να λύσουμε ένα δύσκολο πρόβλημα να είναι συναρπαστικό;
Η προσπάθεια που γίνεται εδώ, φιλοδοξεί να αποδείξει ότι οι απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα μπορούν να είναι ΝΑΙ!
Μπορείτε να στέλνετε τις λύσεις σας, τις ερωτήσεις, τις παρατηρήσεις σας και δικά σας προβλήματα στη διεύθυνση mathsweets@gmail.com
πολλαπλασιάζοντας τις ανισότητες κατά μέλη λαμβάνουμε $ P=(a^3b+3)(b^3c+3)(c^3a+3)\le 64abc$.Όμως από την ανισότητα αριθμητικού μέσου - γεωμετρικού μέσου λαμβάνουμε ότι $x^3y + 3 = x^3y + 1 + 1 + 1\ge 4\cdot\sqrt[4]{x^3y}\text{ για κάθε } x,y\in\mathbb{R^+}$ και άρα από την κυκλική συμμετρία της ανισότητας λαμβάνουμε $ P\ge (4\sqrt[4]{a^3b})(4\sqrt[4]{b^3c})(4\sqrt[4]{c^3a})=64\sqrt[4]{a^4b^4c^4}=64abc$ και άρα αναγκαστικά πρέπει να ισχύει η ισότητα σε καθένα από τα γινόμενα $\implies a^3b=1\text{ και } b^3c=1\text{ και } c^3a =1 \implies a=b=c=1\text{ μόνη λύση}$
πολλαπλασιάζοντας τις ανισότητες κατά μέλη λαμβάνουμε $ P=(a^3b+3)(b^3c+3)(c^3a+3)\le 64abc$.Όμως από την ανισότητα αριθμητικού μέσου - γεωμετρικού μέσου λαμβάνουμε ότι $x^3y + 3 = x^3y + 1 + 1 + 1\ge 4\cdot\sqrt[4]{x^3y}\text{ για κάθε } x,y\in\mathbb{R^+}$
ΑπάντησηΔιαγραφήκαι άρα από την κυκλική συμμετρία της ανισότητας λαμβάνουμε $ P\ge (4\sqrt[4]{a^3b})(4\sqrt[4]{b^3c})(4\sqrt[4]{c^3a})=64\sqrt[4]{a^4b^4c^4}=64abc$ και άρα αναγκαστικά πρέπει να ισχύει η ισότητα σε καθένα από τα γινόμενα $\implies a^3b=1\text{ και } b^3c=1\text{ και } c^3a =1 \implies a=b=c=1\text{ μόνη λύση}$