Μετασχηματισμοί της βασικής ανισότητας $α^2+β^2\geq2αβ$

 Aν $α,β$ είναι δύο τυχαίοι θετικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι:

① $2(α^2+β^2)\geq(α+β)^2$

② $(a+\beta)^2\geq 4a\beta$

③ $\dfrac{a}{\beta}+\dfrac{\beta}{a}\geq 2$

④ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\beta}\geq \dfrac{4}{a+\beta}$

⑤ $α+β \geq 2 \sqrt {αβ}$

⑥ $\dfrac{a^2+\beta^2}{a+\beta}\geq \dfrac{a+\beta}{2}$