Ασκήσεις στα πολυώνυμα (17η έως 19η)

        (17η)

Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού, το οποίο διαιρείται με το πολυώνυμο $x^2+ 1$, έχει ρίζα το 0 και του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2.

α. Να αποδείξετε ότι $P(x)=x^3+x.$

β. Να λύσετε την ανίσωση: $\displaystyle{(P(x)-2)^3+(P(x)-2)^2+P(x)>2.}$

       (18η)

Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=x^4-8x^3+(5\alpha-1)x^2+8x-3\alpha-6,$ όπου $\alpha \in \mathbb R.$

α. Να κάνετε τη διαίρεση του $P(x)$ διά του $x^2-1$ και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα.

β. Να βρείτε την τιμή του $\alpha$ ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια.

γ. Για $\alpha=3,$ να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης $P(x)=0$ καθώς και τα διαστήματα στα

   οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης $P(x)$ είναι κάτω από τον

   άξονα $x'x$.

        (19η)

Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=kx^3-(k+\lambda)x^2+\lambda x+1.$

α. Αν $P(-\dfrac{1}{2})=7$ και $P(-1)=23,$ να αποδείξετε ότι $k=-6$ και $\lambda=-5.$

β. Να γίνει η διαίρεση του $P(x),$ για $k=-6$ και $\lambda=-5,$ με το πολυώνυμο $2x+1$

    και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης αυτής.

γ. Να λυθεί η ανίσωση $P(x)>7$ για $k=-6$ και $\lambda=-5.$