Ύπαρξη και μοναδικότητα

 Ας είναι $\displaystyle{f:[0,1]\to [0,1]}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση, με $\displaystyle{|f'(x)|\ne 1}$ για κάθε $\displaystyle{x\in [0,1].}$

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικά $\displaystyle{a,b\in [0,1]}$ ώστε να ισχύει $\displaystyle{f(a)=a}$ και $\displaystyle{f(b)=1-b.}$