Μήκος τμήματος σε παραλληλόγραμμο

 

Τμήμα σε ορθογώνιο με εξωτερικό σημείο

 

Γωνία σε σχήμα με τρίγωνο με δύο πλευρές του διαμέτρους κύκλων

 

Υπολογισμός απόστασης πλευρών παραλληλογράμμου

 

Εκθετική εξίσωση με δύο αγνώστους

 Να λυθεί η εξίσωση $16^{x^2+y}+16^{y^2+x}=1$.

Υπολογισμός γωνίας σε τρίγωνο με διάμεσο

 

Ύψος σε ισοσκελές τρίγωνο

Ορθογώνιο τρίγωνο και ισόπλευρο

 

Τμήμα σε παραλληλόγραμμο

 

Ερωτήσεις κατανόησης στη διαίρεση πολυωνύμων

 

Ασκήσεις στα πολυώνυμα (17η έως 19η)

        (17η)

Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού, το οποίο διαιρείται με το πολυώνυμο $x^2+ 1$, έχει ρίζα το 0 και του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2.

α. Να αποδείξετε ότι $P(x)=x^3+x.$

β. Να λύσετε την ανίσωση: $\displaystyle{(P(x)-2)^3+(P(x)-2)^2+P(x)>2.}$

       (18η)

Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=x^4-8x^3+(5\alpha-1)x^2+8x-3\alpha-6,$ όπου $\alpha \in \mathbb R.$

α. Να κάνετε τη διαίρεση του $P(x)$ διά του $x^2-1$ και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα.

β. Να βρείτε την τιμή του $\alpha$ ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια.

γ. Για $\alpha=3,$ να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης $P(x)=0$ καθώς και τα διαστήματα στα

   οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης $P(x)$ είναι κάτω από τον

   άξονα $x'x$.

        (19η)

Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=kx^3-(k+\lambda)x^2+\lambda x+1.$

α. Αν $P(-\dfrac{1}{2})=7$ και $P(-1)=23,$ να αποδείξετε ότι $k=-6$ και $\lambda=-5.$

β. Να γίνει η διαίρεση του $P(x),$ για $k=-6$ και $\lambda=-5,$ με το πολυώνυμο $2x+1$

    και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης αυτής.

γ. Να λυθεί η ανίσωση $P(x)>7$ για $k=-6$ και $\lambda=-5.$

 

Ασκήσεις στα πολυώνυμα (11η έως 16η)

 

Ασκήσεις στα πολυώνυμα (4η έως 10η)

 

Tρεις ασκήσεις στα πολυώνυμα

 

Κλασματική εξίσωση με σύντομη λύση

Να λύσετε την εξίσωση 

$\dfrac{x-10}{x-2}+\dfrac{x-9}{x-3}+\dfrac{x-8}{x-4}+\dfrac{x-7}{x-5}=-4.$ 

Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση;

 Έστω $α,β,γ$ τρεις διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί. Βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση 

$\alpha ^2\dfrac{(x-\beta )(x-\gamma )}{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )}+\beta ^2\dfrac{(x-\alpha )(x-\gamma )}{(\beta -\alpha )(\beta -\gamma )} +\gamma ^2\dfrac{(x-\alpha )(x-\beta )}{(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )}-x^2=0.$

Υπόλοιπο διαίρεσης πολυωνύμων

 Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $x^{2020}-x$ με το $x^2-1;$

Τέλεια διαίρεση πολυωνύμων