Με αφορμή την άσκηση 22510 της τράπεζας θεμάτων

Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα της τράπεζας θεμάτων είναι το παρακάτω:

Θέμα 22510

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο. Θεωρούμε τις διαμέτρους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. Να αποδείξετε ότι:

α) (ΑΟΒ) = (ΒΟΔ) και (ΑΟΓ) = (ΔΟΓ)                                                    

β) (ΒΔΓ) = (ΑΟΒ) + (ΑΟΓ) – (ΒΟΓ)                                                        

γ) (ΑΖΒΔΓΕ) = 2(ΑΒΓ)                                                                           

Τρία επιπλέον ερωτήματα:

1) Να αποδείξετε ότι $ασυν(Β-Γ)+βσυν(Γ-Α)+γσυν(Α-Β)=\dfrac{4(ΑΒΓ)}{R}$

2) Ισχύει το παραπάνω συμπέρασμα για μη οξυγώνια τρίγωνα;

3) Να αποδείξετε ότι $R\geq 2ρ.$