Πέντε διαδοχικοί άρτιοι

Βρείτε 5 διαδοχικούς άρτιους (ζυγούς) αριθμούς με άθροισμα 320.

Ποσοστά γραμμοσκιασμένων περιοχών

Σε καθένα από τα διπλανά σχήματα να βρείτε το ποσοστό της γραμμοσκιασμένης περιοχής.

Γλυκιά ιστορία!

 

Μια ιστορία από το κοντινό μας μέλλον:

Έχω 20 γλυκά για να κεράσω την τάξη. Διαπιστώνω ότι είναι τα 5/7 αυτών που χρειάζομαι για να πάρουν όλα τα παιδιά από ένα γλυκό. Πόσα γλυκά μού λείπουν;

Δίπλωση τετραγώνου

Έχουμε ένα τετράγωνο χαρτί. Το διπλώνουμε στη μέση κατά μήκους μιας κατακόρυφης ευθειας.
Κατόπιν με ένα ψαλίδι το κόβουμε σε δύο ίσα ορθογώνια. Βρείτε το λόγο (δηλαδή το πηλίκο) της περιμέτρου του ενός από τα ορθογώνια προς την περίμετρο του αρχικού τετραγώνου.

Τρίγωνο σε μιλιμετρέ χαρτί

Το διπλανό τρίγωνο είναι σχεδιασμένο σε μιλιμετρέ χαρτί όπου κάθε τετραγωνάκι του έχει πλευρά 1 cm. Ποια από τις παρακάτω  προτάσεις είναι λαθασμένη;
Α. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Β. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
Γ.  Η περίμετρός του είναι 24 cm.
Δ. Το εμβαδόν του είναι 16 τετραγωνικά εκατοστά.

Συμπλήρωση πινάκων (1)

Συμπληρώστε τους παρακάτω πίνακες πρόσθεσης και αφαίρεσης. Για τον πίνακα της αφαίρεσης διευκρινίζεται ότι οι αριθμοί στο πλάι αφαιρούνται από τους αριθμούς που βρίσκονται επάνω.

Πίνακας τιμών συνάρτησης

Παρακάτω βλέπουμε τον πίνακα τιμών κάποιας συνάρτησης. Υπάρχει κάποιο κρυμμένο μοτίβο.

(α) Να βρείτε ποιος αριθμός πρέπει να μπει στη θέση του ερωτηματικού.

(β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.

Τετραγωνική ρίζα του 10

Ποιο από τα σημεία P, Q, R, S είναι η θέση του αριθμού √10  πάνω στην ευθεία των αριθμών;

Γραφική παράσταση (2)

  

Η παραπάνω γραφική παράσταση δείχνει πόσα χιλιοστά μεγαλώνουν τα μαλλιά σε σχέση με το χρόνο. Ο χρόνος μετριέται σε ημέρες.

α) Πόσο θα μεγαλώσουν τα μαλλιά σε 30 ημέρες;

β) Σε πόσες μέρες θα μεγαλώσουν τα μαλλιά κατά 5 mm;

γ) Αν x είναι ο χρόνος σε ημέρες και y η αύξηση του μήκους των μαλλιών σε mm, βρείτε τον τύπο της συνάρτησης που συνδέει το x και το y. 

Γραφική παράσταση συνάρτησης (1)

To ύψος του νερού σε κάποια παραλία αυξομειώνεται λόγω της παλίρροιας. Το ύψος μετρήθηκε από τις 6 το πρωί κάποιας ημέρας έως τις 12 το βράδυ και έτσι προέκυψε η παρακάτω γραφική παράσταση:

α) Ποιο είναι το βάθος του νερού στις 6 π.μ.;
β) Ποια στιγμή της ημέρας έχουμε το μεγαλύτερο βάθος;
γ) Ποια στιγμή της ημέρας έχουμε το μικρότερο βάθος;
δ) Ποιες στιγμές της ημέρας το βάθος του νερού είναι 2,2 m;

Ισόπλευρο και ορθογώνιο!

Το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο. Βρείτε τη γωνία x.

Ζυγαριά

Η παραπάνω ζυγαριά ισορροπεί. Βρείτε το x.

Εμβαδά (1)

Στο παρακάτω σχήμα το μεγάλο ορθογώνιο έχει χωριστεί σε 3 ορθογώνια και ένα τετράγωνο. Το τετράγωνο έχει εμβαδόν 16 τετραγωνικά μέτρα.  

(α) Βρείτε τα μήκη  x και y. 

(β) Βρείτε το εμβαδόν του τέταρτου ορθογωνίου.                                                       

Να εκτελέσετε τις πράξεις (7)

Δίνονται οι παραστάσεις





(α) Για ποιες τιμές του x έχει νόημα η παράσταση Α;

(β) Για ποιες τιμές του x έχει νόημα η παράσταση Β;

(γ) Να αποδείξετε ότι

                                          

(δ) Να αποδείξετε ότι

                                       

Εννέα προβλήματα με ηλικίες

❶ Η ηλικία ενός πατέρα είναι τεραπλάσια της ηλικίας του γιου του. Σε 24 χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι διπλάσια της ηλικίας του γιού. Βρείτε τις σημερινές τους ηλικίες.

➋ Η ηλικία του Βασίλη είναι το ένα έκτο της ηλικίας του Αντώνη. Σε 15 χρόνια η ηλικία του Βασίλη θα είναι το ένα τρίτο της ηλικίας του Αντώνη. Βρείτε τις σημερινές ηλικίες τους.

➌ Το άθροισμα των ηλικιών των Αλέξανδρου και του Γρηγόρη είναι 30 έτη. Σε 5 έτη η ηλικία του Γρηγόρη θα είναι το ένα τρίτο του Αλέξανδρου. Βρείτε τις σημερινές ηλικίες τους.

➍ Ένας πατέρας είναι 35 ετών και ο γιος του είναι 8 ετών. Σε πόσα χρόνια θα έχει ο γιος τη μισή ηλικία του πατέρα;

➎ Ο Αριστοτέλης είναι 60 ετών και ο Παύλος  είναι 40 ετών. Πριν από πόσα χρόνια η ηλικία του Παύλου ήταν το ένα πέμπτο της ηλικίας του Αριστοτέλη;

❻  Η ηλικία ενός γιου είναι το ένα τρίτο της ηλικίας του πατέρα του. Τέσσερα χρόνια πριν η ηλικία του γιου ήταν μόλις το ένα τέταρτο της ηλικίας του πατέρας του. Ποιες είναι οι σημερινές τους ηλικίες;

➐  Ο Πυθαγόρας είναι 50 ετών και ο Θαλής είναι 25 ετών. Σε πόσα χρόνια ο Θαλής θα έχει ηλικία ίση με τα δύο τρίτα της ηλικίας του Πυθαγόρα;

❽  Η Βασιλική έχει τη μισή ηλικία της Αλίκης. Πριν από δέκα χρόνια είχε το ένα τέταρτο της ηλικίας της Αλίκης. Ποιες είναι οι σημερινές τους ηλικίες;

➒  Το άθροισμα των ηλικιών ενός πατέρα και του γιου του είναι 80 χρόνια. Μετά από 5 χρόνια η ηλικία του γιου θα είναι το ένα τέταρτο της ηλικίας του πατέρα. Βρείτε τις σημερινές τους ηλικίες.

Τέσσερα προβλήματα με ευκλείδεια διαίρεση

 ⓵ Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 100 και αν o μεγαλύτερος διαιρεθεί με το μικρότερο αριθμό, το πηλίκο είναι 4 και το υπόλοιπο 5. Βρείτε τους αριθμούς.

 ⓶ Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 124 και ο μεγαλύτερος διαιρούμενος με τον μικρότερο αριθμό δίνει πηλίκο 4 και υπόλοιπο  4. Βρείτε τους αριθμούς. 

⓷ Η διαφορά δύο αριθμών είναι 49. Αν διαιρέσουμε τον μεγαλύτερο με τον μικρότερο, το πηλίκο είναι 4 και το υπόλοιπο 4. Βρείτε τους αριθμούς. 

⓸ Η διαφορά δύο αριθμών είναι 91. Αν διαιρέσουμε τον μεγαλύτερο με τον μικρότερο, το πηλίκο είναι 8 και το υπόλοιπο 7. Βρείτε τους αριθμούς. 

⓹ Χωρίστε το 320 σε δύο άνισα μέρη έτσι ώστε αν διαιρέσουμε τον μεγαλύτερο με τον μικρότερο, το πηλίκο να είναι 11 και το υπόλοιπο 20. 

Προβλήματα με άγνωστο αριθμό

① Αν αφαιρέσουμε το ένα έβδομο ενός άγνωστου αριθμού από το ένα πέμπτο του ίδιου αριθμού, βρίσκουμε 2. Μπορείτε να βρείτε τον άγνωστο αριθμό;

② Αν προσθέσουμε το ένα πέμπτο ενός αριθμού με το ένα έβδομο του ίδιου αριθμού και στο άθροισμα προσθέσουμε άλλα 11, βρίσκουμε το μισό του αριθμού. Βρείτε τον άγνωστο αριθμό.

③ Το άθροισμα του ενός τρίτου ενός αριθμού και του ενός έκτου του ίδιου αριθμού ισούται με τη διαφορά του ενός δωδεκάτου του αριθμού από το ένα ένατο του αριθμού αυξημένη κατά 17. Βρείτε τον άγνωστο αριθμό.

Υπόδειξη: Λύνονται και με πρακτική αριθμητική και με εξίσωση. Δοκιμάστε και με τους δύο τρόπους.

Πρόβλημα με διαδοχικούς αριθμούς

Βρείτε δύο διαδοχικούς αριθμούς αν γνωρίζετε ότι το μισό του μεγαλύτερου ξεπερνά το ένα τρίτο του μικρότερου κατά 10.

Υπόδειξη: Εξίσωση...

Κλασματικές εξισώσεις α' βαθμού (1)

                    Να λύσετε και κατόπιν να επαληθεύσετε τις εξισώσεις:

Bασικές εξισώσεις α' βαθμού (1)

         Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις και κατόπιν να επαληθεύσετε τις λύσεις που θα βρείτε:

Nα εκτελέσετε τις πράξεις (6)

Να απλοποιήσετε τα κλάσματα:

Να εκτελέσετε τις πράξεις (5)

Να εκτελέσετε τις πράξεις:

Να εκτελέσετε τις πράξεις (4)

                                               Να εκτελέσετε τις πράξεις:

      

Να εκτελέσετε τις πράξεις (3)

Να εκτελέσετε τις πράξεις:

Aπλοποίηση κλασμάτων (2)

Να απλοποιήσετε τα κλάσματα:

Να εκτελέσετε τις πράξεις (2)

Αφαίρεση ρητών αριθμών

Θυμάμαι ότι η αφαίρεση είναι η πρόσθεση του αντιθέτου.

π.χ.  (+3) - (+7) = (+3) + (-7) = -4

1.  Να υπολογίσετε τις διαφορές:
      α.   (+10) - (+8)         β.   (-12) - (-22)          γ.   (+7) - (+11)         δ.   (-5) - (-15)

      ε.    (+9) - (+9)         στ.  (-1) - (+1)              ζ.   (+2) - (-2)            η.   1 - (-2)

2.   Να υπολογίσετε τις διαφορές:
      α.  (+3,17) - (+5,2)             β.  (-3,1) - (-1,7)          γ.   (- ½ ) - (- ⅚)          δ.  (- ⅐) - (+ ⅜)

3.  Να κάνετε τις πράξεις:
     α. (-2) - (+4) - (-8)            β.  (+5) - (-8) + (-4) - (+6)          γ.     (-13) + (-4) - (-8) - (+6)

4.  Να κάνετε τις πράξεις:
     α.  (+12) - (+3,5) - (-6,5) + (-2)     β.  (-2,2) - (-2) + (-4,2)      γ.   (-3) - (+2,17) + (-2,5)

5. Να κάνετε τις πράξεις:
    α.  10 - (+16) - (-4)         β.   -24 - (-6) + 2     γ.  -6 + (-12) - (-10) - 7     δ.  1 - 8 - (-60) + (-8)

6.  Να κάνετε τις πράξεις:
     α.  (-3) + (-4) - (+7) - (-12)      β.  5 - (-8) + (-4) - (+6) + (+3)              γ.  -2 + (-6) + 3 - (-7)

7. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά με + ή με - :
    α.  (+3)...(-7)...(+5)...(-1) = 2   
    β.  (+3)...(-7)...(+5)...(-1) = 4
    γ.  (+3)...(-7)...(+5)...(-1) = - 8
    δ.  (+3)...(-7)...(+5)...(-1) =  6

8.  Αν α = +2,  β = -3,  γ = -6  και  δ = -5,  να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:
     α.  Α = - α + β - γ - δ      β.   Β = α - β + γ - δ     γ.   Γ = α - β + γ - δ

9.  Να λύσετε τις εξισώσεις:
     α.  x + (-3) = -5         β.  x + 7 = 4           γ.   x - (+3) = -7            δ.  x - 3 = -10 
 
     ε.  5 - x = 7               στ.  13 - x = 18       ζ.   10 - x = -10            η.   -1 - x = -3


Περιμένω τις λύσεις σας στη διεύθυνση mathsweets@gmail.com.
Eπίσης, να επισημάνω ότι έχω ενεργοποιήσει τα σχόλια κάτω από τις δημοσιεύσεις για να μπορείτε να στέλνετε τους χαιρετισμούς σας, τα σχόλιά σας, τις ερωτήσεις σας.
Υπομονή, παιδιά. Να είστε καλά εσείς και οι δικοί σας.

Παύλος Μαραγκουδάκης

Να εκτελεστούν οι πράξεις (1)

Να απλοποιηθούν τα κλάσματα (1)

Αγαπητοί μαθητές του Γ1 και του Γ4 γεια σας!Εύχομαι να είστε καλά εσείς και οι δικοί σας.Ενεργοποιήθηκαν τα σχόλια, για να μπορείτε να σχολιάζετε, να χαιρετάτε, να ρωτάτε.Στείλτε μου τις λύσεις σας με mail στη διεύθυνση mathsweets@gmail.com

Πρόσθεση ρητών αριθμών για το Α1!

Γεια σας παιδιά! Εύχομαι από καρδιάς να είστε καλά, εσείς και οι δικοί σας!

Μένουμε σπίτι κάνοντας δημιουργικά πράγματα! Σας προτείνω να λύσετε τις ακόλουθες ασκήσεις:

1. Να συμπληρώσετε τα κενά:

    α. (......) + (+3) = +10               β.  (......) + (+7) = +2             γ.  (......) + (+2) = -2

    

    δ. (-7) + (......) = -3                   ε.  (-11) + (......) = -3            στ.  (-5) + (.......) = -17

2. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα:

    α.  (+6) + (+3) + (-7)                  β.  (-4) + (-6) + (+10)                  γ. (+2) + (-12) + (+2)

    δ.  (-1) + (-2) + (+1) + (+2)        ε.  (-12) + (+3) + (-1) + (+7)      στ. (-113) + (+67) + (-68)+ (+112)

3.  Να τοποθετήσετε στις τελείες τα κατάλληλα πρόσημα:

     

     α. (· 5) + (· 4) + (· 3) + (· 2) = -2

     β.  (· 5) + (· 4) + (· 3) + (· 2) = +8

     γ.   (· 5) + (· 4) + (· 3) + (· 2) = 0

     δ.   (· 5) + (· 4) + (· 3) + (· 2) = -10

     ε.   (· 5) + (· 4) + (· 3) + (· 2) = 10

    στ.  (· 5) + (· 4) + (· 3) + (· 2) = -4

     ζ.   (· 5) + (· 4) + (· 3) + (· 2) = -14

4.  Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα, αφού πρώτα κάνετε απαλοιφή των παρενθέσεων:

     

      α. (+4) + (-6)    β.  (-6) + (+5)    γ.  (-6) + (-13)   δ.  (-7) + (+27)    ε. (-73) + (-67)

5.  Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα:

     α.  10 - 16      β.  -8 + 4      γ.  19 - 9     δ.  - 2 - 10      ε.  - 17 + 17      στ.  20 - 45

6.  Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα, αφού πρώτα κάνετε απαλοιφή των παρενθέσεων:

     α.  (-5) + (+8) + (-10) + (+3)   β. -5 + (-10) + (-3) + (+5)   γ. 7+ (-9) + (+4) +( -7) + (+10)

     δ.   (-5) - 5 + (-5) + (-1) + (-11) + (+27) + (-1)   ε.  1 + (+1) - 1 + (- 10) + (+100) + (+10)

7.  Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα:

     α.  - 6 + 7 -10 + 13 - 1      β.  - 1 - 1 - 1 + 3 - 5 + 2      γ. - 2 + 5 - 3 - 2 + 10 + 1 - 4

8.  Αν  α = + 3,  β = -2  και  γ = -5, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

                                            Α = α + β + γ.

9.  Αν  α = 10 - 12,   β = - 6 + 3  και  γ = 3 - 8 + 1. να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

                                           Α = α + β + γ.

Εξάγωνο με όλες του τις γωνίες ίσες!

Το παρακάτω εξάγωνο έχει όλες του τις γωνίες ίσες. Ακόμη, γνωρίζουμε τα μήκη τεσσάρων πλευρών του, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να βρείτε τα μήκη των δύο άλλων πλευρών του.

Απόσταση παραλλήλων ευθειών!

Δίνονται τα σημεία Α(0,3), Β(4,0), Γ(8,0) και Δ(0,6). 

 ι)  Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών και να αποδείξετε ότι είναι παράλληλες.

ιι)  Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ.

ιιι) Να υπολογίσετε την απόσταση των ευθειών

21 κύκλοι και 2 παράλληλες ευθείες! (ΙΙ)

Βάφουμε μπλε τους 21 κύκλους ακτίνας 1 cm του παρακάτω σχήματος.

      

Να υπολογίσετε το εμβαδόν των λευκών περιοχών που μένουν ανάμεσα στους κύκλους.
Κατόπιν υπολογίστε και το εμβαδόν των 5 λευκών περιοχών που σχηματίζονται από τους 6 κύκλους της βάσης και της ευθείας που εφάπτεται σε αυτούς.

21 κύκλοι και 2 παράλληλες ευθείες! (Ι)

Οι κύκλοι του παρακάτω σχήματος έχουν ακτίνα 1 cm. Οι ευθείες είναι παράλληλες. Να υπολογίσετε την απόσταση h των ευθειών.

8 κύκλοι σε ορθογώνιο!

Το μικρό τετράπλευρο είναι τετράγωνο πλευράς 2 και όλες του οι πλευρές έχουν προεκταθεί κατά 2. Όλοι οι κύκλοι έχουν ακτίνα 1. Οι τέσσερις γωνιακοί κύκλοι εφάπτονται ο καθένας σε δύο πλευρές του ορθογωνίου.

α) Βρείτε το εμβαδόν της κόκκινης περιοχής.
β) Βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου.
γ) Βρείτε το εμβαδόν κάθε μίας από τις δέκα πράσινες περιοχές.

            

Υπολογισμός μήκους και εμβαδού!

Να υπολογιστούν οι γωνίες ω και φ!

Να υπολογιστούν οι γωνίες ω και φ!

Υπολογισμός μηκών και εμβαδών σε κύκλο!

Κανονικά πολύγωνα!

Στο διπλανό σχήμα βλέπετε ένα κανονικό εξάγωνο πλευράς 2 cm, ένα τετράγωνο και ακόμα ένα κανονικό πολύγωνο. (Για την ακρίβεια βλέπετε ένα μέρος του κανονικού πολυγώνου!)
α) Να βρείτε το πλήθος των πλευρών του κανονικού πολυγώνου.
β) Αποδείξτε ότι το Δ είναι το κέντρο του κύκλου, ο οποίος διέρχεται από τα σημεία A,B,Γ και βρείτε το μήκος του.
γ) Υπολογίστε τη γωνία ∠ΑΜ̂Β.

          

Eμβαδόν χωρίου που σχηματίζουν τέσσερα ημικύκλια μέσα σε τετράγωνο!

Το τετράγωνο έχει πλευρά 1 cm. Γράφουμε τα τέσσερα ημικύκλια, όπως φαίνεται στο σχήμα. Βρείτε το εμβαδόν του λουλουδιού.

                       

Εμβαδόν περιοχής που σχηματίζουν 2 τεταρτοκύκλια μέσα σε τετράγωνο!

Το ABCD είναι τετράγωνο πλευράς 1 cm. Το E είναι το σημείο τομής των τεταρτοκυκλίων. Να βρείτε το εμβαδόν της μπλε περιοχής.

                                

Βρείτε το εμβαδόν της μπλε περιοχής!

Το πράσινο τετράπλευρο είναι τετράγωνο πλευράς . Εξωτερικά αυτού κατασκευάζουμε τα κόκκινα ισόπλευρα τρίγωνα. Ενώνουμε τις κορυφές τους, όπως φαίνεται στο σχήμα, και προκύπτει ένα νέο τετράπλευρο.

Εξηγήστε γιατί και αυτό είναι τετράγωνο.

Υπολογίστε το εμβαδόν της μπλε επιφάνειας.

                    

Εμβαδά τριγώνων!

Τα ΑΒΜΕ, ΒDZM, DKNZ  είναι τετράγωνα πλευράς 1 cm. Το ANPO είναι ορθογώνιο.

Υπολογίστε τα εμβαδά των τριγώνων AOK, NKP.

              

Εμβαδόν τετραπλεύρου μέσα σε τετράγωνο!

Το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς 4. Γνωρίζουμε ακόμα ότι ΑΗ = 3 και ΕΓ = 2.

Η μεσοκάθετος του τμήματος ΗΒ τέμνει τη διαγώνιο ΑΓ στο Κ.

Η μεσοκάθετος του τμήματος ΕΓ τέμνει τη διαγώνιο ΒΔ στο Ζ.
Βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΖΚΓΔ.