Θεωρούμε συνάρτηση f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R , για την οποία ισχύει
f(2f(x)+ y)=f(f(y)+ x)+ x (*) για κάθε x,y \in \mathbb R.
α) Να αποδείξετε ότι για κάθε a\in \mathbb R υπάρχει z\in\mathbb R τέτοιο ώστε f (z)=a και ότι η συνάρτηση f είναι 1-1.
β) Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f που ικανοποιούν τη σχέση (*).
(2o Θέμα, Θαλής 2021, Γ΄ Λυκείου)
Λύση
α) Για y=-2f(x) προκύπτει f(0)=f(f(-2f(x))+x)+x για κάθε x \in \mathbb R.
Έστω a\in \mathbb R.
Για x_0=f(0)-a προκύπτει ότι f(f(-2f(x_0))+x_0)=a. Δηλαδή f(z)=a για z=f(-2f(x_0))+x_0.
Επομένως υπάρχει b\in\mathbb R ώστε f(b)=0.
Για x=y=b η δοσμένη δίνει f(2f(b)+ b)=f(f(b)+ b)+ b οπότε f(b)=f(b)+b. Άρα b=0 και f(0)=0.
Τώρα η αρχική για y=0 δίνει \boxed{f(2f(x))=f(x)+x} για κάθε x \in \mathbb R.
Έστω x_1,x_2\in \mathbb R με f(x_1)=f(x_2). Τότε 2f(x_1)=2f(x_2) οπότε
f(2f(x_1))=f(2f(x_2)). Η σχέση στο πλαίσιο δίνει
f(x_1)+x_1=f(x_2)+x_2 και έτσι x_1=x_2. Άρα η f είναι 1-1.
β) Για x=0 η αρχική δίνει f(y)=f(f(y)) οπότε το 1-1 δίνει f(y)=y.
Η συνάρτηση αυτή επαληθεύει την δοσμένη και είναι λοιπόν η μόνη λύση του προβλήματος.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου