Συναρτησιακή εξίσωση

Θεωρούμε συνάρτηση $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ , για την οποία ισχύει

 $f(2f(x)+ y)=f(f(y)+ x)+ x$  (*) για κάθε $x,y \in \mathbb R.$ 

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε $a\in \mathbb R$ υπάρχει $z\in\mathbb R$ τέτοιο ώστε $f (z)=a$ και ότι η συνάρτηση $f$ είναι $1-1$.

β) Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f$ που ικανοποιούν τη σχέση (*).

                                                                                     (2o Θέμα, Θαλής 2021, Γ΄ Λυκείου)

Λύση

α) Για $y=-2f(x)$ προκύπτει $f(0)=f(f(-2f(x))+x)+x  $ για κάθε $x \in \mathbb R.$

Έστω $a\in \mathbb R.$

Για $x_0=f(0)-a$ προκύπτει ότι $f(f(-2f(x_0))+x_0)=a.$ Δηλαδή $f(z)=a$ για $z=f(-2f(x_0))+x_0.$

Επομένως υπάρχει $b\in\mathbb R$ ώστε $f(b)=0.$

Για $x=y=b$ η δοσμένη δίνει $f(2f(b)+ b)=f(f(b)+ b)+ b$ οπότε $f(b)=f(b)+b.$ Άρα $b=0$ και $f(0)=0.$ 

Τώρα η αρχική για $y=0$ δίνει $\boxed{f(2f(x))=f(x)+x}$ για κάθε $x \in \mathbb R.$

Έστω $x_1,x_2\in \mathbb R$ με $f(x_1)=f(x_2).$ Τότε $2f(x_1)=2f(x_2)$ οπότε

$f(2f(x_1))=f(2f(x_2)).$  Η σχέση στο πλαίσιο δίνει

$f(x_1)+x_1=f(x_2)+x_2$ και έτσι $x_1=x_2.$ Άρα η $f$ είναι $1-1.$

β) Για $x=0$ η αρχική δίνει $f(y)=f(f(y))$ οπότε το $1-1$ δίνει $f(y)=y.$

Η συνάρτηση αυτή επαληθεύει την δοσμένη και είναι λοιπόν η μόνη λύση του προβλήματος.