Τρεις ευθείες συντρέχουν!

                                                                              (3ο Θέμα, Θαλής 2021, Γ΄ Λυκείου)

Η δυσκολία είναι να κάνει κανείς γρήγορα το σχήμα. Μια καλή παρατήρηση είναι ότι όταν δύο κύκλοι τέμνονται, η κοινή χορδή τους έχει τη διάκεντρό τους ως μεσοκάθετο. Μπορούμε λοιπόν να εντοπίσουμε γρήγορα το σημείο Δ ως το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ΟΜ. Μάλιστα ισχύει ότι ΑΔ = 2ΤΜ. Αν Θ είναι το σημείο τομής των ΤΔ και της διαμέσου ΑΜ τότε τα τρίγωνα ΑΘΔ και ΤΘΜ είναι όμοια λόγω της παραλληλίας των ΑΔ και ΒΓ με λόγο ομοιότητας 2. Άρα το Θ χωρίζει τη διάμεσο ΑΜ σε λόγο 2:1, οπότε το Θ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.

Δεν χρειάζεται να εντοπίσουμε στο σχήμα τα σημεία Ε και Ζ. Ομοίως οι ΕΡ και ΖΣ όπως και η ΔΤ διέρχονται από το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.