ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 2010 ΘΕΜΑ Β

 

Δίνεται η συνάρτηση $f: [α, β]\to\mathbb R,$ όπου $α,β\in\mathbb R$ με $α<0<β,$ η οποία είναι συνεχής στο $[α, β]$ και παραγωγίσιμη στο $(α, β).$

Αν ισχύει $f(α)=5β$ και $f(β)=5α,$ να αποδείξετε ότι:

B1. Η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(α, β).$

Μονάδες 10

B2. Υπάρχει σημείο $Μ(ξ,f(ξ))$ της γραφικής παράστασης C_f της $f,$ στο οποίο η εφαπτομένη  της C_f  είναι κάθετη στην ευθεία ε: x–5y+2010=0.

Μονάδες 10

B3. Η συνάρτηση f παίρνει την τιμή $\dfrac{5}{2}(α+β).$

Μονάδες 5