Μέχρι και τον ορισμό της παραγώγου

 Έστω $f,g$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $x_0=2,$  με $f(2)=g(2)+8$ και ισχύει $f(x)<g(x)+x^3$ για κάθε  $x\ne 2.$

i) Να δείξετε ότι $f'(2)=g'(2)+12.$

ii) Αν επιπλέον 

$g(x)=\begin{cases}x^2, & x \leq 2\\αx+ β, & x > 2\end{cases}$

α) Να βρείτε τα $α,β.$

β) Να βρεθούν  οι $g'(2)$ και $f'(2).$

γ) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}.}$

δ) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{h\to 0}\dfrac{f^2(2-5h)-f^2(2)}{h}=-1920.}$

ε) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}x[g\left(\dfrac{2x+1}{x}\right)-g(2)]=4.}$

Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών)