Ανισότητα από τις Φιλιππίνες

 Αν $a, b, c$ είναι τρεις θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $ab+bc+ca=3$ τότε να αποδείξετε ότι

• $\dfrac{a}{1+a^2}\leq \dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{a^2}{1+a^2}\leq \dfrac{a}{2}$
• $\dfrac{1}{1+a^2}\geq \dfrac{2-a}{2}$
• $\dfrac{1}{1+a^4}\geq \dfrac{2-a^2}{2}$
• $\dfrac{bc}{1+a^4}+\dfrac{ca}{1+b^4}+\dfrac{ab}{1+c^4}\geq 3-\dfrac{abc(a+b+c)}{2}$
• $\dfrac{bc}{1+a^4}+\dfrac{ca}{1+b^4}+\dfrac{ab}{1+c^4}\geq \dfrac{3}{2}$