Μπορεί άραγε κάτι που έχει να κάνει με τα Μαθηματικά να έχει ταυτόχρονα γλύκα;
Μπορούμε να κάνουμε Μαθηματικά και να χαιρόμαστε συγχρόνως;
Μπορεί το παίδεμα για να λύσουμε ένα δύσκολο πρόβλημα να είναι συναρπαστικό;
Η προσπάθεια που γίνεται εδώ, φιλοδοξεί να αποδείξει ότι οι απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα μπορούν να είναι ΝΑΙ!
Μπορείτε να στέλνετε τις λύσεις σας, τις ερωτήσεις, τις παρατηρήσεις σας και δικά σας προβλήματα στη διεύθυνση mathsweets@gmail.com
$\sin Γ =\frac{ΒΔ}{ΒΓ} \iff ΒΓ=\frac{ΒΔ}{\sin Γ}$ Από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ λαμβάνουμε: $\frac{\sin Β}{ΑΓ}=\frac{\sin 75^\circ}{ΒΓ}$ $\iff \frac{\sin (105^\circ - Γ)}{2ΑΓ}=\frac{\sin 75^\circ}{2ΒΓ}=\frac{\sin Γ\cdot\sin 75^\circ}{2ΒΔ}$ $\iff \frac{\sin (105^\circ - Γ)}{2ΑΓ}=\frac{\sin Γ\cdot\sin 75^\circ}{ΑΓ}$ $\iff \sin (105^\circ - Γ)=2\sin Γ\cdot\sin 75^\circ$ lemma : $ Γ= 30^\circ$ Απόδειξη: για $ Γ=30^\circ \implies \sin 75^\circ=2\sin30^\circ\cdot\sin 75^\circ$ $\implies \sin 75^\circ = sin 75^\circ\text{ και άρα ισχύει}$ Προσοχή, ξέρουμε ότι $Γ=30^\circ$ είναι η μόνη λύση καθώς η γωνία Γ βρίσκεται μέσα σε ορθογώνιο τρίγωνο και άρα μικρότερη των 90 μοιρών και αφού η συνάρτηση $f(x)=\sin x$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,\frac{\pi}{2}]$ τότε λόγω μονοτονίας θα υπάρχει μόνο μια τιμή της γωνίας Γ που θα ικανοποίει την σχέση
.png)
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφή$\sin Γ =\frac{ΒΔ}{ΒΓ} \iff ΒΓ=\frac{ΒΔ}{\sin Γ}$
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ λαμβάνουμε:
$\frac{\sin Β}{ΑΓ}=\frac{\sin 75^\circ}{ΒΓ}$
$\iff \frac{\sin (105^\circ - Γ)}{2ΑΓ}=\frac{\sin 75^\circ}{2ΒΓ}=\frac{\sin Γ\cdot\sin 75^\circ}{2ΒΔ}$
$\iff \frac{\sin (105^\circ - Γ)}{2ΑΓ}=\frac{\sin Γ\cdot\sin 75^\circ}{ΑΓ}$
$\iff \sin (105^\circ - Γ)=2\sin Γ\cdot\sin 75^\circ$
lemma : $ Γ= 30^\circ$
Απόδειξη: για $ Γ=30^\circ \implies \sin 75^\circ=2\sin30^\circ\cdot\sin 75^\circ$
$\implies \sin 75^\circ = sin 75^\circ\text{ και άρα ισχύει}$
Προσοχή, ξέρουμε ότι $Γ=30^\circ$ είναι η μόνη λύση καθώς η γωνία Γ βρίσκεται
μέσα σε ορθογώνιο τρίγωνο και άρα μικρότερη των 90 μοιρών και αφού
η συνάρτηση $f(x)=\sin x$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,\frac{\pi}{2}]$
τότε λόγω μονοτονίας θα υπάρχει μόνο μια τιμή της γωνίας Γ που θα ικανοποίει την σχέση