Processing math: 100%

Δευτέρα 18 Απριλίου 2022

Τέσσερις εξισώσεις με τέσσερις αγνώστους

 

Για τους αριθμούς x,y,z,w ισχύουν οι παρακάτω ισότητες:

\begin{cases}x+y+z+w=10\\x^2+y^2+z^2+w^2=30\\x^3+y^3+z^3+w^3=100\\xyzw=24\end{cases}

A. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων:

1) xy+xz+xw+yz+yw+zw

2) x^2y+x^2z+x^2w+y^2x+y^2z+y^2w+z^2x+z^2y+z^2w+w^2x+w^2y+w^2z

3) xyz+xyw+xzw+yzw

4) (x-1)(y-1)(z-1)(w-1)

5) (x-2)(y-2)(z-2)(w-2)

6) (x-3)(y-3)(z-3)(w-3)

7) (x-4)(y-4)(z-4)(w-4)

B. Να βρείτε τους αριθμούς x,y,z,w.

Πέμπτη 14 Απριλίου 2022

Παραλίγο πρόβλημα σε ΙΜΟ!

 Βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (a,b,c) τέτοιες ώστε a^3+b^3+c^3=a^2b^2c^2.

Σάββατο 9 Απριλίου 2022

Εκθετική εξίσωση με απόλυτα

 Να λύσετε την εξίσωση 

2^{|x+1|}-|2^x-1|=2^x+1.

Σάββατο 2 Απριλίου 2022

Καναδικό πρόβλημα γεωμετρίας

 Έστω ABC ένα οξυγώνιο τρίγωνο και \Gamma ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Η κάθετη από το A στην BC τέμνει τον κύκλο \Gamma στο D και η κάθετη από το B στην AC τέμνει τον κύκλο \Gamma στο E. Αποδείξτε ότι αν AB = DE, τότε \angle ACB = 60^o.

Καναδική άσκηση άλγεβρας

 Για τους πραγματικούς αριθμούς a και b ισχύει ότι ab+\sqrt{ab+1}+\sqrt{a^2+b}\sqrt{a+b^2}=0.

Βρείτε την τιμή της παράστασης b\sqrt{a^2+b}+a\sqrt{b^2+a}.