Τέσσερις εξισώσεις με τέσσερις αγνώστους

 

Για τους αριθμούς $x,y,z,w$ ισχύουν οι παρακάτω ισότητες:

$\begin{cases}x+y+z+w=10\\x^2+y^2+z^2+w^2=30\\x^3+y^3+z^3+w^3=100\\xyzw=24\end{cases}$

A. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων:

1) $xy+xz+xw+yz+yw+zw$

2) $x^2y+x^2z+x^2w+y^2x+y^2z+y^2w+z^2x+z^2y+z^2w+w^2x+w^2y+w^2z$

3) $xyz+xyw+xzw+yzw$

4) $(x-1)(y-1)(z-1)(w-1)$

5) $(x-2)(y-2)(z-2)(w-2)$

6) $(x-3)(y-3)(z-3)(w-3)$

7) $(x-4)(y-4)(z-4)(w-4)$

B. Να βρείτε τους αριθμούς $x,y,z,w.$

Παραλίγο πρόβλημα σε ΙΜΟ!

 Βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων $(a,b,c)$ τέτοιες ώστε $a^3+b^3+c^3=a^2b^2c^2.$

Εκθετική εξίσωση με απόλυτα

 Να λύσετε την εξίσωση 

$$2^{|x+1|}-|2^x-1|=2^x+1.$$

Καναδικό πρόβλημα γεωμετρίας

 Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο και $\Gamma$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Η κάθετη από το $A$ στην $BC$ τέμνει τον κύκλο $\Gamma$ στο $D$ και η κάθετη από το $B$ στην $AC$ τέμνει τον κύκλο $\Gamma$ στο $E$. Αποδείξτε ότι αν $AB = DE$, τότε $\angle ACB = 60^o$.

Καναδική άσκηση άλγεβρας

 Για τους πραγματικούς αριθμούς $a$ και $b$ ισχύει ότι $$ab+\sqrt{ab+1}+\sqrt{a^2+b}\sqrt{a+b^2}=0.$$

Βρείτε την τιμή της παράστασης $$b\sqrt{a^2+b}+a\sqrt{b^2+a}.$$