Δύο σημεία καμπής πάνω στον άξονα x'x

 Δίνονται οι συναρτήσεις $F,f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ με $F(x)=x^2(x-c)^2(2x-c)$ και $F'=f$ όπου $c>0.$

Να αποδείξετε ότι η $f$ έχει δύο σημεία καμπής τα οποία ανήκουν στον άξονα x'x.

Διαγώνισμα προσομοίωσης Μάιος 2021

 Διαγώνισμα του Ιωάννη Σαράφη

Ασκήσεις στους λογάριθμους

 Ασκήσεις στους λογάριθμους από τον Δημήτρη Πατσιμά

Exersices - Properties of Logarithms

Exponential and Logarithmic Equations

$\displaystyle{\eta \mu \left(X^o+1^o \right)-\eta \mu X^o}$

 1)  Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος $k\in [0,89]$ ώστε $\displaystyle{\eta \mu \left(k^o+1^o \right)-\eta \mu k^o\leq \frac{1}{120}}.$

2)  Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος $m\in [0,89]$ ώστε $\displaystyle{\eta \mu \left(m^o+1^o \right)-\eta \mu m^o\geq \frac{1}{60}}.$

Σύστημα

 Οι θετικοί πραγματικοί $\displaystyle{a_1,a_2,...,a_n}$ ικανοποιούν τις σχέσεις

$\displaystyle{a_1+a_2+...+a_n=96}$

$\displaystyle{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=144}$ και

$\displaystyle{a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=216}$

Να βρεθεί ο φυσικός αριθμός $n.$

Τέλεια διαίρεση

 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)=1+x+x^2+x^3+x^4}$ διαιρεί το πολυώνυμο $\displaystyle{Q(x)=1+x^{11}+x^{22}+x^{33}+x^{44}.}$

Είναι ισοσκελές! (Τριγωνομετρική ισότητα που οδηγεί σε ισότητα γωνιών)

 Αν σε κάποιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει $\displaystyle\eta \mu^2 \frac{A}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{B}{3}=\eta \mu^2 \frac{B}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{A}{3}$, να αποδειχθεί ότι είναι ισοσκελές.

Ελάχιστη τιμή

 Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\sqrt{x^{2}+\left(y+1 \right)^{2}}+\sqrt{x^{2}+\left(y-3 \right)^{2}}$ όπου x,y πραγματικοί αριθμοί με $2x-y=2$.

Διοφαντική εξίσωση

 Να βρείτε τους ακέραιους $x,y,z$ ώστε $2xy-1=z(x-1)(y-1).$

Υπόλοιπο ευκλείδειας διαίρεσης

Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του $10^{2018}$ 

α) με το $9$

β) με το $99$

γ) με το $999$

Πλήθος ακέραιων λύσεων πολυωνυμικής ανίσωσης

 Πόσοι ακέραιοι αριθμοί $x$ υπάρχουν τέτοιοι ώστε 

$(x-\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{2}{3})(x-\dfrac{3}{4})\cdot\cdot\cdot(x-\dfrac{2018}{2019})<0;$

Ανισότητα με ριζικά

 Να αποδείξετε ότι για κάθε $x,y,z \in (0,+\infty)$ ισχύει η ανισότητα

$\sqrt{x(y+1)}+\sqrt{y(z+1)}+\sqrt{z(x+1)}\leq \dfrac{3}{2}\sqrt{(x+1)(y+1)(z+1)}$