Πέμπτη 23 Μαρτίου 2023
Κυριακή 19 Μαρτίου 2023
Σάββατο 18 Μαρτίου 2023
Σάββατο 4 Μαρτίου 2023
Ασκήσεις στα πολυώνυμα (17η έως 19η)
(17η)
Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού, το οποίο διαιρείται με το πολυώνυμο $x^2+ 1$, έχει ρίζα το 0 και του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2.
α. Να αποδείξετε ότι $P(x)=x^3+x.$
β. Να λύσετε την ανίσωση: $\displaystyle{(P(x)-2)^3+(P(x)-2)^2+P(x)>2.}$
(18η)
Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=x^4-8x^3+(5\alpha-1)x^2+8x-3\alpha-6,$ όπου $\alpha \in \mathbb R.$
α. Να κάνετε τη διαίρεση του $P(x)$ διά του $x^2-1$ και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα.
β. Να βρείτε την τιμή του $\alpha$ ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια.
γ. Για $\alpha=3,$ να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης $P(x)=0$ καθώς και τα διαστήματα στα
οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης $P(x)$ είναι κάτω από τον
άξονα $x'x$.
(19η)
Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=kx^3-(k+\lambda)x^2+\lambda x+1.$
α. Αν $P(-\dfrac{1}{2})=7$ και $P(-1)=23,$ να αποδείξετε ότι $k=-6$ και $\lambda=-5.$
β. Να γίνει η διαίρεση του $P(x),$ για $k=-6$ και $\lambda=-5,$ με το πολυώνυμο $2x+1$
και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης αυτής.
γ. Να λυθεί η ανίσωση $P(x)>7$ για $k=-6$ και $\lambda=-5.$
Κλασματική εξίσωση με σύντομη λύση
Να λύσετε την εξίσωση
$\dfrac{x-10}{x-2}+\dfrac{x-9}{x-3}+\dfrac{x-8}{x-4}+\dfrac{x-7}{x-5}=-4.$
Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση;
Έστω $α,β,γ$ τρεις διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί. Βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση
$\alpha ^2\dfrac{(x-\beta )(x-\gamma )}{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )}+\beta ^2\dfrac{(x-\alpha )(x-\gamma )}{(\beta -\alpha )(\beta -\gamma )} +\gamma ^2\dfrac{(x-\alpha )(x-\beta )}{(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )}-x^2=0.$
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)