Επαναληπτική άσκηση μέχρι τη συνέχεια (1)

 Θεωρούμε συνάρτηση $f $ συνεχή και γνησίως μονότονη στο $\mathbb {R}$ με : $6f(1)+4f(4)-13=f^2(1)+f^2(4)$.

i) Να βρείτε τα $f(1) , f(4)$ και να δείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα.

ii) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_o\in (1,4)$ τέτοιο ώστε $\dfrac{f(x_o)}{x_o}=2.$

iii) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_1\in (1,4)$ τέτοιο ώστε $2f(2)+3f(3)+5f(\dfrac{5}{2})= 10f(x_1)$.

iv) Αν η συνάρτηση $f$ έχει σύνολο τιμών το $\mathbb R,$ να λύσετε την ανίσωση $f^{-1}(f(x^3-3x+3)-1)>4$.