Μέχρι και την συνέχεια

 Έστω συνάρτηση $f:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχής και γνησίως μονότονη με $f(\mathbb R)=\mathbb R,$ η οποία διέρχεται από το σημείο $A(1,2)$ και $\displaystyle{\lim_{x\to 3}\dfrac{(x-3)f(x)-\cos(x-3)+1}{\sqrt{x+1}-2}=16.}$

Έστω συνάρτηση $g:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχής $g(0)=-2$ $g^2(x)-2x^2g(x)=4-x^4,x\in \mathbb R.$

α) Να δείξετε ότι $f(3)=4$ και ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη.

β) Να δείξετε ότι $g(x)=x^2-2,x\in \mathbb R.$

γ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τη γραφική παράσταση της $g$ σε ένα τουλάχιστον σημείο.

δ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0\in (1,3)$ τέτοιο ώστε $6f(x_0)=f(1)+2f(2)+3f(3).$

ε) Να λύσετε την εξίσωση $f(e^{x-3}+\dfrac{1}{3}x^3-7)=f^{-1}(4)+f^{-1}(2).$ 

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών)