Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

 Δίνεται ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒ\Gamma$ με $\hat A=90^o$. Η διχοτόμος της γωνίας $\hat{\Gamma}$ τέμνει την πλευρά $ΑΒ$ στο σημείο $\Delta$ και τη διάμεσο $ΑΜ$ στο σημείο $Ε$. Η κάθετη από το $Ε$ προς την πλευρά $ΑΒ$ την τέμνει στο σημείο $Ζ$. Να αποδείξετε ότι: $B\Delta=2EZ.$

Ανισότητα με αποστάσεις σημείου εσωτερικού σε τρίγωνο από τις πλευρές του τριγώνου

 Αν $P$ εσωτερικό σημείο τριγώνου και $d_{1},d_{2},d_{3}$ οι αποστάσεις του $P$ από τις κορυφές $A,B,C$ δείξτε ότι:

α) $(\beta+\gamma)(\alpha+\beta+d_{1}+d_{2})>2\gamma^{2}+\beta^{2}$

β) $(\alpha+\gamma)(\beta +\gamma +d_{2}+d_{3})>3\alpha\gamma$

Να βρεθούν οι αριθμοί

 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x , y}$ που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{2002^{x^2 +y^2 -2x-2y+2}=\sigma \upsilon \nu[\pi (x+y)]}$

Πρόβλημα με εκθετικές μορφές!

 Aν $43^x=2021$ και $47^y=2021$ τότε να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης 

                                     $\dfrac{x+4xy+y}{2xy-x-y}.$

Συλλογή δύσκολων ασκήσεων στη γεωμετρία

Μια συλλογή δύσκολων ασκήσεων στη γεωμετρία  

από τον μαθηματικό Νίκο Φωτιάδη

Ανισότητα με συνθήκες

 Οι διαφορετικοί θετικοί αριθμοί $a,b,c$ είναι τέτοιοι, ώστε $a^{4}=ac-1$ και $b^{4}=bc-1$. Να αποδείξετε, ότι $3(ab)^{2} < 1.$

Δύο σημεία καμπής πάνω στον άξονα x'x

 Δίνονται οι συναρτήσεις $F,f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ με $F(x)=x^2(x-c)^2(2x-c)$ και $F'=f$ όπου $c>0.$

Να αποδείξετε ότι η $f$ έχει δύο σημεία καμπής τα οποία ανήκουν στον άξονα x'x.

Διαγώνισμα προσομοίωσης Μάιος 2021

 Διαγώνισμα του Ιωάννη Σαράφη

Ασκήσεις στους λογάριθμους

 Ασκήσεις στους λογάριθμους από τον Δημήτρη Πατσιμά

Exersices - Properties of Logarithms

Exponential and Logarithmic Equations

$\displaystyle{\eta \mu \left(X^o+1^o \right)-\eta \mu X^o}$

 1)  Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος $k\in [0,89]$ ώστε $\displaystyle{\eta \mu \left(k^o+1^o \right)-\eta \mu k^o\leq \frac{1}{120}}.$

2)  Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος $m\in [0,89]$ ώστε $\displaystyle{\eta \mu \left(m^o+1^o \right)-\eta \mu m^o\geq \frac{1}{60}}.$

Σύστημα

 Οι θετικοί πραγματικοί $\displaystyle{a_1,a_2,...,a_n}$ ικανοποιούν τις σχέσεις

$\displaystyle{a_1+a_2+...+a_n=96}$

$\displaystyle{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=144}$ και

$\displaystyle{a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=216}$

Να βρεθεί ο φυσικός αριθμός $n.$

Τέλεια διαίρεση

 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)=1+x+x^2+x^3+x^4}$ διαιρεί το πολυώνυμο $\displaystyle{Q(x)=1+x^{11}+x^{22}+x^{33}+x^{44}.}$

Είναι ισοσκελές! (Τριγωνομετρική ισότητα που οδηγεί σε ισότητα γωνιών)

 Αν σε κάποιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει $\displaystyle\eta \mu^2 \frac{A}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{B}{3}=\eta \mu^2 \frac{B}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{A}{3}$, να αποδειχθεί ότι είναι ισοσκελές.

Ελάχιστη τιμή

 Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\sqrt{x^{2}+\left(y+1 \right)^{2}}+\sqrt{x^{2}+\left(y-3 \right)^{2}}$ όπου x,y πραγματικοί αριθμοί με $2x-y=2$.

Διοφαντική εξίσωση

 Να βρείτε τους ακέραιους $x,y,z$ ώστε $2xy-1=z(x-1)(y-1).$

Υπόλοιπο ευκλείδειας διαίρεσης

Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του $10^{2018}$ 

α) με το $9$

β) με το $99$

γ) με το $999$

Πλήθος ακέραιων λύσεων πολυωνυμικής ανίσωσης

 Πόσοι ακέραιοι αριθμοί $x$ υπάρχουν τέτοιοι ώστε 

$(x-\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{2}{3})(x-\dfrac{3}{4})\cdot\cdot\cdot(x-\dfrac{2018}{2019})<0;$

Ανισότητα με ριζικά

 Να αποδείξετε ότι για κάθε $x,y,z \in (0,+\infty)$ ισχύει η ανισότητα

$\sqrt{x(y+1)}+\sqrt{y(z+1)}+\sqrt{z(x+1)}\leq \dfrac{3}{2}\sqrt{(x+1)(y+1)(z+1)}$

Eξίσωση με έναν άγνωστο και τρία ριζικά

 Να λυθεί στο $\mathbb R$ η εξίσωση

$\sqrt{x+6}+\sqrt{3x-8}+\sqrt{41-4x}=\sqrt{117}.$

Εξίσωση με δύο αγνώστους και τέσσερα ριζικά!

 Να βρείτε τους $x,y\in\mathbb R$ ώστε

$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(8-x)^2+(6-y)^2}+\sqrt{(8-x)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(6-y)^2}=20.$

Για τα παιδιά του ΒΘετ1 (Για τη Δευτέρα 8/3/2021)

 Για τη Δευτέρα 8/3/2021 ετοιμάστε τις παρακάτω ασκήσεις:

1η άσκηση στον κύκλο

2η άσκηση στον κύκλο

'Εχει γρήγορη και απλή λύση! 

Λύνεται σε μία γραμμή!

Έχει γρήγορη και απλή λύση!

Έστω η συνάρτηση $f$ με τύπο $f(x)=\sqrt{x-x^2}$.

A. Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της και να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση είναι ένα  ημικύκλιο.

Β. Αν Μ, Ν είναι δύο τυχαία σημεία της γραφικής της παράστασης, να βρείτε τη μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ των Μ και Ν.