Μπορεί άραγε κάτι που έχει να κάνει με τα Μαθηματικά να έχει ταυτόχρονα γλύκα;
Μπορούμε να κάνουμε Μαθηματικά και να χαιρόμαστε συγχρόνως;
Μπορεί το παίδεμα για να λύσουμε ένα δύσκολο πρόβλημα να είναι συναρπαστικό;
Η προσπάθεια που γίνεται εδώ, φιλοδοξεί να αποδείξει ότι οι απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα μπορούν να είναι ΝΑΙ!
Μπορείτε να στέλνετε τις λύσεις σας, τις ερωτήσεις, τις παρατηρήσεις σας και δικά σας προβλήματα στη διεύθυνση mathsweets@gmail.com
έστω $\frac{a}{b}= x , \frac{b}{c} = y , \frac{c}{a} = z $ $\implies \text{ από ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε ότι } x+y+z\ge 3 $ $\text{ και άρα η ανισότητα γράφεται ως εξής : }$ $x+y+z\le x^2 + y^2 + z^2 \iff x^2-2x+1+y^2-2y+1-z^2-2z+1\ge 3-(x+y+z)$ $\iff S =(x-1)^2 + (y-1)^2 +(z-1)^2 \ge 3-(x+y+z)$$ \text{ το οποίο ισχύει αφού }$ $ x+y+z\ge 3 \iff 0\ge 3-(x+y+z)\text{ και άρα }$ $S\ge 0 \ge 3-(x+y+z)$ $\text{ που ισχύει για κάθε x,y,z αφού S είναι άθροισμα τετραγώνων , η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν }$ $ x=y=z=1\implies a=b=c=1$
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήέστω $\frac{a}{b}= x , \frac{b}{c} = y , \frac{c}{a} = z $
ΑπάντησηΔιαγραφή$\implies \text{ από ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε ότι } x+y+z\ge 3 $
$\text{ και άρα η ανισότητα γράφεται ως εξής : }$
$x+y+z\le x^2 + y^2 + z^2 \iff x^2-2x+1+y^2-2y+1-z^2-2z+1\ge 3-(x+y+z)$
$\iff S =(x-1)^2 + (y-1)^2 +(z-1)^2 \ge 3-(x+y+z)$$ \text{ το οποίο ισχύει αφού }$
$ x+y+z\ge 3 \iff 0\ge 3-(x+y+z)\text{ και άρα }$
$S\ge 0 \ge 3-(x+y+z)$
$\text{ που ισχύει για κάθε x,y,z αφού S είναι άθροισμα τετραγώνων , η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν }$
$ x=y=z=1\implies a=b=c=1$