Διοφαντικό σύστημα

Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους το σύστημα

$13a=3b+2c+34$

$4a^2=6b^2+5c^2+25$                                                        (1ο Θέμα, Θαλής 2021, Γ΄ Λυκείου)

ΛΥΣΗ

Έστω οι θετικοί ακέραιοι $a,b,c$ ώστε $4a^2=6b^2+5c^2+25$ και $13a=3b+2c+34.$

Η πρώτη ισότητα δίνει $4a^2>6b^2>4b^2$ οπότε $a>b.$ 

Ομοίως $4a^2>5c^2>4c^2$ οπότε $a>c.$

Επομένως $b,c\leq a-1.$

Τώρα η δεύτερη ισότητα δίνει $13a\leq 5(a-1)+34$ οπότε $8a\leq 29$ και άρα $a\leq 3.$

Αφού $b,c\geq 1$ η δεύτερη σχέση δίνει $13a\geq 39$ οπότε $a\geq 3.$

Άρα $a=3.$ 

Tότε $3b+2c=5$ οπότε αφού πρόκειται για θετικούς ακέραιους, αναγκαστικά $b=c=1.$

Η τριάδα $(a,b,c)=(3,1,1)$ προφανώς επαληθεύει το σύστημα, άρα είναι η μόνη λύση.