Έστω $x, y, z\in \mathbb R^*$ ώστε οι $xy, yz, zx$ να είναι ρητοί.
(α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $x^2+y^2+z^2$ είναι ρητός.
(β) Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι ο αριθμός $x^3+y^3+z^3$ είναι μη μηδενικός ρητός, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί $x, y, z$ είναι όλοι τους ρητοί.
Αν $a,b,c\in\mathbb R^*$ να αποδείξετε ότι
$\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}+\dfrac{(c+a)^2}{c^2+a^2}\leq6.$
Αν $a,b,c\in\mathbb R$ διαφορετικοί ανά δύο να αποδείξετε ότι
$\dfrac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+\dfrac{b^2+c^2}{(b-c)^2}+\dfrac{c^2+a^2}{(c-a)^2}>\dfrac{3}{2}.$
Τράπεζα θεμάτων για την Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου
Στο παραπάνω έγγραφο μπορείτε να βρείτε τις εκφωνήσεις των ασκήσεων που ανέβηκαν στην τράπεζα θεμάτων έως τις 8-8-2021.
Είναι ταξινομημένες ανά κεφάλαιο.
Ευχαριστούμε πολύ τους συναδέλφους Στέλιο Μιχαήλογλου και Δημήτρη Πατσιμά για τον κόπο τους.
Τράπεζα θεμάτων για την Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου
Στο παραπάνω έγγραφο μπορείτε να βρείτε τις εκφωνήσεις των ασκήσεων που ανέβηκαν στην τράπεζα θεμάτων έως τις 23-7-2021.
Είναι ταξινομημένες ανά κεφάλαιο.
Ευχαριστούμε πολύ τους συναδέλφους Στέλιο Μιχαήλογλου, Δημήτρη Πατσιμά και Νίκο Τούντα για τον κόπο τους.
Δίνεται ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒ\Gamma$ με $\hat A=90^o$. Η διχοτόμος της γωνίας $\hat{\Gamma}$ τέμνει την πλευρά $ΑΒ$ στο σημείο $\Delta$ και τη διάμεσο $ΑΜ$ στο σημείο $Ε$. Η κάθετη από το $Ε$ προς την πλευρά $ΑΒ$ την τέμνει στο σημείο $Ζ$. Να αποδείξετε ότι: $B\Delta=2EZ.$
Αν $P$ εσωτερικό σημείο τριγώνου και $d_{1},d_{2},d_{3}$ οι αποστάσεις του $P$ από τις κορυφές $A,B,C$ δείξτε ότι:
α) $(\beta+\gamma)(\alpha+\beta+d_{1}+d_{2})>2\gamma^{2}+\beta^{2}$
β) $(\alpha+\gamma)(\beta +\gamma +d_{2}+d_{3})>3\alpha\gamma$
Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x , y}$ που ικανοποιούν την εξίσωση:
$\displaystyle{2002^{x^2 +y^2 -2x-2y+2}=\sigma \upsilon \nu[\pi (x+y)]}$
Aν $43^x=2021$ και $47^y=2021$ τότε να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης
$\dfrac{x+4xy+y}{2xy-x-y}.$
Οι διαφορετικοί θετικοί αριθμοί $a,b,c$ είναι τέτοιοι, ώστε $a^{4}=ac-1$ και $b^{4}=bc-1$. Να αποδείξετε, ότι $3(ab)^{2} < 1.$
Δίνονται οι συναρτήσεις $F,f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ με $F(x)=x^2(x-c)^2(2x-c)$ και $F'=f$ όπου $c>0.$
Να αποδείξετε ότι η $f$ έχει δύο σημεία καμπής τα οποία ανήκουν στον άξονα x'x.
1) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος $k\in [0,89]$ ώστε $\displaystyle{\eta \mu \left(k^o+1^o \right)-\eta \mu k^o\leq \frac{1}{120}}.$
2) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος $m\in [0,89]$ ώστε $\displaystyle{\eta \mu \left(m^o+1^o \right)-\eta \mu m^o\geq \frac{1}{60}}.$
Οι θετικοί πραγματικοί $\displaystyle{a_1,a_2,...,a_n}$ ικανοποιούν τις σχέσεις
$\displaystyle{a_1+a_2+...+a_n=96}$
$\displaystyle{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=144}$ και
$\displaystyle{a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=216}$
Να βρεθεί ο φυσικός αριθμός $n.$
Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)=1+x+x^2+x^3+x^4}$ διαιρεί το πολυώνυμο $\displaystyle{Q(x)=1+x^{11}+x^{22}+x^{33}+x^{44}.}$
Αν σε κάποιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει $\displaystyle\eta \mu^2 \frac{A}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{B}{3}=\eta \mu^2 \frac{B}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{A}{3}$, να αποδειχθεί ότι είναι ισοσκελές.
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\sqrt{x^{2}+\left(y+1 \right)^{2}}+\sqrt{x^{2}+\left(y-3 \right)^{2}}$ όπου x,y πραγματικοί αριθμοί με $2x-y=2$.
Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του $10^{2018}$
α) με το $9$
β) με το $99$
γ) με το $999$
