Ανισότητα (5)

 Αν $\displaystyle{\alpha ,\beta,\gamma }$ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός να αποδείξετε ότι:     $\displaystyle{{{\left( \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\gamma }+\frac{\gamma }{\alpha } \right)}^{2}}\ge 3\left( \frac{\alpha }{\gamma }+\frac{\gamma }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha } \right)}$

Παραγοντοποίηση (1)

Να αναλυθεί το πολυώνυμο $\displaystyle{x^6 − 2x^5 + x^2 − x − 2}$ σε γινόμενο τριών πολυωνύμων θετικού βαθμού.

Απλοποίηση παράστασης με ριζικά

 Να απλοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}}$. 

Να βρεθούν οι ακέραιοι (2)

Οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{x, y}$ με $\displaystyle{x > y}$ είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{x^3 − y^3 + x^2y − xy^2 = 49(x − y)}$. Να προσδιορίσετε τους αριθμούς $\displaystyle{x , y}$.

Να βρεθούν οι ακέραιοι (1)

 Να βρεθούν οι ακέραιοι $\displaystyle{\alpha ,\beta}$  για τους οποίους ισχύει η ισότητα $\displaystyle{\alpha\beta^2 + 2\alpha\beta + \alpha = 2\beta^2 + 4\beta + 3}$.

Αριθμητική τιμή παράστασης με συνθήκη

 Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y, z}$ ισχύει ότι $\displaystyle{xyz = 1}$, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 

$\displaystyle{K=\frac{1}{y+1-\displaystyle\frac{y}{x+1}}+ \frac{1}{z+1-\displaystyle\frac{z}{y+1}} + \frac{1}{x+1-\displaystyle\frac{x}{z+1}}}$.

Διαιρετότητα

Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{\nu}$ για τους οποίους ο αριθμός $\displaystyle{2\nu + 1}$ διαιρεί τον αριθμό $\displaystyle{\nu^2 + \nu- 2}.$

Πολλαπλάσιο του 128

 Αν $\displaystyle{\alpha}$ περιττός ακέραιος, να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\alpha^4 + 6\alpha^2 − 7}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{128}$.

Τριπλή ισότητα

  Έστω ότι για θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha, \beta ,\gamma}$  ισχύει $\displaystyle{\alpha \beta \left( \frac{\alpha +\beta }{2}-\gamma  \right) + \beta \gamma \left( \frac{\beta +\gamma }{2}-\alpha  \right) + \gamma \alpha \left( \frac{\gamma +\alpha }{2}-\beta  \right) = 0}$. 

Να αποδειχτεί ότι $\displaystyle{\alpha= \beta=\gamma}$.

Τρεις πρώτοι

 Αν οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{a , a+d , a+2d}$, είναι πρώτοι, μεγαλύτεροι του $3$, να αποδείξετε ότι το $6$ διαιρεί τον $d.$

Παιχνίδι με τριώνυμα

 Ο καθηγητής έγραψε το τριώνυμο $\displaystyle{x^2 +10x+20}$ στον πίνακα. Στη συνέχεια κάποιοι μαθητές είτε πρόσθεταν $1$, είτε αφαιρούσαν $1$ , (όχι και τα δύο ταυτόχρονα), από τον συντελεστή του $x$, ή  από τον σταθερό όρο και μετά από  λίγο, εμφανίσθηκε το τριώνυμο  $\displaystyle{x^2 +20x +10}$. Nα αποδείξετε ότι κάποιο από τα τριώνυμα που εμφανίσθηκαν διαδοχικά στον πίνακα είχε ακέραιες ρίζες.

Αναλογίες

  Αν $\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} , a+b+c=1}$ και $\displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 =1}$ . με $\displaystyle{a , b , c \neq 0}$, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{xy +yz +zx=0.}$

Δεν υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι

α) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός $n$ τέτοιος ώστε ο $n^3+3n$ να είναι περιττός.

β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $x$ και $y$ τέτοιοι ώστε να ισχύει: $5x^3-4y^2-6xy+15x+6y-5=0$.

Το άθροισμα των 7 αποστάσεων να γίνει ελάχιστο

 Επτά πόλεις $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7$ βρίσκονται, με αυτή τη διάταξη, πάνω σε μία ευθεία. Πού πρέπει να κτιστεί ένα εργοστάσιο, ώστε το άθροισμα των αποστάσεών του από τις επτά πόλεις να είναι το ελάχιστο δυνατό;

Ανισότητα (4)

 Αν $a,b,c$ τα μήκη πλευρών ενός τριγώνου, να αποδείξετε την ανισότητα: $\left(b^2+c^2-a^2\right)^2\leq 4b^2c^2$.

Ανισότητα (3)

 Αν $\alpha>0$, $\beta > 0$ να αποδείξετε ότι $\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}\leq \sqrt{\dfrac{\alpha^2}{\beta}}+ \sqrt{\dfrac{\beta^2}{\alpha}}$.

Δεν υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι

 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι $\displaystyle{x, y, z}$ τέτοιοι ώστε να ικανοποιούν την ισότητα $\displaystyle{x^2 + y^2 - 8z = 6}$.

Μόνο μία συνάρτηση

 Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} , h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{g(g(x))=x}$  για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ και δίνεται πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\alpha}$ με $\displaystyle{|\alpha| \ne 1}$. 

Ν' αποδείξετε ότι υπάρχει μία και μόνο μία συνάρτηση $\displaystyle{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} }$ τέτοια ώστε $\displaystyle{\alpha f(x)+ f(g(x))=h(x)}$  για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$. 

                                                                                                                                                 (Ελλάδα, 1987)

Είναι όλοι τους ρητοί

 Έστω $x, y, z\in \mathbb R^*$ ώστε οι $xy, yz, zx$ να είναι ρητοί.

(α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $x^2+y^2+z^2$ είναι ρητός.

(β) Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι ο αριθμός $x^3+y^3+z^3$ είναι μη μηδενικός ρητός, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί  $x, y, z$ είναι όλοι τους ρητοί.

Ανισότητα (2)

Αν $a,b,c\in\mathbb R^*$ να αποδείξετε ότι 

$\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}+\dfrac{(c+a)^2}{c^2+a^2}\leq6.$

Ανισότητα (1)

 Αν $a,b,c\in\mathbb R$ διαφορετικοί ανά δύο να αποδείξετε ότι 

$\dfrac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+\dfrac{b^2+c^2}{(b-c)^2}+\dfrac{c^2+a^2}{(c-a)^2}>\dfrac{3}{2}.$

Για τα παιδιά του ΓΘετ1

Καλησπέρα σε όλους.

Σας προτείνω  ένα ωραίο διαγώνισμα για το Σαββατοκύριακο.

Καλή επιτυχία!