ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ!

 

H Άλγεβρα στην υπηρεσία της Γεωμετρίας!

 Τα εμβαδά των τεσσάρων μικρών ορθογωνίων και του κεντρικού τετραγώνου φαίνονται στο σχήμα. Βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου $ABCD.$

Πρόβλημα από την Σιγκαπούρη!

 Αν $m,n$ είναι δύο διαφορετικοί αριθμοί ώστε

                              $m^2=n+2$ και $n^2=m+2$ 

τότε να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης 

                                     $4mn-m^3-n^3.$

Υπολογίστε το ριζικό με τη βοήθεια της Άλγεβρας!

 Υπολογίστε την αριθμητική τιμή της παράστασης $\sqrt{\dfrac{2023^3-2021^3-2}{6}}.$

Υπολογίστε την τιμή του κλάσματος!

Αν  $\dfrac{x-y}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ τότε να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{x}{y}.$

Βρείτε το κόκκινο εμβαδόν

 

Τέσσερα ημικύκλια και ένα τετράγωνο!

 Σε τετράγωνο με πλευρά $4$ σχεδιάζουμε τις διαγωνίους του και κατόπιν κατασκευάζουμε τέσσερα ίσα ημικύκλια όπως στο σχήμα. Υπολογίστε το γαλάζιο εμβαδόν!

Βρείτε το εμβαδόν του πράσινου ορθογωνίου

 Το $ABCD$ είναι τετράγωνο. Βρείτε το εμβαδόν του πράσινου ορθογωνίου. 

Διαγωνίσματα προσομοίωσης για το σχολικό έτος 2021-22

 Διαγώνισμα προσομοίωσης από Περιστέρι

Διαγώνισμα στα όρια από Αρσάκειο

Διαγώνισμα από Γιαννιτσά

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης

Υπάρχει άραγε μια συλλογή $2021$ διαφορετικών θετικών ακέραιων, που έχουν την παρακάτω ιδιότητα: αν διαλέξουμε από αυτή οποιοδήποτε αριθμό $a$, οι υπόλοιποι $2020$ αριθμοί μπορούν να χωρισθούν σε ζεύγη έτσι, ώστε ο $a$ να διαιρείται με την διαφορά των αριθμών κάθε ζεύγους;

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης

Θέματα 8ης τάξης για την 2η φάση, 16 Φεβρουαρίου 2021.

Ρητοποίηση παρονομαστή

 Να ρητοποιήσετε τον παρανομαστή του κλάσματος 

         $\dfrac{1}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}.$

Μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση (1)

 

Επαναληπτική άσκηση στα όρια (1)

 

Επαναληπτική άσκηση στα όρια (2)

Μέχρι και την συνέχεια

 Έστω συνάρτηση $f:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχής και γνησίως μονότονη με $f(\mathbb R)=\mathbb R,$ η οποία διέρχεται από το σημείο $A(1,2)$ και $\displaystyle{\lim_{x\to 3}\dfrac{(x-3)f(x)-\cos(x-3)+1}{\sqrt{x+1}-2}=16.}$

Έστω συνάρτηση $g:\mathbb R\to \mathbb R$ συνεχής $g(0)=-2$ $g^2(x)-2x^2g(x)=4-x^4,x\in \mathbb R.$

α) Να δείξετε ότι $f(3)=4$ και ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη.

β) Να δείξετε ότι $g(x)=x^2-2,x\in \mathbb R.$

γ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τη γραφική παράσταση της $g$ σε ένα τουλάχιστον σημείο.

δ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0\in (1,3)$ τέτοιο ώστε $6f(x_0)=f(1)+2f(2)+3f(3).$

ε) Να λύσετε την εξίσωση $f(e^{x-3}+\dfrac{1}{3}x^3-7)=f^{-1}(4)+f^{-1}(2).$ 

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Μέχρι και τον ορισμό της παραγώγου

 Έστω $f,g$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $x_0=2,$  με $f(2)=g(2)+8$ και ισχύει $f(x)<g(x)+x^3$ για κάθε  $x\ne 2.$

i) Να δείξετε ότι $f'(2)=g'(2)+12.$

ii) Αν επιπλέον 

$g(x)=\begin{cases}x^2, & x \leq 2\\αx+ β, & x > 2\end{cases}$

α) Να βρείτε τα $α,β.$

β) Να βρεθούν  οι $g'(2)$ και $f'(2).$

γ) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}.}$

δ) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{h\to 0}\dfrac{f^2(2-5h)-f^2(2)}{h}=-1920.}$

ε) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}x[g\left(\dfrac{2x+1}{x}\right)-g(2)]=4.}$

Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 2010 ΘΕΜΑ Β

 

Δίνεται η συνάρτηση $f: [α, β]\to\mathbb R,$ όπου $α,β\in\mathbb R$ με $α<0<β,$ η οποία είναι συνεχής στο $[α, β]$ και παραγωγίσιμη στο $(α, β).$

Αν ισχύει $f(α)=5β$ και $f(β)=5α,$ να αποδείξετε ότι:

B1. Η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(α, β).$

Μονάδες 10

B2. Υπάρχει σημείο $Μ(ξ,f(ξ))$ της γραφικής παράστασης C_f της $f,$ στο οποίο η εφαπτομένη  της C_f  είναι κάθετη στην ευθεία ε: x–5y+2010=0.

Μονάδες 10

B3. Η συνάρτηση f παίρνει την τιμή $\dfrac{5}{2}(α+β).$

Μονάδες 5

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 2010 ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = (x+3)\sqrt{9-x^2}.$

Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Μονάδες 4

Δ2. Να βρείτε την παράγωγο της $f$

α. στο ανοικτό διάστημα $(-3,3)$ (Μονάδες 3)

β. στο σημείο $x_0=-3.$ (Μονάδες 3)

Μονάδες 6

Δ3. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της $f.$

Μονάδες 9

Δ4. Να βρείτε τα ακρότατα της $f.$

Μονάδες 6

 

Κοινές ακέραιες λύσεις

 α) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων 

$\boxed{4\left(x-250 \right)\leq 5\left(x+201 \right)+8}$ και $\boxed{\dfrac{12x-40}{3}<4x+20-\dfrac{x-15}{60}}$

β) Πόσες είναι οι κοινές ακέραιες λύσεις τους; Να υπολογίσετε επίσης το άθροισμα και το γινόμενο όλων αυτών των κοινών ακέραιων λύσεων.

Ύπαρξη ρίζας (1)

 Δίνεται  συνεχής  συνάρτηση   $f:(0, + \infty) \to \mathbb {R}$ 

   για  την  οποία  ισχύουν $f(x) > 0$   για  κάθε  $x > 0$   και   $f\left( {\dfrac{α}{β}} \right) \cdot f\left( {\dfrac{β}{γ}} \right) \cdot f\left( {\dfrac{γ}{α}} \right) = 1$  όπου  $0 < α < β < γ.$  

Να  δείξετε  ότι  υπάρχει  $ξ > 0$  τέτοιο  ώστε   $\displaystyle{f(\xi ) = \xi ^{2020}}.$

Συνεχής $f$ με ιδιότητα $f(x)>f(x+3)$ για κάθε $x \in \mathbb R$

 Η συνάρτηση $f:\mathbb R \to \mathbb R$ είναι συνεχής στο $\mathbb R.$ Αν $f(0)=f(4)=0$ και $f(x)>f(x+3)$ για κάθε $x \in \mathbb R$ να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi  \in \left( {1,3} \right)$ τέτοιο ώστε $f(ξ)=0.$

Πολυωνυμική εξίσωση τρίτου βαθμού έχει ρίζα στο διάστημα (0,2)

 Έστω οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ με $3a+2b+3c=0$ . Να δείξετε ότι η εξίσωση $ax^{3}+bx+c=0$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα $(0,2).$

Υπόδειξη Προσπαθήστε να βρείτε έναν γραμμικό συνδυασμό των αριθμών $f(0),f(\dfrac{1}{2}),f(\dfrac{3}{2})$ ίσο με το $0.$ Μετά απαγωγή σε άτοπο.