Είναι αντίθετοι!

 Αν $\displaystyle{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1}$ τότε, να δείξετε ότι $\displaystyle{x + y = 0}.$

Άσκηση στα όρια (4)

 Να εξετάσετε αν είναι αληθής η παρακάτω πρόταση:

Αν $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^3(x)+g^3(x))=+\infty}$ τότε πάντα $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty}.$

Άσκηση στα όρια (3)

 Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty}$ τότε: 

(1) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^2(x)+g^2(x))=+\infty}$ 

(2) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^3(x)+g^3(x))=+\infty}$

Βαρύκεντρα σε τετράπλευρο

 Δίνεται τετράπλευρο $ΑΒΓΔ,$ το βαρύκεντρο $Κ$ του τριγώνου $ΑΒΓ$ και το βαρύκεντρο $Λ$ του τριγώνου $ΑΔΓ.$ Να αποδείξετε ότι:

α) $ΚΛ//ΒΔ$

β) $ΒΔ=3ΚΛ$

Συμπληρώστε με κατάλληλα ψηφία

 Να τοποθετήσετε στην παρακάτω φράση ένα μη μηδενικό ψηφίο σε κάθε ένα κουτί ώστε η πρόταση που θα προκύψει να είναι αληθής:

To $\square\square$ % του $\square\square\square$ είναι $400.$

Σύγκριση αριθμών (ΙV)

 Να αποδειχθεί ότι $7^{99}>8^{92}>7^{98}.$

Σύγκριση αριθμών (ΙΙΙ)

 Να συγκριθούν οι αριθμοί:

α) $5^{44}$ και $4^{53}$

β) $7^{92}$ και $8^{91}$

Σύγκριση αριθμών (ΙΙ)

 Να συγκριθούν οι αριθμοί $a=2^{100}+3^{100}$ και $b=4^{100}.$

Σύγκριση αριθμών (Ι)

 Να συγκριθούν οι αριθμοί 

$a=\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}+\sqrt{\sqrt{3}-1}\right)$ 

και

$b=\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}-\sqrt{\sqrt{3}-1}\right).$

Ανισότητα με ριζικά

 Αν $a,b,c,d\in (0,+\infty)$ με $a\geq b$ και $c\geq d$ να αποδείξετε ότι 

$\sqrt{(a+c)^2-(b+d)^2}\geq \sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{c^2-d^2}.$

Πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές χωρίς ακέραιες ρίζες

 Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)$ με ακέραιους συντελεστές για το οποίο ισχύει $P(1) = 5$, $P( - 1) = 11$, $P(0) = 8.$ .

Να αποδείξετε ότι δεν έχει ακέραιες ρίζες.

Πολλές κάθετες

 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒΓ$ με $ΑΒ = ΑΓ$ και σημεία $Δ, Ε$ στην πλευρά $ΒΓ,$ με $ΒΔ=ΕΓ<\dfrac{B\Gamma}{2}$.
Φέρνουμε  $ΔΚ\perp ΑΒ$, $ΕΛ\perp ΑΒ$ ,  $ΔΜ \perp ΑΓ$ και $ΕΝ \perp ΑΓ.$

 i. Να αποδείξετε ότι: $ΚΛ = ΜΝ.$ 

ii. Εάν $Ρ$ είναι το σημείο τομής των $ΕΛ$ και $ΔΜ,$ τότε η $ΑΡ$ είναι η διχοτόμος της γωνίας $\hat Α$. 

Η άσκηση με τα αποστήματα

 

Στον παρακάτω κύκλο το σημείο Ο είναι το κέντρο του. 

Τα ΟΚ, ΟΛ, ΟΡ, ΟΣ είναι τα αποστήματα των χορδών 

ΑΒ, ΓΔ, ΑΓ, ΒΔ αντίστοιχα. 

Αν γνωρίζετε ότι ΟΚ = ΟΛ, να αποδείξετε ότι ΟΡ = ΟΣ.

Aπόλυτες τιμές (4)

 Αν $a,b\ne 0$ ώστε $\left|\dfrac{a+2b}{2a+b}\right|\leq 1$ να αποδείξετε ότι 

i) $|b|\leq |a|$

ii) $2\left|\dfrac{b}{a}\right| -\left |\dfrac{a}{b}\right | \leq 1 $

Ενδιαφέρουσα ανισότητα με απόλυτες τιμές

 Αν $a,b,c$ είναι τρεις τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι

$|a+b-c|+|b+c-a|+|c+a-b|\geq |a|+|b|+|c|.$

Απόλυτες τιμές (3)

 Αν $|x|\leq a-b$,  $|y|\leq b-c$ και $|z|\leq c-a$, να αποδειχθεί ότι $x=y=z=0.$

Απόλυτες τιμές (2)

 Δίνεται η παράσταση $A=|x-2|+|x-3|+2x-3.$

α) Να γράψετε την παράσταση $A$ χωρίς απόλυτα.

β) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του $x$ για τις οποίες $A=0.$

Απόλυτες τιμές (1)

 Δίνεται η παράσταση $A=|x-1|+3x+5. $

α) Να γραφεί η παράσταση $A$ χωρίς την απόλυτη τιμή.

β) Για ποιες τιμές του $x$ είναι $A=0;$

Ανισότητα (13)

 Αν $a,b,c>0$ με $abc=1,$ να αποδειχθεί ότι $a+b+c+ab+bc+ca\geq6.$

Ανισότητα Nesbitt

 Αν $a,b,c$ είναι τρεις θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι 

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}.$

Να λυθεί στους ακέραιους (2)

 Να λυθεί στους ακέραιους η εξίσωση $9x^2+y^2=\left(3xy+5 \right)^2.$

Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

 Έστω $ABC$ ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο $A.$ Αποδείξτε ότι $\sqrt{2}\left(AB+AC-\sqrt{AB \cdot AC} \right)\geq BC.$