Παρασκευή 19 Ιουλίου 2024

Βρείτε τη γωνία (10)

  Στο παρακάτω τρίγωνο $ΑΒΓ$ είναι $\widehat{Α}=75^o$ και $ΑΓ=2ΒΔ.$ Να υπολογίσετε σε μοίρες τη γωνία $\widehat{Γ}.$



Βρείτε τη γωνία (9)

 Στο παρακάτω τρίγωνο $ΑΒΓ$ είναι $\widehat{B}=45^o,$ $ΔΓ=2ΒΔ$ και $\widehat{ΑΔΓ}=60^o.$ Να υπολογίσετε σε μοίρες τη γωνία $\widehat{Γ}.$





Παρασκευή 1 Μαρτίου 2024

Πέμπτη 29 Φεβρουαρίου 2024

31550


Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^x-lnx$. Να αποδείξετε ότι:
α) H f είναι κυρτή.
β) H f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε κάποιο $x_ο\in(\dfrac{1}{2},1)$ το οποίο είναι μοναδικό.                
γ) Tο ολικό ελάχιστο είναι το $x_ο+\dfrac{1}{x_ο}$.                                                 
δ) H εξίσωση $f(x)=2$ είναι αδύνατη.                                                                         


Κυριακή 26 Νοεμβρίου 2023

Σύστημα 3 ανισώσεων

 Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $a,b,c$ που ικανοποιούν τις ανισώσεις

$$\begin{cases}a^3b+3\leq4c\\b^3c+3\leq4a\\c^3a+3\leq4b\end{cases}$$

Σύστημα από τη Βουλγαρία (1967)

 Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

$$\begin{cases}x^2+x-1=y\\y^2+y-1=z\\z^2+z-1=x\end{cases}$$

Κυριακή 19 Νοεμβρίου 2023

Ανισότητα με 4 θετικούς αριθμούς που έχουν γινόμενο τη μονάδα

 Αν $a,b,c,d$ είναι τέσσερις θετικοί αριθμοί με $abcd=1$ να αποδείξετε ότι;

$$a^4+b^4+c^4+d^4\geq4+(a-b)^2$$

Σάββατο 15 Ιουλίου 2023

Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Έστω $a,b,c$ τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα $a.$ Να αποδείξετε ότι $$3<\dfrac{a^3-b^3-c^3}{a(a-b)(a-c)}\leq 2+\sqrt 2$$

Παρασκευή 14 Ιουλίου 2023

Πολυώνυμο με τον μικρότερο δυνατό βαθμό με συγκεκριμένες ιδιότητες

 Να βρείτε πολυώνυμο $P(x)$ με το μικρότερο δυνατό βαθμό το οποίο 

  • έχει ακέραιους συντελεστές
  • παραγοντοποιείται πλήρως σε γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων
  • όλες του οι ρίζες είναι ακέραιοι αριθμοί
  • $P(0)=-1$ 
  • $P(3)=128$ 

Εξίσωση με τρεις αγνώστους που ξεπερνούν τη μονάδα

Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x>1,y>1,z>1$ που ικανοποιούν την εξίσωση $$x+y+z+\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{3}{y-1}+\dfrac{3}{z-1}=2(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+2}).$$

Εύκολη ανισότητα

Εστω $a,b,c$ τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ώστε $a\geq b\geq c.$ Να αποδείξετε ότι                     $$\dfrac{a^3-c^3}{3}\geq abc(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a})$$                      

Πότε ισχύει η ισότητα;

Πέμπτη 13 Ιουλίου 2023

Ανισότητα από Σκανδιναβικό διαγωνισμό

Αν $a,b,c$ είναι τρεις θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\leq \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}$$
Nordic Math Contest

Τετάρτη 12 Ιουλίου 2023

Έξισώσεις για την Β΄ Γυμνασίου

Να λυθούν οι εξισώσεις:
  •  $\dfrac{\sqrt{k+4}}{2}=6$
  •  $\displaystyle{\sqrt{33+\sqrt y}}=6$
  •  $\sqrt{3b+10}=4$
  •  $\dfrac{3m}{7}=\dfrac{21}{m}$

Δευτέρα 10 Ιουλίου 2023

Ουγγρική άσκηση από διαγωνισμό του 1896!

Για τους αριθμούς $x,y$ ισχύουν οι σχέσεις $x^2-3xy+2y^2+x-y=0$ και $x^2-2xy+y^2-5x+7y=0.$ 

Να αποδείξετε ότι $xy-12x+15y=0.$

Έξι πραγματικοί αριθμοί με δύο συνθήκες

 Αν για τους μη μηδενικούς αριθμούς $a,b,c,x,y,z$ ισχύουν οι σχέσεις $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1,$ $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0,$ να αποδείξετε ότι $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1.$

Έξι πραγματικοί αριθμοί

Οι $\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\beta _1,\beta _2,\beta _3$ είναι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις:

$\alpha _1\beta _1+\alpha _2\beta _2+\alpha _3\beta _3=0$

$\alpha _1\alpha _3-\alpha^2 _2>0$ και $\beta _1\beta _2\beta _3\neq 0.$

Να αποδείξετε ότι $\beta _1\beta _3-\beta^2 _2<0.$

Εξίσωση με ριζικά

Να λυθεί η εξίσωση $\sqrt{x^2+x}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=\sqrt{x+3}.$

Εξίσωση στους φυσικούς

 Να λυθεί στο σύνολο των φυσικών αριθμών η εξίσωση $x^2+y^2+z^2=1980.$

Ανισότητα με συνθήκη

 Έστω $x,y$ είναι πραγματικοί αριθμοί με $x>y$ και $xy=1.$ 

Να αποδείξετε ότι $\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\geq 2\sqrt{2}.$ 

Πότε ισχύει η ισότητα;

Ανισότητα από τη Σερβία

Αν $x>y\geq 0$ να αποδείξετε ότι 

$$x+\dfrac{4}{\left(x-y \right)\left(y+1 \right)^2}\geq 3.$$


Σάββατο 8 Ιουλίου 2023

Πεντάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με τρεις πλευρές ίσες

 Ένα πεντάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Δύο πλευρές του είναι 14 και 48 και σχηματίζουν ορθή γωνία. Οι άλλες τρεις είναι πλευρές του είναι ίσες. Βρείτε την περίμετρό του.


Παρασκευή 7 Ιουλίου 2023

Μερικές ερωτήσεις σωστού-λάθους

  • Για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει ότι $(x+|ημx|)(x-|ημx|)\geq 0.$
  • Υπάρχουν $x, y\in \mathbb R$ ώστε $(|x|-|ημx|)(|y|-|ημy|)<0.$
  • Για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει ότι $ημx\leq |π-x|.$
  • Υπάρχει $x\in \mathbb R$ ώστε $συνx> |\dfrac{π}{2}-x|.$
  • Για κάθε $x, y\in \mathbb R$ ισχύει ότι $(x^2+συν^2 x)(y^2+συν^2 y|)\geq 1.$
  • Για κάθε $x\in \mathbb R^*$ ισχύει $|xημ\dfrac{1}{x}|\leq 1.$