Απόδειξη του πυθαγορείου θεωρήματος

 Χρησιμοποιώντας το παρακάτω σχήμα να αποδείξετε το πυθαγόρειο θεώρημα.

Επιστροφή στο αρχικό σημείο μετά από διαδοχικές συμμετρίες

 Δίνεται τρίγωνο $ΑΒΓ$ και σημείο $Μ$ του επιπέδου. Ας είναι $Μ_1$ το συμμετρικό του $Μ$ ως προς το μέσο του $ΑΒ$, $Μ_2$ το συμμετρικό του $Μ_1$ ως προς το μέσο του $ΒΓ$ και $Μ_3$ το συμμετρικό του $Μ_2$ ως προς το μέσο του $ΑΓ.$ Δείξτε δικαιολογώντας το σκεπτικό σας πως το συμμετρικό του $Μ_3$ ως προς το $Α$ είναι το αρχικό σημείο $Μ$.

Το πρόβλημα προτάθηκε από τον Γιώργο Χαραλαμπίδη

Βρείτε τη γωνία (10)

  Στο παρακάτω τρίγωνο $ΑΒΓ$ είναι $\widehat{Α}=75^o$ και $ΑΓ=2ΒΔ.$ Να υπολογίσετε σε μοίρες τη γωνία $\widehat{Γ}.$

Βρείτε τη γωνία (9)

 Στο παρακάτω τρίγωνο $ΑΒΓ$ είναι $\widehat{B}=45^o,$ $ΔΓ=2ΒΔ$ και $\widehat{ΑΔΓ}=60^o.$ Να υπολογίσετε σε μοίρες τη γωνία $\widehat{Γ}.$

33648

 

31550

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^x-lnx$. Να αποδείξετε ότι:
α) H f είναι κυρτή.
β) H f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε κάποιο $x_ο\in(\dfrac{1}{2},1)$ το οποίο είναι μοναδικό.                
γ) Tο ολικό ελάχιστο είναι το $x_ο+\dfrac{1}{x_ο}$.                                                 
δ) H εξίσωση $f(x)=2$ είναι αδύνατη.                                                                         

Σύστημα 3 ανισώσεων

 Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $a,b,c$ που ικανοποιούν τις ανισώσεις

$$\begin{cases}a^3b+3\leq4c\\b^3c+3\leq4a\\c^3a+3\leq4b\end{cases}$$

Σύστημα από τη Βουλγαρία (1967)

 Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

$$\begin{cases}x^2+x-1=y\\y^2+y-1=z\\z^2+z-1=x\end{cases}$$

Ανισότητα με 4 θετικούς αριθμούς που έχουν γινόμενο τη μονάδα

 Αν $a,b,c,d$ είναι τέσσερις θετικοί αριθμοί με $abcd=1$ να αποδείξετε ότι;

$$a^4+b^4+c^4+d^4\geq4+(a-b)^2$$

Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Έστω $a,b,c$ τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα $a.$ Να αποδείξετε ότι $$3<\dfrac{a^3-b^3-c^3}{a(a-b)(a-c)}\leq 2+\sqrt 2$$

Πολυώνυμο με τον μικρότερο δυνατό βαθμό με συγκεκριμένες ιδιότητες

 Να βρείτε πολυώνυμο $P(x)$ με το μικρότερο δυνατό βαθμό το οποίο 

• έχει ακέραιους συντελεστές
• παραγοντοποιείται πλήρως σε γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων
• όλες του οι ρίζες είναι ακέραιοι αριθμοί
• $P(0)=-1$ 
• $P(3)=128$ 

Εξίσωση με τρεις αγνώστους που ξεπερνούν τη μονάδα

Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x>1,y>1,z>1$ που ικανοποιούν την εξίσωση $$x+y+z+\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{3}{y-1}+\dfrac{3}{z-1}=2(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+2}).$$

Εύκολη ανισότητα

Εστω $a,b,c$ τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ώστε $a\geq b\geq c.$ Να αποδείξετε ότι                     $$\dfrac{a^3-c^3}{3}\geq abc(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a})$$                      

Πότε ισχύει η ισότητα;

Ανισότητα από Σκανδιναβικό διαγωνισμό

Αν $a,b,c$ είναι τρεις θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\leq \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}$$

Nordic Math Contest

Έξισώσεις για την Β΄ Γυμνασίου

Να λυθούν οι εξισώσεις:

•  $\dfrac{\sqrt{k+4}}{2}=6$
•  $\displaystyle{\sqrt{33+\sqrt y}}=6$
•  $\sqrt{3b+10}=4$
•  $\dfrac{3m}{7}=\dfrac{21}{m}$

Ουγγρική άσκηση από διαγωνισμό του 1896!

Για τους αριθμούς $x,y$ ισχύουν οι σχέσεις $x^2-3xy+2y^2+x-y=0$ και $x^2-2xy+y^2-5x+7y=0.$ 

Να αποδείξετε ότι $xy-12x+15y=0.$

Έξι πραγματικοί αριθμοί με δύο συνθήκες

 Αν για τους μη μηδενικούς αριθμούς $a,b,c,x,y,z$ ισχύουν οι σχέσεις $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1,$ $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0,$ να αποδείξετε ότι $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1.$

Έξι πραγματικοί αριθμοί

Οι $\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\beta _1,\beta _2,\beta _3$ είναι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις:

$\alpha _1\beta _1+\alpha _2\beta _2+\alpha _3\beta _3=0$

$\alpha _1\alpha _3-\alpha^2 _2>0$ και $\beta _1\beta _2\beta _3\neq 0.$

Να αποδείξετε ότι $\beta _1\beta _3-\beta^2 _2<0.$

Εξίσωση με ριζικά

Να λυθεί η εξίσωση $\sqrt{x^2+x}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=\sqrt{x+3}.$

Εξίσωση στους φυσικούς

 Να λυθεί στο σύνολο των φυσικών αριθμών η εξίσωση $x^2+y^2+z^2=1980.$

Ανισότητα με συνθήκη

 Έστω $x,y$ είναι πραγματικοί αριθμοί με $x>y$ και $xy=1.$ 

Να αποδείξετε ότι $\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\geq 2\sqrt{2}.$ 

Πότε ισχύει η ισότητα;

Ανισότητα από τη Σερβία

Αν $x>y\geq 0$ να αποδείξετε ότι 

$$x+\dfrac{4}{\left(x-y \right)\left(y+1 \right)^2}\geq 3.$$