Στο παρακάτω τρίγωνο $ΑΒΓ$ είναι $\widehat{Α}=75^o$ και $ΑΓ=2ΒΔ.$ Να υπολογίσετε σε μοίρες τη γωνία $\widehat{Γ}.$
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΛΙΧΟΥΔΙΕΣ
Μπορεί άραγε κάτι που έχει να κάνει με τα Μαθηματικά να έχει ταυτόχρονα γλύκα; Μπορούμε να κάνουμε Μαθηματικά και να χαιρόμαστε συγχρόνως; Μπορεί το παίδεμα για να λύσουμε ένα δύσκολο πρόβλημα να είναι συναρπαστικό; Η προσπάθεια που γίνεται εδώ, φιλοδοξεί να αποδείξει ότι οι απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα μπορούν να είναι ΝΑΙ! Μπορείτε να στέλνετε τις λύσεις σας, τις ερωτήσεις, τις παρατηρήσεις σας και δικά σας προβλήματα στη διεύθυνση mathsweets@gmail.com
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί
Παρασκευή 19 Ιουλίου 2024
Βρείτε τη γωνία (9)
Στο παρακάτω τρίγωνο $ΑΒΓ$ είναι $\widehat{B}=45^o,$ $ΔΓ=2ΒΔ$ και $\widehat{ΑΔΓ}=60^o.$ Να υπολογίσετε σε μοίρες τη γωνία $\widehat{Γ}.$
Παρασκευή 1 Μαρτίου 2024
Πέμπτη 29 Φεβρουαρίου 2024
31550
α) H f είναι κυρτή.
β) H f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε κάποιο $x_ο\in(\dfrac{1}{2},1)$ το οποίο είναι μοναδικό.
γ) Tο ολικό ελάχιστο είναι το $x_ο+\dfrac{1}{x_ο}$.
δ) H εξίσωση $f(x)=2$ είναι αδύνατη.
Κυριακή 26 Νοεμβρίου 2023
Σύστημα 3 ανισώσεων
Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $a,b,c$ που ικανοποιούν τις ανισώσεις
$$\begin{cases}a^3b+3\leq4c\\b^3c+3\leq4a\\c^3a+3\leq4b\end{cases}$$
Σύστημα από τη Βουλγαρία (1967)
Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα
$$\begin{cases}x^2+x-1=y\\y^2+y-1=z\\z^2+z-1=x\end{cases}$$
Κυριακή 19 Νοεμβρίου 2023
Ανισότητα με 4 θετικούς αριθμούς που έχουν γινόμενο τη μονάδα
Αν $a,b,c,d$ είναι τέσσερις θετικοί αριθμοί με $abcd=1$ να αποδείξετε ότι;
$$a^4+b^4+c^4+d^4\geq4+(a-b)^2$$
Σάββατο 15 Ιουλίου 2023
Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο
Έστω $a,b,c$ τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα $a.$ Να αποδείξετε ότι $$3<\dfrac{a^3-b^3-c^3}{a(a-b)(a-c)}\leq 2+\sqrt 2$$
Παρασκευή 14 Ιουλίου 2023
Πολυώνυμο με τον μικρότερο δυνατό βαθμό με συγκεκριμένες ιδιότητες
Να βρείτε πολυώνυμο $P(x)$ με το μικρότερο δυνατό βαθμό το οποίο
- έχει ακέραιους συντελεστές
- παραγοντοποιείται πλήρως σε γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων
- όλες του οι ρίζες είναι ακέραιοι αριθμοί
- $P(0)=-1$
- $P(3)=128$
Εξίσωση με τρεις αγνώστους που ξεπερνούν τη μονάδα
Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x>1,y>1,z>1$ που ικανοποιούν την εξίσωση $$x+y+z+\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{3}{y-1}+\dfrac{3}{z-1}=2(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+2}).$$
Εύκολη ανισότητα
Εστω $a,b,c$ τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ώστε $a\geq b\geq c.$ Να αποδείξετε ότι $$\dfrac{a^3-c^3}{3}\geq abc(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a})$$
Πότε ισχύει η ισότητα;
Πέμπτη 13 Ιουλίου 2023
Ανισότητα από Σκανδιναβικό διαγωνισμό
Τετάρτη 12 Ιουλίου 2023
Έξισώσεις για την Β΄ Γυμνασίου
- $\dfrac{\sqrt{k+4}}{2}=6$
- $\displaystyle{\sqrt{33+\sqrt y}}=6$
- $\sqrt{3b+10}=4$
- $\dfrac{3m}{7}=\dfrac{21}{m}$
Δευτέρα 10 Ιουλίου 2023
Ουγγρική άσκηση από διαγωνισμό του 1896!
Για τους αριθμούς $x,y$ ισχύουν οι σχέσεις $x^2-3xy+2y^2+x-y=0$ και $x^2-2xy+y^2-5x+7y=0.$
Να αποδείξετε ότι $xy-12x+15y=0.$
Έξι πραγματικοί αριθμοί με δύο συνθήκες
Αν για τους μη μηδενικούς αριθμούς $a,b,c,x,y,z$ ισχύουν οι σχέσεις $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1,$ $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0,$ να αποδείξετε ότι $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1.$
Έξι πραγματικοί αριθμοί
Οι $\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\beta _1,\beta _2,\beta _3$ είναι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις:
$\alpha _1\beta _1+\alpha _2\beta _2+\alpha _3\beta _3=0$
$\alpha _1\alpha _3-\alpha^2 _2>0$ και $\beta _1\beta _2\beta _3\neq 0.$
Να αποδείξετε ότι $\beta _1\beta _3-\beta^2 _2<0.$
Εξίσωση στους φυσικούς
Να λυθεί στο σύνολο των φυσικών αριθμών η εξίσωση $x^2+y^2+z^2=1980.$
Ανισότητα με συνθήκη
Έστω $x,y$ είναι πραγματικοί αριθμοί με $x>y$ και $xy=1.$
Να αποδείξετε ότι $\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\geq 2\sqrt{2}.$
Πότε ισχύει η ισότητα;
Ανισότητα από τη Σερβία
Αν $x>y\geq 0$ να αποδείξετε ότι
$$x+\dfrac{4}{\left(x-y \right)\left(y+1 \right)^2}\geq 3.$$
Σάββατο 8 Ιουλίου 2023
Πεντάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με τρεις πλευρές ίσες
Ένα πεντάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Δύο πλευρές του είναι 14 και 48 και σχηματίζουν ορθή γωνία. Οι άλλες τρεις είναι πλευρές του είναι ίσες. Βρείτε την περίμετρό του.
Παρασκευή 7 Ιουλίου 2023
Μερικές ερωτήσεις σωστού-λάθους
- Για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει ότι $(x+|ημx|)(x-|ημx|)\geq 0.$
- Υπάρχουν $x, y\in \mathbb R$ ώστε $(|x|-|ημx|)(|y|-|ημy|)<0.$
- Για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει ότι $ημx\leq |π-x|.$
- Υπάρχει $x\in \mathbb R$ ώστε $συνx> |\dfrac{π}{2}-x|.$
- Για κάθε $x, y\in \mathbb R$ ισχύει ότι $(x^2+συν^2 x)(y^2+συν^2 y|)\geq 1.$
- Για κάθε $x\in \mathbb R^*$ ισχύει $|xημ\dfrac{1}{x}|\leq 1.$