33648

 

31550

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^x-lnx$. Να αποδείξετε ότι:
α) H f είναι κυρτή.
β) H f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε κάποιο $x_ο\in(\dfrac{1}{2},1)$ το οποίο είναι μοναδικό.                
γ) Tο ολικό ελάχιστο είναι το $x_ο+\dfrac{1}{x_ο}$.                                                 
δ) H εξίσωση $f(x)=2$ είναι αδύνατη.                                                                         

Σύστημα 3 ανισώσεων

 Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $a,b,c$ που ικανοποιούν τις ανισώσεις

$$\begin{cases}a^3b+3\leq4c\\b^3c+3\leq4a\\c^3a+3\leq4b\end{cases}$$

Σύστημα από τη Βουλγαρία (1967)

 Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

$$\begin{cases}x^2+x-1=y\\y^2+y-1=z\\z^2+z-1=x\end{cases}$$

Ανισότητα με 4 θετικούς αριθμούς που έχουν γινόμενο τη μονάδα

 Αν $a,b,c,d$ είναι τέσσερις θετικοί αριθμοί με $abcd=1$ να αποδείξετε ότι;

$$a^4+b^4+c^4+d^4\geq4+(a-b)^2$$

Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Έστω $a,b,c$ τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα $a.$ Να αποδείξετε ότι $$3<\dfrac{a^3-b^3-c^3}{a(a-b)(a-c)}\leq 2+\sqrt 2$$

Πολυώνυμο με τον μικρότερο δυνατό βαθμό με συγκεκριμένες ιδιότητες

 Να βρείτε πολυώνυμο $P(x)$ με το μικρότερο δυνατό βαθμό το οποίο 

• έχει ακέραιους συντελεστές
• παραγοντοποιείται πλήρως σε γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων
• όλες του οι ρίζες είναι ακέραιοι αριθμοί
• $P(0)=-1$ 
• $P(3)=128$ 

Εξίσωση με τρεις αγνώστους που ξεπερνούν τη μονάδα

Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x>1,y>1,z>1$ που ικανοποιούν την εξίσωση $$x+y+z+\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{3}{y-1}+\dfrac{3}{z-1}=2(\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+2}).$$

Εύκολη ανισότητα

Εστω $a,b,c$ τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ώστε $a\geq b\geq c.$ Να αποδείξετε ότι                     $$\dfrac{a^3-c^3}{3}\geq abc(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a})$$                      

Πότε ισχύει η ισότητα;

Ανισότητα από Σκανδιναβικό διαγωνισμό

Αν $a,b,c$ είναι τρεις θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\leq \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}$$

Nordic Math Contest

Έξισώσεις για την Β΄ Γυμνασίου

Να λυθούν οι εξισώσεις:

•  $\dfrac{\sqrt{k+4}}{2}=6$
•  $\displaystyle{\sqrt{33+\sqrt y}}=6$
•  $\sqrt{3b+10}=4$
•  $\dfrac{3m}{7}=\dfrac{21}{m}$

Ουγγρική άσκηση από διαγωνισμό του 1896!

Για τους αριθμούς $x,y$ ισχύουν οι σχέσεις $x^2-3xy+2y^2+x-y=0$ και $x^2-2xy+y^2-5x+7y=0.$ 

Να αποδείξετε ότι $xy-12x+15y=0.$

Έξι πραγματικοί αριθμοί με δύο συνθήκες

 Αν για τους μη μηδενικούς αριθμούς $a,b,c,x,y,z$ ισχύουν οι σχέσεις $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1,$ $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0,$ να αποδείξετε ότι $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1.$

Έξι πραγματικοί αριθμοί

Οι $\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\beta _1,\beta _2,\beta _3$ είναι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις:

$\alpha _1\beta _1+\alpha _2\beta _2+\alpha _3\beta _3=0$

$\alpha _1\alpha _3-\alpha^2 _2>0$ και $\beta _1\beta _2\beta _3\neq 0.$

Να αποδείξετε ότι $\beta _1\beta _3-\beta^2 _2<0.$

Εξίσωση με ριζικά

Να λυθεί η εξίσωση $\sqrt{x^2+x}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=\sqrt{x+3}.$

Εξίσωση στους φυσικούς

 Να λυθεί στο σύνολο των φυσικών αριθμών η εξίσωση $x^2+y^2+z^2=1980.$

Ανισότητα με συνθήκη

 Έστω $x,y$ είναι πραγματικοί αριθμοί με $x>y$ και $xy=1.$ 

Να αποδείξετε ότι $\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\geq 2\sqrt{2}.$ 

Πότε ισχύει η ισότητα;

Ανισότητα από τη Σερβία

Αν $x>y\geq 0$ να αποδείξετε ότι 

$$x+\dfrac{4}{\left(x-y \right)\left(y+1 \right)^2}\geq 3.$$

Πεντάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με τρεις πλευρές ίσες

 Ένα πεντάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Δύο πλευρές του είναι 14 και 48 και σχηματίζουν ορθή γωνία. Οι άλλες τρεις είναι πλευρές του είναι ίσες. Βρείτε την περίμετρό του.

Μερικές ερωτήσεις σωστού-λάθους

• Για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει ότι $(x+|ημx|)(x-|ημx|)\geq 0.$
• Υπάρχουν $x, y\in \mathbb R$ ώστε $(|x|-|ημx|)(|y|-|ημy|)<0.$
• Για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει ότι $ημx\leq |π-x|.$
• Υπάρχει $x\in \mathbb R$ ώστε $συνx> |\dfrac{π}{2}-x|.$
• Για κάθε $x, y\in \mathbb R$ ισχύει ότι $(x^2+συν^2 x)(y^2+συν^2 y|)\geq 1.$
• Για κάθε $x\in \mathbb R^*$ ισχύει $|xημ\dfrac{1}{x}|\leq 1.$

Με αφορμή την άσκηση 17349 της τράπεζας θεμάτων

 Ένα πρόβλημα της τράπεζας θεμάτων είναι το 17349.

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 3 και σημείο Ε της πλευράς ΑΔ, ώστε $ΑΕ=4-\sqrt 3$. Στο ημιεπίπεδο που ορίζουν η ευθεία ΒΕ και το σημείο Γ κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο ΒΕΖ. Οι ΓΔ και ΕΖ τέμνονται στο σημείο Η και $ΔΗ=\sqrt 3$.

α) Να αποδείξετε ότι $BE=2\sqrt{7-2\sqrt 3}$.                                                                 

β) Να αποδείξετε το Η είναι το μέσο της ΕΖ.                                                                  

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται στο εσωτερικό του ισόπλευρου τριγώνου ΒΕΖ και εξωτερικά του τετραγώνου ΑΒΓΔ. 

Να αποδειχθεί ότι το δεδομένο $ΔΗ=\sqrt 3$ είναι περιττό! Με άλλα λόγια, να το αποδείξετε χρησιμοποιώντας τα υπόλοιπα δεδομένα.

Ανισότητα από τις Φιλιππίνες

 Αν $a, b, c$ είναι τρεις θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $ab+bc+ca=3$ τότε να αποδείξετε ότι

• $\dfrac{a}{1+a^2}\leq \dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{a^2}{1+a^2}\leq \dfrac{a}{2}$
• $\dfrac{1}{1+a^2}\geq \dfrac{2-a}{2}$
• $\dfrac{1}{1+a^4}\geq \dfrac{2-a^2}{2}$
• $\dfrac{bc}{1+a^4}+\dfrac{ca}{1+b^4}+\dfrac{ab}{1+c^4}\geq 3-\dfrac{abc(a+b+c)}{2}$
• $\dfrac{bc}{1+a^4}+\dfrac{ca}{1+b^4}+\dfrac{ab}{1+c^4}\geq \dfrac{3}{2}$