Τέσσερις αριθμοί στο διάστημα [0,1]

Διαγωνισμός Πόλεων, 1995

                  

     

Κλάσμα με τεράστιους όρους

Να αποδείξετε ότι $\dfrac{0,12345678...4748495051}{0,5150494847...87654321}=0,239...$  (Μόσχα, 1951)

Εξίσωση

Να λυθεί η εξίσωση

Σωτήρης Λουρίδας, Αθήνα

Δύο πενταψήφιοι με πηλίκο 9

Να προσδιοριστούν όλα τα ζεύγη πενταψήφιων  φυσικών αριθμών m, n για τους οποίους γνωρίζουμε ότι για να τους γράψουμε θα χρησιμοποιήσουμε όλα τα ψηφία 0, 1, 2,..., 9 και επιπλέον m=9n.

Σωτήρης Λουρίδας, Αθήνα

Διπλή ανισότητα

Μάγκος Θάνος, Θεσσαλονίκη

Δεν είναι δυνατόν και οι τρεις να είναι τέλεια τετράγωνα

Έστω $a, b, c$ τρεις θετικοί ακέραιοι. Να δείξετε ότι δεν είναι δυνατόν οι αριθμοί 

$$a^2+b+c, b^2+a+c, c^2+a+b$$

να είναι και οι τρεις τέλεια τετράγωνα.

20 ακέραιοι με άθροισμα θετικό, κάθε τρεις διαδοχικοί με άθροισμα αρνητικό

α) Να δείξετε ότι μπορούμε να τοποθετήσουμε 20 μη μηδενικούς ακεραίους, όχι απαραίτητα διαφορετικούς, στη σειρά έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι θετικό, ενώ το άθροισμα οποιωνδήποτε τριών διαδοχικών να είναι αρνητικό.
β) Δείξτε ότι δε μπορούμε να κάνουμε το ίδιο σε ένα κύκλο.

Ένας τουλάχιστον είναι ίσος με 1

Για τους πραγματικούς αριθμούς a, b, c ισχύουν: 

abc=1 και ab+bc+ca=a+b+c. 

Να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς αυτούς είναι ίσος με το 1.

Ανισότητα με πλευρές τριγώνου και τρεις τυχαίους πραγματικούς

Αν  πλευρές τριγώνου και  πραγματικοί, να δείξετε ότι :

.

Πότε ισχύει η ισότητα;

Παναγιώτης Λώλας

Ελάχιστο παράστασης

Να υπολογιστεί το ελάχιστο της παράστασης

$$x^2-8xy+19y^2-6y+3$$
προσδιορίζοντας ταυτόχρονα και τις τιμές των $x,y$ για τις οποίες το έχουμε.

Ανισότητα ακεραίων

Αν  είναι θετικοί ακέραιοι να αποδείξετε ότι 

                                

                  Θεαίτητος, 1ο τεύχος

Μανόλης Μαραγκάκης

Προπολεμικό πρόβλημα! (1938-39)

Σε ορθογώνιο τρίγωνο  (με ορθή γωνία ) δίνονται οι τρεις πλευρές .
Να βρεθεί πάνω στην υποτείνουσα  σημείο  τέτοιο ώστε ο λόγος  να είναι ίσος με . (Διερεύνηση)

Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός, 1938-39

(Πρακτικού Λυκείου)

Ανίσωση με ριζικό

Να λυθεί στο  η ανίσωση

Να βρεθεί η συνάρτηση

Σύνολα ακεραίων

Προσδιορίστε όλα τα σύνολα  θετικών ακεραίων τέτοια ώστε για οποιαδήποτε δύο,

όχι απαραίτητα διαφορετικά, στοιχεία  του  ο αριθμός  να ανήκει στο 

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Λάμπρος Μπαλός, Τρίκαλα

Το άθροισμά τους είναι ίσο με το ΕΚΠ τους!

α) Να βρείτε τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

β) Να βρείτε 100 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.
                                                               Διαγωνισμός Πόλεων, 1995

γ) Να βρείτε 2020 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

                       

Γωνία 60 μοιρών με κορυφή το περίκεντρο ισοπλεύρου τριγώνου

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο  με πλευρά  και περίκεντρο . Επί των πλευρών  παίρνουμε αντίστοιχα σημεία , τέτοια ώστε . Δείξτε ότι η περίμετρος του τριγώνου  ισούται με .

 Μιχάλης Νάννος, Σαλαμίνα

Κάπου υπάρχει λάθος

Σ' ένα χορό πήραν μέρος 8 αγόρια και 8 κορίτσια. Κάθε αγόρι χόρεψε με μερικά κορίτσια και κάθε κορίτσι με μερικά αγόρια. Μετά το τέλος του χορού κάθε άτομο έγραψε, στη σειρά, τον αριθμό των χορών που χόρεψε. Έτσι πήραμε τους αριθμούς: 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί αυτοί δεν είναι οι σωστοί, γιατί κάπου υπάρχει λάθος.

Ευκλείδης, Β' Γυμνασίου, 1995

Ανισότητα με πλευρές τριγώνου (1)

Σε τρίγωνο  αποδείξτε ότι

Διευκρίνηση: a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου

                    s είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου

                    r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου

             

Ανισότητα με 4 ακεραίους

Αν  είναι τέσσερις διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι, να αποδείξετε ότι

Ιδιότητα της διαμέσου

Καραντάνας Θανάσης

Γεωμετρικός τόπος βαρύκεντρου

Γιώργος Βισβίκης, Αθήνα

Κύκλοι, τρίγωνα, τετράπλευρα, εμβαδά

Υπολογισμός αθροίσματος κλασμάτων

Συγκρίσεις

Θαλής, Β' Γυμνασίου, 1995

200 αυγά

Έχουμε 200 αυγά τα οποία θέλουμε να τοποθετήσουμε σε καλάθια κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε καλάθι να περιέχει διαφορετικό αριθμό αυγών. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός καλαθιών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε αυτή τη διαδικασία;

Θαλής, Β' Γυμνασίου, 1995

Στρατηγική σε πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών

Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι:
Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ.ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο από τις κορυφές του πολυγώνου με ένα τμήμα το οποίο, όμως, να μην τέμνει κανένα από άλλα τέτοια τμήματα που οι παίκτες είχαν φέρει προηγουμένως. Θα χάσει ο παίκτης που πρώτος δε θα μπορέσει να φέρει ένα τέτοιο τμήμα. Μπορεί ένας παίκτης να ακολουθήσει μια στρατηγική ώστε να νικήσει σίγουρα;

Θαλής, Α' Λυκείου, 1995

Ο ταμίας έχει περισσότερα νομίσματα των 20 λεπτών από αυτά των 10 λεπτών.

Ένας ταμίας έχει 500 λεπτά σε νομίσματα των 10, 15, 20 λεπτών. Ο συνολικός αριθμός των νομισμάτων είναι 30. Να αποδείξετε ότι ο ταμίας έχει περισσότερα νομίσματα των 20 λεπτών από αυτά των 10 λεπτών.

Διαγωνισμός πόλεων, 1995

Οι τρεις ακρίδες

Τρεις ακρίδες Α, Β, Γ βρίσκονται πάνω σε μία ευθεία. Η  Β βρίσκεται στο μέσο μεταξύ των Α και Γ. Κάθε δευτερόλεπτο μία απ' αυτές πηδά πάνω από μία από τις άλλες στο συμμετρικό σημείο ως προς τη δεύτερη. Μετά από μερικά άλματα οι ακρίδες έχουν επιστρέψει στα αρχικά σημεία, όχι κατ' ανάγκη η καθεμία στην αρχική της θέση. Να αποδείξετε ότι η Β επιστρέφει αναγκαστικά στην αρχική της θέση.

Διαγωνισμός Πόλεων, 1995

Ο πιο μικρός αριθμός που τελειώνει σε 38, διαιρείται με το 38, έχει άθροισμα ψηφίων το 38!

Βρείτε το μικρότερο φυσικό αριθμό ο οποίος τελειώνει σε 38, διαιρείται με το 38 και το άθροισμα των ψηφίων του είναι 38.

Μέγιστη και ελάχιστη τιμή

Ταυτότητα

8 ίσοι κύκλοι μέσα σε ορθογώνιο

Ελάχιστη τιμή σταθεράς ώστε να ισχύει η ανισότητα

Σύστημα για την Α΄ Λυκείου

Εξίσωση (2)

Ρώσικη Ανισότητα

Ανισότητα με ενδιαφέρουσα γεωμετρική προσέγγιση!