Δεν είναι πολλαπλάσιο του 81

 Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο $n$, ο αριθμός $n^3 - 9n + 27$ δε διαιρείται με το $81$.

Ανισότητα στο [0,1]

Αν $a,b,c \in [0,1]$ με $ab+bc+ca=1$ να αποδείξετε ότι

$a^3+b^3+c^3\leq 2.$

Ανισότητα με ριζικά

Αν οι $a,b,c,d$ είναι θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι

$\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}+\sqrt[6]{c}+\sqrt[8]{d}>\sqrt[20]{abcd}.$

Ανισότητα (10)

 Αν $a,b,c,x,y,z \in \mathbb{R}$ και $a+b+c=x^2+y^2+z^2=1,$ να αποδείξετε ότι:

$a(x+b)+b(y+c)+c(z+a)\leq 1.$

Μία εξίσωση με δύο αγνώστους

Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς $a,b$ ώστε

$\dfrac{a^{26}+1}{b^{13}+1}+\dfrac{b^{26}+1}{a^{13}+1}=4(\sqrt2-1).$

Ολοκλήρωμα (1)

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{1}^{\sqrt{e}}{\dfrac{e^x(x-2)}{x(x^2+e^x)}}dx}.$

Αδύνατη εξίσωση

 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $x^8-|x|+1=0$ είναι αδύνατη στο $\mathbb {R}.$

Είναι σύνθετος!

 Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $25.600.000.021$ είναι σύνθετος.

Σύστημα τριών εξισώσεων

Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα:

$3xy+x+y=1$

$3yz+y+z=2$

$3zx+z+x=5$

Σύστημα με θετικούς

Να επιλυθεί το παρακάτω σύστημα εξισώσεων όταν οι $x$, $y$, $z$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί.

$x + y^2 + z^3 = 3$

$y + z^2 + x^3 = 3$

$z + x^2 + y^3 =3$

Ανισότητα (9)

 Έστω $0\leq  a, b, c, d, e \leq  1$ πραγματικοί αριθμοί. Να δείξετε ότι 

$\displaystyle{(1 + a + b + c + d + e)^2\geq  4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2).}$

Ανισότητα (8)

Αν $a,b,c>0$ να αποδειχθεί ότι $\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{a}{b+c}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{c+a}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{b+a}\right)\geq1$

Κανονικό εννιάγωνο και υπολογισμός γωνίας

 Σε κανονικό εννιάγωνο $\displaystyle{ABCD EFGHI}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο $O,$ $M$ είναι το μέσο του τόξου $\overset{\frown}{AB},$ $N$ είναι το μέσο της πλευράς $BC$ και $P$ είναι το μέσο της ακτίνας $OM.$ Αν οι ευθείες $OC$ και $PN$ τέμνονται στο $Q,$ βρείτε το μέτρο της γωνίας $\widehat {OQP}$.

Ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο!

 Αν οι θετικοί αριθμοί $a,b$ ικανοποιούν τη σχέση $\dfrac{1}{a^2+4b+4}+\dfrac{1}{b^2+4a+4}=\dfrac{1}{8},$ τότε να βρεθεί

i) η μέγιστη τιμή του $a+b$

ii) η ελάχιστη τιμή του $a^2+b^2$

Ακριβώς πέντε τέλεια τετράγωνα!

Πόσοι θετικοί ακέραιοι $n$ υπάρχουν τέτοιοι ώστε ανάμεσα στους $n^2+1$ και $2n^2$ να περιέχονται ακριβώς 5 τέλεια τετράγωνα;

Εκθετική εξίσωση (5)

 Να λυθεί η εξίσωση $2^x+3^x-4^x+6^x-9^x=1.$

Ανίσωση

Να λύσετε την ανίσωση

$2x +\dfrac{4}{x} \left ( 2x-7\right )^3 \leq \sqrt{x} +7$.

Εξίσωση με ριζικά και απόλυτο

 Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση

$1+\dfrac{\sqrt{2x^2+1}}{|x|} -\left ( x^2+x\right ) \left (1+ \sqrt{x^2+2x+3}\right )=0$.

Ελάχιστο παράστασης με κλάσματα

 Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:

$\dfrac{a+3c}{a+2b+c} + \dfrac{4b}{a+b+2c} -\dfrac{8c}{a+b+3c}$.

Τρεις ευθείες συντρέχουν!

                                                                              (3ο Θέμα, Θαλής 2021, Γ΄ Λυκείου)

Η δυσκολία είναι να κάνει κανείς γρήγορα το σχήμα. Μια καλή παρατήρηση είναι ότι όταν δύο κύκλοι τέμνονται, η κοινή χορδή τους έχει τη διάκεντρό τους ως μεσοκάθετο. Μπορούμε λοιπόν να εντοπίσουμε γρήγορα το σημείο Δ ως το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ΟΜ. Μάλιστα ισχύει ότι ΑΔ = 2ΤΜ. Αν Θ είναι το σημείο τομής των ΤΔ και της διαμέσου ΑΜ τότε τα τρίγωνα ΑΘΔ και ΤΘΜ είναι όμοια λόγω της παραλληλίας των ΑΔ και ΒΓ με λόγο ομοιότητας 2. Άρα το Θ χωρίζει τη διάμεσο ΑΜ σε λόγο 2:1, οπότε το Θ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.

Δεν χρειάζεται να εντοπίσουμε στο σχήμα τα σημεία Ε και Ζ. Ομοίως οι ΕΡ και ΖΣ όπως και η ΔΤ διέρχονται από το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.

Συναρτησιακή εξίσωση

Θεωρούμε συνάρτηση $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ , για την οποία ισχύει

 $f(2f(x)+ y)=f(f(y)+ x)+ x$  (*) για κάθε $x,y \in \mathbb R.$ 

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε $a\in \mathbb R$ υπάρχει $z\in\mathbb R$ τέτοιο ώστε $f (z)=a$ και ότι η συνάρτηση $f$ είναι $1-1$.

β) Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f$ που ικανοποιούν τη σχέση (*).

                                                                                     (2o Θέμα, Θαλής 2021, Γ΄ Λυκείου)

Λύση

α) Για $y=-2f(x)$ προκύπτει $f(0)=f(f(-2f(x))+x)+x  $ για κάθε $x \in \mathbb R.$

Έστω $a\in \mathbb R.$

Για $x_0=f(0)-a$ προκύπτει ότι $f(f(-2f(x_0))+x_0)=a.$ Δηλαδή $f(z)=a$ για $z=f(-2f(x_0))+x_0.$

Επομένως υπάρχει $b\in\mathbb R$ ώστε $f(b)=0.$

Για $x=y=b$ η δοσμένη δίνει $f(2f(b)+ b)=f(f(b)+ b)+ b$ οπότε $f(b)=f(b)+b.$ Άρα $b=0$ και $f(0)=0.$ 

Τώρα η αρχική για $y=0$ δίνει $\boxed{f(2f(x))=f(x)+x}$ για κάθε $x \in \mathbb R.$

Έστω $x_1,x_2\in \mathbb R$ με $f(x_1)=f(x_2).$ Τότε $2f(x_1)=2f(x_2)$ οπότε

$f(2f(x_1))=f(2f(x_2)).$  Η σχέση στο πλαίσιο δίνει

$f(x_1)+x_1=f(x_2)+x_2$ και έτσι $x_1=x_2.$ Άρα η $f$ είναι $1-1.$

β) Για $x=0$ η αρχική δίνει $f(y)=f(f(y))$ οπότε το $1-1$ δίνει $f(y)=y.$

Η συνάρτηση αυτή επαληθεύει την δοσμένη και είναι λοιπόν η μόνη λύση του προβλήματος.

Διοφαντικό σύστημα

Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους το σύστημα

$13a=3b+2c+34$

$4a^2=6b^2+5c^2+25$                                                        (1ο Θέμα, Θαλής 2021, Γ΄ Λυκείου)

ΛΥΣΗ

Έστω οι θετικοί ακέραιοι $a,b,c$ ώστε $4a^2=6b^2+5c^2+25$ και $13a=3b+2c+34.$

Η πρώτη ισότητα δίνει $4a^2>6b^2>4b^2$ οπότε $a>b.$ 

Ομοίως $4a^2>5c^2>4c^2$ οπότε $a>c.$

Επομένως $b,c\leq a-1.$

Τώρα η δεύτερη ισότητα δίνει $13a\leq 5(a-1)+34$ οπότε $8a\leq 29$ και άρα $a\leq 3.$

Αφού $b,c\geq 1$ η δεύτερη σχέση δίνει $13a\geq 39$ οπότε $a\geq 3.$

Άρα $a=3.$ 

Tότε $3b+2c=5$ οπότε αφού πρόκειται για θετικούς ακέραιους, αναγκαστικά $b=c=1.$

Η τριάδα $(a,b,c)=(3,1,1)$ προφανώς επαληθεύει το σύστημα, άρα είναι η μόνη λύση.