Σύγκριση αριθμών (ΙΙ)

 Να συγκριθούν οι αριθμοί $a=2^{100}+3^{100}$ και $b=4^{100}.$

Σύγκριση αριθμών (Ι)

 Να συγκριθούν οι αριθμοί 

$a=\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}+\sqrt{\sqrt{3}-1}\right)$ 

και

$b=\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}-\sqrt{\sqrt{3}-1}\right).$

Ανισότητα με ριζικά

 Αν $a,b,c,d\in (0,+\infty)$ με $a\geq b$ και $c\geq d$ να αποδείξετε ότι 

$\sqrt{(a+c)^2-(b+d)^2}\geq \sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{c^2-d^2}.$

Πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές χωρίς ακέραιες ρίζες

 Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)$ με ακέραιους συντελεστές για το οποίο ισχύει $P(1) = 5$, $P( - 1) = 11$, $P(0) = 8.$ .

Να αποδείξετε ότι δεν έχει ακέραιες ρίζες.

Πολλές κάθετες

 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒΓ$ με $ΑΒ = ΑΓ$ και σημεία $Δ, Ε$ στην πλευρά $ΒΓ,$ με $ΒΔ=ΕΓ<\dfrac{B\Gamma}{2}$.
Φέρνουμε  $ΔΚ\perp ΑΒ$, $ΕΛ\perp ΑΒ$ ,  $ΔΜ \perp ΑΓ$ και $ΕΝ \perp ΑΓ.$

 i. Να αποδείξετε ότι: $ΚΛ = ΜΝ.$ 

ii. Εάν $Ρ$ είναι το σημείο τομής των $ΕΛ$ και $ΔΜ,$ τότε η $ΑΡ$ είναι η διχοτόμος της γωνίας $\hat Α$. 

Η άσκηση με τα αποστήματα

 

Στον παρακάτω κύκλο το σημείο Ο είναι το κέντρο του. 

Τα ΟΚ, ΟΛ, ΟΡ, ΟΣ είναι τα αποστήματα των χορδών 

ΑΒ, ΓΔ, ΑΓ, ΒΔ αντίστοιχα. 

Αν γνωρίζετε ότι ΟΚ = ΟΛ, να αποδείξετε ότι ΟΡ = ΟΣ.

Aπόλυτες τιμές (4)

 Αν $a,b\ne 0$ ώστε $\left|\dfrac{a+2b}{2a+b}\right|\leq 1$ να αποδείξετε ότι 

i) $|b|\leq |a|$

ii) $2\left|\dfrac{b}{a}\right| -\left |\dfrac{a}{b}\right | \leq 1 $

Ενδιαφέρουσα ανισότητα με απόλυτες τιμές

 Αν $a,b,c$ είναι τρεις τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι

$|a+b-c|+|b+c-a|+|c+a-b|\geq |a|+|b|+|c|.$

Απόλυτες τιμές (3)

 Αν $|x|\leq a-b$,  $|y|\leq b-c$ και $|z|\leq c-a$, να αποδειχθεί ότι $x=y=z=0.$

Απόλυτες τιμές (2)

 Δίνεται η παράσταση $A=|x-2|+|x-3|+2x-3.$

α) Να γράψετε την παράσταση $A$ χωρίς απόλυτα.

β) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του $x$ για τις οποίες $A=0.$

Απόλυτες τιμές (1)

 Δίνεται η παράσταση $A=|x-1|+3x+5. $

α) Να γραφεί η παράσταση $A$ χωρίς την απόλυτη τιμή.

β) Για ποιες τιμές του $x$ είναι $A=0;$

Ανισότητα (13)

 Αν $a,b,c>0$ με $abc=1,$ να αποδειχθεί ότι $a+b+c+ab+bc+ca\geq6.$

Ανισότητα Nesbitt

 Αν $a,b,c$ είναι τρεις θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι 

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}.$

Να λυθεί στους ακέραιους (2)

 Να λυθεί στους ακέραιους η εξίσωση $9x^2+y^2=\left(3xy+5 \right)^2.$

Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

 Έστω $ABC$ ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο $A.$ Αποδείξτε ότι $\sqrt{2}\left(AB+AC-\sqrt{AB \cdot AC} \right)\geq BC.$

Να λυθεί στους ακέραιους (1)

 Να λυθεί στους ακέραιους η εξίσωση $x^2-y^2+6x+6=0.$

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή παράστασης

 Αν $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $abc=8$ να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:

$\dfrac{a^2b^2}{a+b}+\dfrac{b^2c^2}{b+c}+\dfrac{c^2a^2}{c+a}.$

Υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι;

 (α) Υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί θετικοί φυσικοί αριθμοί ώστε το άθροισμα τριών οποιωνδήποτε από αυτούς να είναι πρώτος αριθμός;

(β) Υπάρχουν πέντε διαφορετικοί θετικοί φυσικοί αριθμοί ώστε το άθροισμα τριών οποιωνδήποτε από αυτούς να είναι πρώτος αριθμός;

Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων

 Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων $(x,y)$ που ικανοποιούν την εξίσωση: 

$2(x^2+y^2)+x+y=5xy$

Μία εξίσωση, τέσσερις άγνωστοι!

 Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών την εξίσωση:

$4\left [ \left ( 1-x \right )^2+\left ( x-y \right )^2+\left ( y-w \right )^2+w^2 \right ]=1$

Ανισότητα (12)

Αν $0<a<2c$ να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό  $x$

$-\dfrac{1}{2c+a}\leq \dfrac{x+a}{x^2+ax+c^2}\leq \dfrac{1}{2c-a}.$

Πότε έχουμε ισότητα;

Ανισότητα (11)

Αν $\rm x>y>z>0$ να αποδείξετε ότι

$\rm \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}<\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}.$