Ελάχιστη τιμή

Αν $-2\leq x\leq5$, $-3\leq y\leq 7$, $4\leq z\leq 8$, και $w=xy-z$, τότε ποια είναι η ελάχιστη τιμή του $w$;

Λόγος εμβαδών σε κανονικό εξάγωνο

 Το $ABCDEF$ είναι κανονικό εξάγωνο. Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{(FGDE)}{(BGC)}.$

Τρεις κύκλοι

Αν ο κύκλος $C_2$ έχει ακτίνα $9$ και ο κύκλος $C_3$ έχει ακτίνα $4$, να βρείτε την ακτίνα του κύκλου $C_1$.
 

Κύκλος και τετράγωνο

Κύκλος διέρχεται από τις κορυφές $A,D$ τετραγώνου $ABCD$ και εφάπτεται στην πλευρά του $BC$. Αν το τετράγωνο έχει πλευρά $14$, βρείτε την ακτίνα του κύκλου.
 

Τέσσερις άνισοι θετικοί ακέραιοι

Υπάρχουν τέσσερις άνισοι, θετικοί ακέραιοι  $a, b, c$ και $N$  τέτοιοι ώστε $N= 5a+3b+5c$. Επίσης ισχύει ότι $N=4a+5b+4c$ και ότι ο $N$ βρίσκεται μεταξύ του $131$ και του $150$. Ποια είναι η τιμή του $a+b+c$;

Μέγιστη τιμή ελαχίστου!

Για κάθε πραγματικό αριθμό $x$, ορίζουμε $f(x)$ να είναι ο μικρότερος από τους αριθμούς $2x+2, \dfrac{1}{2}x+1, -\dfrac{3}{4}x+7.$ Ποια είναι η μέγιστη τιμή του $f(x)$;

What is the time?

Ανισότητα με τρεις θετικές μεταβλητές που έχουν άθροισμα το $1$

 Αν $α,β,γ>0$ με $α+β+γ=1$, να αποδείξετε ότι $(\dfrac{1}{α}-1)(\dfrac{1}{β}-1)(\dfrac{1}{γ}-1)\geq 8.$

Ανισότητα με συνθήκη $α+β=1$ όπου $α,β$ θετικοί

 Αν $α,β>0$ με $α+β=1$, να αποδείξετε ότι $(α+\dfrac{1}{α})^2+(β+\dfrac{1}{β})^2\geq \dfrac{25}{2}$.

Ανισότητα με μία μεταβλητή

Για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ να αποδείξετε ότι $x^4-x+\dfrac{1}{2}>0.$ 

Μία εξίσωση, τέσσερις άγνωστοι

Βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς $α,β,γ,δ$ για τους οποίους ισχύει ότι $α^2+β^2+γ^2+δ^2=α(α+β+γ+δ).$

Υπολογίστε το ημίτονο γωνίας ισοσκελούς τραπεζίου

Ισοσκελές τραπέζιο  ABCD  έχει AB = 7,  BC = 18,  CD = 7  και  DA = 30.  Βρείτε το ημΑ.

Κυνήγι γωνίας

 

Ελάχιστη τιμή που υπολογίζεται με γεωμετρικά επιχειρήματα!

Εξίσωση με ριζικό τέταρτης τάξεως

 Να λύσετε την εξίσωση $\sqrt[4]x=\dfrac{18}{11-\sqrt[4]x}.$

Σύστημα που λύνεται γρήγορα αν παραγοντοποιήσεις!

 Αν $x+y=12$ και $x^2+3xy+2y^2=180$ τότε βρείτε το $4x+2y.$

Εξίσωση μεγάλου βαθμού με γρήγορη λύση

 Να λύσετε την εξίσωση $x^6+x^3+1=\dfrac{511}{x^3-1}.$

Παράσταση με ριζικά

 Αν $x=\dfrac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{2}$ και $y=\dfrac{\sqrt{17}-\sqrt{13}}{2}$ τότε $x^2-xy+y^2=$?

Εφαπτόμενα τμήματα και λόγοι

 

Αν οι $ΕΑ$ και $ΕD$ είναι εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου από το $Ε$, $DB$ είναι κάθετη στη διάμετρο $AC$ του κύκλου με κέντρο $Ο$ και $\dfrac{EA}{AO}=12$, βρείτε το λόγο $\dfrac{AB}{BC}.$

Εκθετική εξίσωση (4)

 Να λύσετε την εξίσωση $(5^x+5^x+5^x+5^x+5^x)^{90}=125^{50}$.

Ανίσωση με απόλυτα και ρίζες

 Να λύσετε την ανίσωση $|\sqrt x-3\sqrt 2|<2\sqrt 2$.

Υπολογισμός χορδής

 

Αν $BE=CE$, υπολογίστε το μήκος της χορδής $BE$.